高三数学立体几何复习测试题含答案2.pdf
.高三数学立体几何复习一、填空题一、填空题1.分别在两个平行平面的两条直线间的位置关系不可能为平行相交异面垂直【答案】【解析】两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交2.圆锥的母线长为 8，底面周长为 6，那么它的体积为【答案】3 55【解析】设底面半径为 r,2r 6,r 3,设圆锥的高为h，那么h 823255，那么圆锥的体积11V r2h 955 3 55，故填：3 55.333.平面/平面，P且P，试过点P的直线m与，分别交于A，C，过点P的直线n与，分别交于B，D且PA 6，AC 9，PD 8，那么BD的长为_.【答案】24或245P PB BA A【解析】第一种情况画出图形如以下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.所以AB/CD，设BD x，根据平行线分线段成比例，有68 x24,x 9x5B BD DC C第二种情况画出图形如以下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.所以AB/CD，设BD x，根据平行线分线段成比例，A A6X 8,x 24.384.半径为R的球O中有一接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的外有表积之比是_【答案】1：2P PD DC Ch2r 2hh224 2R2，当且仅当r h时取等号，【解析】R r，圆柱的侧面积2rh 4r 442222此时圆柱的侧面积与球的外表积之比为2R:4R 1:25.如下图，G、N、M、H分别是正三棱柱两底面为正三角形的直棱柱的顶点或所在棱的中点，那么表示直线GH、MN是异面直线的图形有_填上所有正确答案的序号【答案】【解析】由题意得，可知 1 中，直线GH/MN；图 2 中，G,H,N三点共面，但M 面GHN，因此直线GH与MN异面；图3中，连接MG,GM/HN，因此GH与22MNG，所以直线GH与MN共面；图4中，G,M,N共面，但H 面GHN，所以直线GH与MNjz*异面m m 6.m,n为直线，,为空间的两个平面，给出以下命题：,n/；n,m/n；m n/m m,/；,m/n其中的正确命题为m n【答案】【解析】关于,也会有n 的结论,因此不正确；关于,也会有m,n异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于都是正确的,故应填答案.7.设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,那么以下四个命题假设a b,a,b 那么，假设a b,a 那么b/，假设a,，那么a/假设a/,a，那么其中正确的命题序号是.【答案】【解析】a b，不妨设a,b相交如异面平移到相交位置，确定一个平面，设平面与平面的交线为c，那么由b，得b c，从而a/c，于是有c，所以，正确；假设a b,a，b可能在，错；假设a,，a可能在，错；假设a/，那么由线面平行的性质定理，在有直线b与a平行，又a，那么b，从而，正确故答案为8.三棱锥P ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为【答案】42，那么球O的外表积为_6【解析】设ABC的中心为O1，由题意得SABC3212,所以球O的;2OO1SABCOO14633半径R满足R OO1(223221)1，球O的外表积为4R2 4.3339.如下图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB BC CC11,AB BC,E为CC1的中点,那么 三棱锥C1 ABE的体积是试卷第 2 页，总 9 页.【答案】11211111VC1ABC(11)1223212【解析】因为E是CC1中点，所以VC1ABE10.如下图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，ACB 90,AA1 2,AC BC 1,那么异面直线A1B与AC所成角的余弦值是.【答案】66【解析】由于AC/A1C1，所以BA1C1或其补角就是所求异面直线所成的角，A C 1,BC1在BA1C1中,A1B 6,115,cosBAC116156.62 6111.如图，在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是BB1,BC的中点，那么图中阴影局部在平面ADA1D1上的投影的面积为【答案】18【解析】图中点M在平面的投影是AA1的中点，点N在平面的投影是AD的中点，点D的投影还是点D,连接三点的三角形的面积是11111，故填：.22288DEABFC12.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,AB 2,点E为AD的中点,点F在CD上,假设EF/平面AB1C,那么EF _.【答案】EF 2A1D1C1【解析】根据题意，因为EF/平面AB1C，所以EF/AC.又因为点E是AD中点，所以点F是CD中点.因为在RtDEF中，DE DF 1，故EF B12.13.在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为AB1的中点，在面ABCDD D1 1C C1 1B B1 1中取一点F，使EF FC1最小，那么最小值为_【答案】A A1 1142A AD DE EB BC Cjz*A A1 1D D1 1N NB B1 1C C1 1【解析】如图，将正 方体ABCD A1B1C1D1关于面ABCD对称，那么EC1就是所求的 最小值，14 31EC1EN NC 1 2242212D D1 1C C1 1N NB B1 114.点M是棱长为3 2的正方体ABCD A1B1C1D1的切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1 NC1,DM BN，那么动点M的轨迹的长度为_【答案】A A1 1D DMMB BC C3 105A A【解析】因为DM BN，所以M在过D且垂直于BN的平面上，如以下图 1，取BS 1SB1，21，正方体的中心O到该平AT TA1，那么BN 平面DTSC，所以M在一个圆周上，如图以下图22面 的 距 离 即 为O1F，在 直 角 三 角 形O1FC中，O1F O1CsinO1CF 3sin O1CF，而131，故sinOCF 5，O F 3 5，M所在的圆周的半径tanO1CF tanBCS1155411231为3 23 53 103 30，故其轨迹的长度为51025D D1 1C C1 1N NB B1 1O O22B B1 1N NC C1 1A A1 1O O1 1S SC CD DT TMMS SF FB BC CA AB B图1图2二、解答题二、解答题15.如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB 60，AB 2AD，PD 底面ABCD.1证明：PA BD；2设PD AD 2，求点D到面PBC的距离.试卷第 4 页，总 9 页.解解析析：1证明：因为DAB 60，AB 2AD，由余弦定理得BD 3AD.从而BD2 AD2 AB2，BD AD，又由PD 底面EABCD，BD面ABCD，可得BD PD.BD面PAD，PA面PAD，PA BD.2 法 1：在平面PDB作DE PB，垂足为E.PD 底面ABCD，BC 面ABCD，PD BC，由 1知BD AD，又BC/AD，BC BD，又ADBD D，.BC 平面PBD，又ADBD DBC DE.那么DE 平面PBC.由题设知，PD 2，那么BD 2 3，PB 4，根据DE PB PD BD，得DE 3，即点D到面PBC的距离为3.法2：设 点D到 平 面PBC的 距 离 为d，由 1 得BD AD，AB 4，111VPBCDVPABCDS223134 31PD 242，又VSPBCd，由ABCDPBCD6233PD 底 面ABCD，BD面ABCD，DC 面ABCD，PBD,PCD为Rt，PC PD2CD2 2 5，PB PD2CD2 4，又BC AD 2，PBC为Rt且1SPBC24 4，d 3.216.直角梯形ABCD中，AB/CD，AB AD，CD 2，AD 沿BD折起到PBD的位置，如图 2 所示.2，AB 1，如图 1 所示，将ABD1当平面PBD 平面PBC时，求三棱锥PBCD的体积；2在图 2 中，E为PC的中点，假设线段BQ/CD，且EQ/平面PBD，求线段BQ的长；解析解析：1当平面PBD 平面PBC时，因为PB PD，且平面PBD平面PBC PB，PD 平面PBD，所以PD 平面PBC，因为PC 平面PBC，所以PD PC.因为在直角梯形ABCD中，AB/CD，AB AD，CD 2，AD 2，AB 1，所以BD BC 3，DP 2.所以jz*CPCD2PD22.又 因 为BP 1，所 以BP2CP2 BC2，所 以BPCP.所 以SPBC121121PBPC 2.所以三棱锥PBCD的体积等于VDPBCSPBCPD 2233232取PD的中点F，连接EF，BF，如上图所示.又因为E为PC的中点，所以EF/CD，且EF 1CD.又因为BQ/CD，所以EF/BQ.2所以B，F，E，Q共面.因为EQ/平面PBD，EQ 平面BFEQ，且平面BFEQ平面PBD BF，所以EQ/FB.又因为EF/BQ，所以四边形BFEQ是平行四边形.所以BQ EF 1CD 1.217.如图几何体中，矩形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC 2DE，DE/BC，BD AD，M为AB的中点.1证明：EM/平面ACDF；2证明：BD 平面ACDF.解析解析：1法 1：延长BE交CD与G，连接AG，E,M为中点，EM/AG，EM 平面AFDC，AG 平面AFDC，EM/面G GACDF法 2：如图，取BC的中点N，连接MN、EN.在ABC中，M为AB的 中 点，N为BC的 中 点，MN/AC，又 因 为DE/BC，且DE 1四边形CDEN为平行四边形，EN/DC，又MNBC CN，2EN N，ACCD C.平面EMN/平面ACDF，又EM 面EMN，EM/面ACDF.法 3：如图，取AC的中点P，连接PM，PD.在ABC中，P为AC的中点，M为AB的中点，PM/BC，且PM 11BC，又DE/BC，DE BC,PM/DE，故四边形DEMP为平行四22边形，ME/DP，又DP平面ACDF，EM 平面ACDF，EM/面ACDF2平面ACDF 平面BCDE，平面ACDF平面BCDE DC，又AC DC，AC 平面BCDE，AC BD，又BD AD，BDAD A，BD 平面ACDF试卷第 6 页，总 9 页.18.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，ABBP，M为AC的中点，N为PD上一点.1假设MN平面ABP，求证：N为PD的中点；2假设平面ABP平面APC，求证：PC平面ABP.【解析】1连接BD，由四边形ABCD为矩形得：M为AC和BD的中点，MN平面ABP，MN平面BPD，平面BPD平面ABPBP，MNBP，M为AC的中点，N为PD的中点.2在ABP中，过点B作BEAP于E，平面ABP平面APC，平面ABP平面APCAP，BE平面ABP，BEAPBE平面APC，又PC平面APC，BEPC.ABCD为矩形，ABBC，又ABBP，BCBPB，BC，BP平面BPC，AB平面BPC，ABPC，又BEPC，AB平面ABP，BE平面ABP，ABBEB，PC平面ABP19.如图,在四棱锥P ABCD中，ABDC,AD DC 1求证：DM平面PCB；2假设AD AB,平面PAC 平面PBC,求证：PA BC.【解析】1 如图，取PB中点N,连结CN,MN.因为M是线段PA的中点,所以MNAB,MN 1AB,M是线段PA的中点.21AB,2因为DCAB,CD 1AB,所以MNDC,MN CD,所以四边形CDFM为平行四边形,所以2PCNDM,因为CN 平面PCB,DM 平面PCB,所以DM平面PCB.2连结AC,在四边形ABCD中，因为AD AB,CDAB,所以AD CD,设MAN1AD a,因 为AD DC AB,所 以CD a,AB 2a,在ADC中，2DBCADC 90,AD DCAC 2a,CAB 45,所在以DCADAC 45中,从而所以ACBAB 2a,AC 2a,CAB 45,222BC AC2 AB22AB ACcosCAB 2a,所以AC BC AB,即AC BC.在平面PAC中,过点A作AE PC,垂足为E,因为平面PAC 平面PBC,所以AE 平面PBC,又因为BC 平面jz*PBC,所以AE BC,因为AE 平面PAC,AC 平面PAC,所以BC 平面PAC.因为PA平面PAC,所以PA BC.20.如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,ACB 900，E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点，且CG C1G.1求证：CG/平面BEF；2求证：平面BEF 平面AC11G.【解析】证:()连接AG交BE于D,连接DF,EG.E,G分别是AA1,BB1的中点，又F是AC的AEBG且AE=BG,四边形AEGB是矩形.D是AG的中点，中点,DFCG，那么由DF 面BEF,CG 面BEF,得CG面BEF0()在直三棱柱ABC A1B1C1中，C1C底面A1B1C1,C1CA1C1.又A1C1B1 ACB 90,即C1B1A1C1，A1C1面B1C1CB,而CG 面B1C1CB，A1C1CG，又CG C1G,由()DFACDF 平面AC平面BEF 平面ACCG，11 DF,DF C1G，11G，DF 平面BEF，11G.三、提高练习21.在三棱锥P ABC中，AB BC，AB6，BC 2 3，O为AC的中点，过C作BO的垂线，交BO、AB分别于R、D，假设DPRCPR，那么三棱锥P ABC体积的最大值为_【答案】3 3【解析】在RtABC中，ACB 60，OCB为等边三角形，DCB 30，所以CD 4，CR 3，所以DR 1，在PDC中，所以DPRCPR，2222PDDR1如以下图 2，设Px,y，D0,0，PCRC3219那么C4,0，从而有9x yx4 y，整理得到x y2，故PCD的边CD上的24高的最大值为3131，从而P ABC体积的最大值为2 36 3 32322试卷第 8 页，总 9 页.P Pb bP PA AO OD DR RB BC CD DR RC Cx x图(1)图222.如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的 中 点，点F在 棱CC1上，AB AC，AA13，BC CF 21求证：C1E/平面ADF；2设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM 平面ADF？【解析】1连接CE交AD于O，连接OF因为CE,AD为ABC中线，所以O为ABC的重心，CFCO2从而CC1CE3OF/C1EOF 面ADF，C1E 平面ADF，所以C1E/平面ADF2当BM 1时，平面CAM 平面ADF在直三棱柱ABC A1B1C1中，由于B1B 平面ABC，B1B 平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC由于AB AC，D是BC中点，所以AD BC又平面B1BCC1平面ABC BC，所以AD平面B1BCC1而CM 平面B1BCC1，于是AD CM 因为BM CD 1,BC CF 2，所以所以CM DFDF,AD相交，所以CM平面ADF，RtCBM RtFCD，CM平面CAM，所以平面CAM 平面ADFjz*
