2011年高考数学第二轮复习 数列教学案.pdf

20112011 年高考第二轮专题复习（教学案）年高考第二轮专题复习（教学案）：数列：数列考纲指要：考纲指要：数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，通常以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考点扫描：考点扫描：1等差数列定义、通项公式、前n 项和公式。2等比数列定义、通项公式、前n 项和公式。3数列求通项的常用方法如：作新数列法；累差叠加法；归纳、猜想法；而对于递归数列，则常用归纳、猜想、数学归纳法证明；迭代法；代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。4数列求和常用方法如：公式法；裂项求和；错项相消法；并项求和。考题先知：考题先知：例 1.已知fxbx1 1x ,a 0，f1 log162,f212aax1求函数fx的表达式；定义数列an(1 f(1)(1 f(2)(1 f(n),求数列an的通项；求证：对任意的nN有(a1)(a2)(an)f解：由f121212122241 b121 log162a14a 11，所以fx212bb 0211 x112a2*1 1 1 an121212234111111112233n22n111n121 1 11n1n111111不等式a1a2a3an等价于222242222111112222234n1111111112223242nn1n1122334111111111223nn1n1因为例 2如图，已知一类椭圆：Cn:x2y2bn2yPndn1,(0 bn1,n 1,2,3)，若椭圆 Cnx上有一点 Pn到右准线ln的距离dn是PnFn与PnGn的等差中项，其中 Fn、Gn分别是椭圆的左、右焦点。（1）试证：bnFnOGnln3(n 1)；2（2）取bn2n 3，并用 Sn表示PnFnGn的面积，试证：S1 S2且S1n Sn(n 3)。n 2证明：（1）由题设与椭圆的几何性质得：2dn=PnFn+PnGn=2，故dn=1，设cn1bn，则右准线ln的方程为：xn21111 dn1得，从而由cncncn3112(n 1)；cn1，即1bn1，有bn222（2）设点Pn(xn,yn)，则由dn=1 得xn11，cn从而yn bn(1 xn)所以Sn222132(2c c 2cn1)，nn2cn1322cn yn=(2cn cn 2cn1)，2322因函数f(x)2x x 2x 1中，由f(x)6x 2x 2 0得x 1136所以 Sn在区间,1 1131 13上是增函数，在区间（,1）上是减函数，266由bn2n 312，可得cn1bn1，知cn是递增数列，n 2n 231 134 c3，故可证S1 S2且S1n Sn(n 3)。465而c2评注：这是一道较为综合的数列与解析几何结合的题目，涉及到的知识较多，有椭圆的相关知识，列不等式与解不等式，构造函数，利用导数证明其单调性等，这也表明数列只是一个特殊函数的本原问题，提示了数列问题的函数思想方法。复习智略：复习智略：t2t 2例例 3 3已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值(t0),f(1)=042(1)求y=f(x)的表达式；n+1*(2)若任意实数x都满足等式f(x)g(x)+anx+bn=xg(x)为多项式，nN N),试用t表示an和bn；222(3)设圆Cn的方程为(xan)+(ybn)=rn，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,);rn是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Snt 22t2解 (1)设f(x)=a(x)，由f(1)=0 得a=1422f(x)=x(t+2)x+t+1(2)将f(x)=(x1)x(t+1)代入已知得n+1(x1)x(t+1)g(x)+anx+bn=x，上式对任意的xR R 都成立，取x=1 和x=t+1 分别代入上式得an bn1且t0，n1(t 1)an bn(t 1)t 11n+1n1(t+1)tt222(3)由于圆的方程为(xan)+(ybn)=rn，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1 上，解得an=(t+1)1，bn=又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=2an+1an=2(t+1)设rn的公比为q，则n+1n1rnrnq 2(t 1)n2rn1rn1q 2(t 1)得rn12(t 1)n1q=t+1，代入得rn=rnt 2r1(q2n1)2(t 1)42nSn=(r1+r2+rn)=(t+1)1q21t(t 2)32222检测评估：检测评估：y x成等差数列，则点P的轨迹图形是21 动点P的横坐标x、纵坐标y使lgy、lg x、lg（）y1x-1OBy1y10.51y1-1OD1x-1OA1x-1OC0.51x1解：由条件得2lg x lg y lg所以化为y y x22，即2x xy y 0，又y 0,y x,x 0，22x,(x 0)，故选 C。x,(x 0)12a3a4的a4a52、各项都是正数的等比数列an的公比q1，且a2，a3，a1成等差数列，则值为（）A5 15 1155 15 1BCD或222223给定正整数n（n 2）按右图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1,2,3,下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n行）只有一个数例如n 6时数表如图所示，则当n 2007时最后一行的数是（）A25122007B200722006,n，在1121124848 64642020 2828 36368 8 1212 1616 20203 35 57 79 9 11111 12 23 34 45 56 6C25122008D2007220054设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的 4 倍，且第二项与第四项的积是第3 项与第 4 项和的 9 倍，则数列lgan的前几项和最大（）A4 B5 C6 D7f(an)(n为奇数)，5 已知f（x）x1，g（x）2x1，数列an满足：a11，an1g(an)(n为偶数)，则数列an的前 2007 项的和为2008200720061003A522008 B325020 C625020 D6250206.在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4 依次成等差数列，而 1，y1，y2，8 依次成等比数列，则OP1P2的面积是_7已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且 0logm(ab)1,则m的取值范围是_8已知数列an满足：an1 an 2,nN,a1 4,则an.=。9、在等差数列an中，a1为首项，Sn是其前n项的和，将Sn13(a1an)n整理为2Sn1SnS1S21（n是正整数）ana1后可知：点P(a,),P(a,),P(a,),1122nnn2212n11都在直线y xa1上，类似地，若an是首项为a1，公比为q(q 1)的等比数列，22则点P1(a1,S1),P2(a2,S2),Pn(an,Sn),（n是正整数）在直线_上a10假设实数a1,a2,a3,a4是一个等差数列，且满足1 a1 3及a3 4若定义bn 2n，给出下列命题：b1,b2,b3,b4是一个等比数列；b1 b2；b2 4；b4 32；b2b4 256其中正确的命题序号为11、随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1 升排量的 Q 型车、R 型车的销量引起市场的关注。已知 2006 年 1 月 Q 型车的销量为a辆，通过分析预测，若以 2006 年 1月为第 1 月，其后两年内 Q 型车每月的销量都将以 1%的比率增长，而 R 型车前n个月的销2n售总量Tn大致满足关系式：Tn 228a 1.011.（1）求 Q 型车前n个月的销售总量Sn的表达式；（2）比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；（3）试问到 2007 年底是否会出现两种车型中一种车型的月销售量小于另一种车型月销售量的 20%，并说明理由.12已知f(x)logax(0 a 1),an，若数列an使得2,f(a1),f(a2),f(a3),f(an),2n 4(n N*)成等差数列.（1）求an的通项an;2a42na2n41,求证:Sn 3.（2）设bn an f(an),若bn的前 n 项和是 Sn，且221 a1 a点拨与全解：点拨与全解：1解：由条件得2lg x lg y lg所以化为y y x22，即2x xy y 0，又y 0,y x,x 0，22x,(x 0)，故选 C。x,(x 0)15（负值舍去），故选 B。222.解：设公比为q,由a1q a1q a1，从而q n23.解：设第n行的数为an，则an an1(an1 2)，从而anan11an，即数列n2n2n142是以a111(n 1)，为首项，为公差的等差数列，得nn4242所以a20071200822007，故选 A。4*4.设公比为q,项数为 2m,mN N,依题意有a1(q2m1)a1q(q2m1)q1q21(a q)(a q3)9(a q2a q3)1111 4q1q11q 化简得解得3a q2 9(1 q),a11081设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1nq1+2+(n1)11n(n1)lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg322lg372=()n+(2lg2+lg3)n2272lg2lg32可见，当n=时，Sn最大lg3=nlga1+72lg2lg340.370.42而=5,故lgan的前 5 项和最大，故选 Blg320.45.解：a2n2a2n11（2a2n1）12a2n2，a2n222（a2n2），数列a2n2是以 2 为公比、以a2a112 为首项的等比数列 n1 na2n222，a2n2 2又a2na2n1 a2n2a2n13a2n1，数列an的前 2007 项的和为a1（a2 a3）（a4 a5）（a6 a7）（a2006 a2007）a1（3a21）（3a41）（3a61）（3a20061）231003 1（325）（32 5）（32 5）（325）1（325）（32 5）（32 5）（325）231003 3（22 2 2151003100310036（21）15100362 5020，故选 D6.解:由 1,x1,x2,4 依次成等差数列得 2x1=x2+1,x1+x2=5 解得x1=2,x2=32又由 1，y1,y2,8 依次成等比数列，得y1=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,231003P1(2,2),P2(3,4)OP1(2,2),OP2=(3,4)OP1OP2 6 8 14,OP1 2 2,|OP2|5,cosPOP12OPOP147 2212,sinPOP 121010|OP52 21|OP2|SOP1P2112|OP|OP|sin POP 2 251121222107解：由2b a a b22b a b得a 2，原不等式化为0 logm8 1，m(,8)。b 48.解：作方程x 数列bn是以13311x 2,则x0.当a1 4时，a1 x0,b1 a1.32221bn b1()n131为公比的等比数列.于是311133111()n1,an bn()n1,nN.232223aqx 1q 11 q9利用等比数列的求和公式可知：y 10可证正确。11.解：（1）Q 型车每月的销售量an是以首项a1 a，公比q 11%1.01的等比数列，a1.01n1*100a1.01n1，前n个月的销售总量Sn（nN，且n 24）.1.011n2n（2）SnTn100a 1.01 1 228a 1.01132100a 1.01n1 228a 1.01n1 1.01n1 228a1.01n1 1.01n，又571.01n1 0，1.01n32 0，Sn Tn.57n1（3）记 Q、R 两款车第n个月的月销售量分别为an和bn，则an a1.01，2n2n21当n 2时，bn TnTn1 228a 1.011 228a 1.01 228a 1.01 1 1.0122n2 4.5828a1.012n2b1 4.5828a或2280.0201a，显然20%b1 a1n1当n 2时，若an 20%bn，a1.011.012n114.5828a1.012n2，5551.091036048，1.01n1，1.01n14.58284.5828n 10，即从第 10 个月开始，Q 型车的月销售量小于R 型车月销售量的20%。（an 20%bn不可能）12 解：设 2，f(a1),f(a2),f(a3),，f(an),2n+4 的公差为 d，则 2n+4=2+(n+21)dd=2,2n2.f(an)2(n 11)d 2 nd 2n 2 logaan 2n 2an a2n2logaa2n2(2n 2)a2n2，（2）bn an f(an)a462n2n2Sn 4a 6a 2na(2n 2)aa2Sn 4a6 6a8(2n 2)a2n 2na2n2(2n 2)a2n4(1 a2)Sn 4a4 2a6 a2n2(2n 2)a2n4,a 1,2a4(1 a2n)2a4(2n 2)a2n42a41 a2n2nSn1(n 1)a,22222(1 a)1 a1 a1a2a41,又0 a 1 2a4 a21(2a21)(a21)0,21 a2故2a21 0,解得,0 a.22a42n1,又a 0,21 a2na2n42a41 a2n1 a2n12n2nSn(1 a)1 a1222221 a1 a1 a1 a1 a11121 3.