高中立体几何基础知识点全集.pdf
高中立体几何基础知识点全集姓名：一直线和平面的三种位置关系：1.线面平行l符号表示：2.线面相交lA符号表示：3.线在面内l符号表示：二平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。l ll/l l/m m m m方法二：用面面平行实现。l/l l/mm m方法三：用线面垂直实现。若l,m，则l/m。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且 l、m 不重合，则l/m。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。ll/m mm l/l 方法二：用面面平行实现。/ll l/方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向nl量，n l且l,则l/。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。l/lmlm/ml,m 且相交/mll,m且相交方法二：用线面平行实现。l/lm/m/l,m 且相交三垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。l ACl ABlAC AB A l AC,AB ACB1方法二：用面面垂直实现。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：al m l 222cml m,l 2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll l 方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。ll m l mm方法二：三垂线定理及其逆定理。PPO l OAl PAAOl l方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为 0，则l m。三夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1)范围：(0,90(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。cosa b c2abb(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角C(计算结果可能是其补角)：AcosAB ACBAB AC(二)线面角(1)定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外），作PO于 O,连结 AO，则 AO 为斜线 PA在面内的射影，PAO(图中)为直线 l 与面所成的角。PAO(2)范围：0,90当 0时，l 或l/当 90时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。方法二：向量法(n为平面的一个法向量)。sin cos n,AP nPAO2n APn AP步骤一：计算cos n1n2n1n2n1 n2(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m、n，则射线 m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。mmn nP Pl l步骤二：判断与 n1n2的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1点面距。方法一：几何法。P P(2)范围：0,180(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面和，则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2：解三角形，求出二面角。PO步骤 1：过点 P 作 PO于 O，线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段 PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)方法二：坐标法。nAPO A AO Od AP cos n AP n APn2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。mm n nA如图，m 和 n 为两条异面直线，n 且则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直m/，线 m 与平面之间的距离。方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。3B Bc ca aA Amm则ab ab d dn n b bD Dmmab cos ab 六常见几何体的特征及运算(一)长方体1.长方体的对角线相等且互相平分。2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、，则cos+cos+cos222C C如图，AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段，m/m，则异面直线 m 和 n 之间的距离为：d c2a2b2 2abcos五空间向量(一)空间向量基本定理若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对x、y、z，使得p xa yb zc。(二)三点共线，四点共面问题1.A，B，C 三点共线若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、，则cos+cos+cos3.若长方体的长宽高分别为 a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)(五)棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积：V棱柱V棱锥(七)球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。4222OA xOB yOC，且x y 11当x y 时，A 是线段 BC 的2A，B，C 三点共线AB AC2.A，B，C，D 四点共面OA xOB yOC zOD，且x y z 11当x y z 时，A 是BCD 的3A，B，C，D 四点共面AB xAC yAD(三)空间向量的坐标运算1.已知空间中 A、B 两点的坐标分别为：A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)则：AB ;dA,BAB 2.若空间中的向量a (x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)2.设球半径为 R，小圆的半径为 r，小圆圆心为 O1，球心 O 到小圆的距离为 d，则它们三者之间的数量关系是。3.球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4.球的表面积公式：体积公式：5
