2013届高三数学一轮复习课时作业(26)三角形中的综合问题 江苏专版.pdf

课时作业课时作业(二十六二十六)第第 2626 讲讲三角形中的综合问题三角形中的综合问题 时间：45 分钟分值：100 分基础热身1某人向正东方向走xkm 后，向右转 150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，则x的值是_2轮船A和轮船B在中午 12 时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h，15 n mile/h，则下午 2 时两船之间的距离是_n mile.3 在一个塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为 2，再向塔底前进 10 3 m，又测得塔顶的仰角为 4，则塔的高度为_ m.图 K2614如图 K261，已知A，B两点的距离为 100 n mile，B在A的北偏东 30方向，甲船自A以 50 n mile/h 的速度向B航行，同时乙船自B以 30 n mile/h 的速度沿方位角 150方向航行，航行_ h，两船之间的距离最小能力提升5 从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的关系为_6一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔P的南偏西 75距塔 68 n mile的M处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 nmile/h.图 K2627如图K262 所示，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距 40 m 的C、D两点，测得ACB60，BCD45，ADB60，ADC30，则A、B间的距离是_ m.图 K2638如图K263，海岸线上有相距5 n mile 的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西 75方向，与A相距 3 2 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西 60方向，与B相距 5 n mile 的C处则两艘轮船之间的距离为_ n mile.9飞机从甲地以北偏西15的方向飞行 1400 km 到达乙地，再从乙地以南偏东75的方向飞行 1400 km 到达丙地，那么丙地距甲地距离为_ km.10某海岛周围 38 n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60方向，航行 30 n mile 后测得此岛在东北方向 若不改变航向，则此船_触礁的危险(填“有”或“无”)11已知扇形的圆心角为2(定值)，半径为R(定值)，分别按图K264(1)、(2)作扇12形的内接矩形，若按图 K264(1)作出的矩形面积的最大值为Rtan，则按图 K264(2)2作出的矩形面积的最大值为_图 K264图 K26512如图 K265，已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于 1 km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东 45方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东 60方向，则塔M到直路ABC的最短距离为_13(8 分)2011惠州三模如图 K266，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河的一边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA45，且AB100 m.(1)求 sin75；(2)求该河段的宽度图 K26614(8 分)如图 K267，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为 20 km 和 50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s 后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；图 K26715(12 分)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图 K268)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤图 K26816(12 分)如图 K269，开发商欲对边长为 1 km 的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF(点E、F分别在BC、CD上)，根据规划要求ECF的周长为 2 km.(1)试求EAF的大小；(2)欲使EAF的面积最小，试确定点E、F的位置图 K269课时作业(二十六)【基础热身】12 3或 3解析 先根据已知条件画出草图，再用余弦定理列方程，解方程即可222270解析d50 30 25030cos1204 900，所以d70，即两船相距70 n mile.315解析 如图，依题意有PBBA30，PCBC10 3，在BPC中由余弦定理22210 330 10 33可得 cos2，所以 230，460，在PCD2210 330中，可得PDPCsin6010 3315(m)265解析 设经过x h，两船之间的距离最小，由余弦定理得49S2(10050 x)2(30 x)2230 x(10050 x)cos6024 900 x13 000 x10 00021304 900 xx10 0004965267 500，4 900 x4949652所以当x时，S最小，从而两船之间的距离最小49【能力提升】5.解析 如图所示，从A处望B处和从B处望A处视线均为AB，而，同为AB与水平线所成的角，因此.4.6.17 6PMMN解析 如图所示，在PMN中，2sin45sin12068 3MN34 6，2MN17v6(n mile/h)42720 6解析 由已知可知BDC为等腰直角三角形，DB40 m.由ACB60和ADB60知A、B、C、D四点共圆，所以BADBCD45.在BDA中，BDsin60由正弦定理可得AB20 6.sin458.13解析 连接AC，结合题意可得ABC为正三角形，故在ACD中，由余弦定理，222得CD(3 2)5 23 25cos13，故两艘船之间的距离为 13 n mile.491 400解析 如图所示，ABC中，ABC751560，ABBC1 400，AC1 400，即丙地距甲地距离为1 400 km.10无解析 由题意，在ABC中，AB30，BAC30，ABC135，ACB15，由正弦定理BC30sinBACsin3015(6 2)sinACBsin156 24AB15在 RtBDC中，CBD45，CDBCsinCBD15(31)38，故无触礁危险11.R2tan解析 将图(2)中的扇形旋转后如图所示，则由图(1)的结论可知矩形ABCD，21CDEF最大面积均为R2tan，故矩形ABFE的最大面积为R2tan.22275 3212.km解析 法一：由题意得MC 2MA，在MAC中，由余弦定理，得MA134.32 2cos75122由面积关系得AChMAsin75.22求得h24sin7575 3(km)232 2cos7513法二：以点B为坐标原点，BM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设M(a,0)，A(b，c)，则C(b，c)cb1，a可得c3ba3.b2c21，82 32解得c.13cb故直线AB的方程为(1 3)xy0.设点M到直线AB的距离为|MD|，又kAB(1 3)12470 375 32则|MD|，所以|MD|(km)1691313解答(1)sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin4512326 2.22224(2)CAB75，CBA45，ACB180CABCBA60，由正弦定理得：.sinACBsinCABABsin75BC.sin60如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度ABBC在 RtBDC中，BCDCBA45，sinBCD，6 21004ABsin752BDBCsin45sin45，sin6023262 3503 3(m)3314解答 依题意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，PA2AB2PB2x2202x1223x32cosPAB.2PAAB2x205x在PAC中，AC50，PA2AC2PC2x2502x225cosPAC，2PAAC2x50 x3x3225，解之得x31.5xx故PCx，PBx12.x31.15思路 要求出M，N间距离，可以以MN为边构造三角形，把问题转化为解三角形问题首先要寻找已知条件，这里可借助于可测的A点到M，N点的俯角及B点到M，N点的俯角以及A，B间的距离解答 方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1，B点到M，N的俯角2，2；A，B间的距离d(如下图所示)dsin2第一步：计算AM.由正弦定理得AM；sin12dsin2第二步：计算AN.由正弦定理得AN；sin21第三步：计算MN.由余弦定理得MNAM2AN22AMANcos11.25BDBC方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的俯角2，2；A，B间的距离d(如上图所示)dsin1第一步：计算BM.由正弦定理得BM；sin12dsin1第二步：计算BN.由正弦定理得BN；sin21第三步：计算MN.由余弦定理得MNBM2BN22BMBNcos22.点评 测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长本题中把测量目标纳入到AMN或者BMN均可，这两个三角形只能测量出求解目标的对角，要解这样的三角形就必须求出其中的两条边长，而这两条边长可以借助于MAB，NAB求出根据求解目标确定三角形，借助于其他的三角形求这个三角形的元素，就是测量问题的基本思想16解答(1)设BAE，DAF，CEx，CFy(0 x1,0y1)，则 tan1x，tan1y，22由已知得：xyxy2，即 2(xy)xy2，tantan1x1y2xy tan()1tantan11x1yxyxy2xy1.xy22xy0，即EAF.244(2)由(1)知，12SAEFAEAFsinEAFAEAF24211214coscos4coscos21142cossincoscoscos4112sin22cossin2cos211.2sin2140，2，即时AEF的面积最小，最小面积为 21.44282tan8tan，tan 21，4821tan8此时BEDF 21，所以，当BEDF 21 时，AEF的面积最小