高二数学圆锥曲线中离心率的求法.pdf
圆锥曲线中离心率的求法圆锥曲线中离心率的求法在解析几何中，求离心率在高考中经常出现，解法较灵活，下面就介绍些常用的方法。1 1、公式法、公式法：即利用e 例例 11已知椭圆mx2c这一公式求离心率。a5，求m的值。5y2 5m的离心率e 1022xy解：将椭圆方程化为标准方程得：15m（1）当0 m 5时，a2 5,b2 m,c2 5 m,e c5 m5a10，可得m 3；（2）当52525cm510，222可得；。m m 5时，m 3或m a m,b 5,c m5,e 33a5m3y x，求双曲线的离心率。4b3解：（1）当双曲线的焦点在 X 轴上时，可得：，a4 例例 22已知双曲线的渐近线为从而e caa2b25b 1；a4a2（2）当双曲线的焦点在 Y 轴上时，可得：a35，同理可得e；b4355双曲线的离心率为或。342 2、几何法、几何法：求与焦点三角形有关的离心率，可根据三角形的特征设一条边，再想办法求出 2a,2c，从而可得离心率。例例 33以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点 M，若直线MF1(F1为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是（）y（A）3 1（B）23（C）22（D）32F1OMF2x解：如图，由题意得MF1F2为直角三角形，设MF21，1/4则F1F2 2，从而MF13，F1F2MF1 MF223 13 1，故选 A。e 例例 44F1，F2为椭圆的左右两个焦点，过 F2的直线交椭圆于 P、Q 两点，PF1 PQ，且|PF1|PQ|，求椭圆的离心率。解：设PF,则PQ 1,F1Q 112，PF1 PQ QF1 4a，2QF1PF22a 2221,2c 22PF1 PF22 122a126，2e 2c6 3。2a3 3、方程法：、方程法：寻求关于 a,c 的齐次关系式，化归为关于 e 的方程，再通过解方程求出离心率。x2y2 例例 55（1996 全国理、文）设双曲线221（0 a b）的半焦距为 c，直线l过（a,0），（0,b）ab两点，已知原点到直线l的距离为3c，则双曲线的离心率为（）42 333ab3c,则有c，又2244a b（A）2（B）3（C）2（D）解：由已知得，直线l的方程为 bx+ay-ab=0,原点到直线l的距离为c2 a2b2，4ab 3c2，两边平方得16a2c2 a2 3c4两 边 同 除 以2a4，并 整 理 得3e416e216 0，e2 4或e243，而0 a b，得c2a2 b2b22，e 4，故e 2，故选 A。e 21 2aa2a2 例例 66过双曲线的一个焦点 F 作垂直于实轴的弦 MN，A 为双曲线的距 F 较远的顶点，且MAN 90，则双曲线的离心率等于_。y解：不妨设 F 为左焦点，如图，由已知得，MF AF，即b a c，aF2MAx2/4N又b2 c2 a2，c2 a2 aa c，22两边同除以a并整理得e1e 2 0，e 2或e （舍去），双曲线的离心率为 2。4 4、数形结合法、数形结合法：与渐近线及其夹角有关的问题,抓住双曲线中矩形的边角关系来处理问题就简单易求。x2y2 例例 77若双曲线221（a 0,b 0）的两条渐近线的夹角为，则离心率为（）ab（A）sec2（B）csc2（C）sec或csc（D）sec2或csc2a解：（1）当a b 0时，AOB,cos,从而e sec；22c2（2）当0 a故选 D。yDOABx b时，AOD,sina,从而e csc。22c2x2y2 例例 88设221的两条渐近线含实轴所成的角为，而离心率eab（A）2,2，则的取值 X 围是（）yAO ,（B）6 23 222,（C）（D）233解：由图知，AOB Bx2,cos2a11222，,ce2224323故选 C。5 5、比例性质法、比例性质法：在椭圆或双曲线含焦点的三角形中，若已知两个角，可用正弦定理及比例性质来求离心率。例例 99已知 M 为椭圆上一点，F1，F2是其两个焦点，且MF1F2的离心率为（）（A）12sin（B）1sin2（C）1cos2（D）2cos 2，MF2F1 0，则椭圆y1MxF1O3/4F2解：由已知及正弦定理得，MF1sinMF2sin 2F1F2sin3MF1 MF2sin sin2F1F2sin3，sin33sin4sin334sin2e 2cos1MF1 MF2sinsin2sin12cos12cos故选 D。例例 1010已知 P 为双曲线右支上一点，F1，F2是其左右两焦点，且PF1F2曲线的离心率为_。解：由已知及正弦定理得，F1F215，PF2F1 75，则双PF1sin75PF2sin15F1F2sin90，yPoF2xPF1 PF2sin75sin15F1F2sin90sin901e 2，PF1 PF2sin75sin152cos45sin30F1F2F双曲线的离心率为2。5特殊值法：当离心率是一个变量时，想到取特殊值再用排除法求解。上面的例 9 也可以这样解：取 30,则2 60,F1MF2 90，从而，在MF1F2中，设MF11,则F1F2 2，MF23e F1F2MF1 MF223 13 1，而当 30时，1 2sin 0,1sin2131,1cos2，故可排除（A）（B）（C）选（D）。224/4
