安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题.pdf
安徽省黄山市屯溪第一中学 2019-2020 学年高二数学上学期期中试题 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30 平行，则a ()A1 B2 C0 或2 D1 或 2 2 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上 C直线AC上 DABC内部 3.设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是 A若b,c，则bc B若b,bc，则c C若c，c，则 D若c，则 c 4.已知直线m、n，平面、,给出下列命题:若,mn，且mn，则 若/,/mn，且/mn，则/若,/mn，且mn，则 若,/mn，且/mn，则 其中正确的命题是()A.B.C.D.5直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是 ()A.1，15 B.，12()1，C(，1)15，D(，1)12，6.给出下面四个命题：其中正确的命题是()过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行 对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 A.B.C.D.7已知l是大小确定的一个二面角，若a、b是空间两条直线，则能使a、b所成角的为定值的一个条件是()Aa/且 b/Ba/且 b Ca且 b/Da且 b 8.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A1 B.2 C.212 D.212 9.若二面角l 为56，直线m，直线n，则直线m与n所成的角取值范围是 ()A(0,)2 B,6 2 C,3 2 D,6 3 10正方体 ABCD1111ABC D的棱上到异面直线 AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A2 B3 C.4 D.5 11.如图，已知正三棱柱111ABCABC的各条棱长都相等，M是侧 棱1CC的中点，则异面直线1ABBM和所成的角的大小是 ()A30 B45 C.60 D.90 12某几何体的三视图如图所示，当ab取 最大值时，这个几何体的体积为 ()A16 B.13 C.23 D.12 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线xsin Aayc0 与 bxysin Bsin C0 的位置关系是_ 14 点 A(1，1)到直线 xcosysin20 的距离的最大值是 .15如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AMME最小，其最小值为_ 16.如图，正方体1111ABCDABC D，则下列四个命题：P在直线1BC上运动时，三棱锥1AD PC的体积不变；P在直线1BC上运动时，直线 AP 与平面 ACD1所成角的大小不变;P在直线1BC上运动时，二面角1PADC的大小不变；M是平面1111ABC D上到点D和1C距离相等的点，则 M 点的轨迹是过1D点的直线.其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号）.三解答题（本大题共有 6 小题，总分 70 分）17.（本题满分 10 分）设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围 18.（本题满分 12 分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度 19.（本题满分 12 分）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的正弦值。；20（本题满分 12 分）如图，已知，在空间四边形ABCD中，,BCAC ADBD，E是AB的中点.（1）求证：平面CDE平面ABC；（2）若3,5,4ABDCBCBD,求几何体ABCD的体积；（3）若G为ADC的重心，试在线段AB上找一点F，使得 GF平面CDE.21.（本题满分 12 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是菱形，PO 底面 ABCD，O、E 分别是 AD、AB 的中点，AB 6,AP 5，BAD 60 .（1）求证：平面 PAC 平面 POE；A C B P（2）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值；（3）若 F 是边 DC 的中点，求异面直线 BF 与 PA 所成角的余弦值。22.（本题满分 12 分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF（I）求证：EFBCE 平面；（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得 PM平面 BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角FBDA的正切值。屯溪一中高二第一学期期中考试数学试卷参考答案 一、选择题 1.D 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.D 8.C 9.C 10.C 11.D 12.D 二.填空题 13.垂直 14.22 15.3a2 16.17.（本题满分 10 分）设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围 解:(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为 0，当然相等 a2，方程即为 3xy0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为 0，得a2a1a2，即a11，a0，方程即为xy20.综上，l的方程为 3xy0 或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，所以020)1(aa 或020)1(aa 故1a 综上可知a的取值范围是(，1 18.（本题满分 12 分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度 解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为 3r，水面半径BC的长为 3r，则容器内水的体积为,VV圆锥V球13(3r)23r43r353r3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积 为,32,91)33(31hhhV，由VV，得h315r.19.（本题满分 12 分）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的正弦值；证明：（）取AB中点D，连结PDCD，PA=PB，PDAB AC=BC，CDAB AB平面PCD平面PCD，PCAB （）解 ACBC，APBP，PC=PC APCBPC 又PCAC，PCBC 又90ACB，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC取AP中点E 连结BECE，ABBP，BEAP EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP BEC是二面角BAPC的平面角 在直角三角形 ACB 中,AB=BC=2,90ACB,22 在等边三角形P 中623AB,在BCE中，90BCE，2BC，BE=6 ，6sin3BCBECBE PC A C B D P A C B E P A C B P 20.（本题满分 12 分）（1）证明：连接 BD,四边形 ABCD 是菱形,AC BD，21.又 OE/BD,OE AC PO 底面 ABCD,PO AC,OE OP O，AC 平面 POE,又AC 平面 PAC,平面 PAC 平面 POE （2）过点 B 作 BM OE 于 M，易证 PO BM,OE,OE OP O,BM 平面 POE PM 是 PB 在平面 POE 上的射影,BPM 即为所求。四边形 ABCD 是菱形，由平几知识得 BM=233 ,又 AP=5,OA=3,在直角三角形 POA 中得 OP=4,在直角三角形 POB 中，OB=33 ,OP=4,PB=43,在PMBRt中，233BM,43PB，所以861293sinPBBMBPM (3)取 PB 的中点 T,AB 的中点 H,连 BF,DH,TH.易证 DH/BF,TH/PA DHT 即为异面直线 BF 与 PA 所成角或其补角,在三角形 PDB 中,PD=5,DB=6,PB=43,43103243103643252cos222PBPDDBPBPDBPD ,在三角形 PDT 中，47943103243544325cos2222BPDPTPDPTPDDT,所以279DT,在DHT中，33DH,25HT,279DT 1033332252479274252cos222DHHTDTDHHTDHT9219tanDHT 21（本题满分 12 分）如图，已知，在空间四边形ABCD中，,BCAC ADBD，E是AB的中点.（1）求证：平面CDE平面ABC；（2）若3,5,4ABDCBCBD,求几何体ABCD的体积；（3）若G为ADC的重心，试在线段AB上找一点F，使得GF平面CDE.证明：（1）BC=AC，E 为 AB 的中点，ABCE.又AD=BD，E 为 AB 的中点ABDE.ECEDE,AB平面 DCE AB平面 ABC，平面 CDE平面 ABC.4 分 （2）在BDC 中，DC=3，BC=5，BD=4，222BCBDDCCDBD，5 分,在ADC 中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，222ACADDCCDAD，DBDADCD平面 ABD.所以线段 CD 的长是三棱锥 C-ABD 的高。6 分,又在ADB 中，DE=2554916,455332552121ABDESABD VC-ABD45533255321318 分（3）在 AB 上取一点 F，使 AF=2FE，则可得 GF平面 CDE9 分 取DC的中点H，连AH、EHG为ADC的重心，G在AH上，且AG=2GH，连FG，则FGEH10分 又FG平面 CDE，EH平面 CDE，GF平面 CDE 12 分 22.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相 垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF（I）求证：EFBCE 平面；（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得 PM平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角FBDA的正切值。解：（）因为平面ABEF平面ABCD,BC平面ABCD，平面ABEF平面ABCDAB，BCAB,所以BC平面ABEF所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，ABAE，所以45AEB 又因为45AEF，所以454590FEB，即EFBE,BC BE=B,所以EF平面BCE。4 分 （）存在点M,当M为线段AE的中点时，PM平面BCE.取 BE 的中点 N，连接 CN,MN，则 MN12ABPC，所以四边形 PMNC 为平行四边形，所以 PMCN，因为 CN 在平面 BCE内，PM 不在平面 BCE 内，所以 PM平面 BCE.8 分 另解：取 AB 的中点 T,连接 MT,PT，证明平面 MPT 平行平面 BCE,从而得到 PM平面 BCE.（）平面 ABEF平面 ABCD，平面 ABEF平面 ABCD=AB,EA平面 ABEF,EAAB,EA平面 ABCD，作 FGAB,交 BA 的延长线于 G，则 FGEA。从而，FG平面 ABCD，作 GHBD 于 H，连结 FH，则由三垂线定理知，BDFH，因此，FHG为二面角 F-BD-A 的平面角，因为 FA=FE,AEF=45,所以AFE=90，FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF=22.FG=AFsinFAG=12 在 RtFGH 中，GBH=45,BG=AB+AG=1+12=32,GH=BGsinGBH=3222=3 24 在 RtFGH 中，tanFHG=FGGH=23 故二面角 F-BD-A 的正切值为23.12 分
