2011届高考数学权威预测 21圆锥曲线中的最值问题和范围问题(2) 新人教A版.pdf

第二十一讲第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题（二）圆锥曲线中的最值和范围问题（二）【例【例 6 6】椭圆 E 的中心在原点 O，焦点在x轴上，其离心率e 2,过点 C（1,0）的直3线l与椭圆 E 相交于 A、B 两点，且满足点 C 分向量AB的比为 2.（1）用直线l的斜率 k(k0)表示OAB 的面积；（2）当OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程。（1）设椭圆E的方程为x2y2解：c2a2b21(ab0)，由e=a3a2=3b2故椭圆方程x2+3y2=3b2设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（1，0）分向量AB的比为 2，x1 2x2 1x11 2(x21)3y1 2y23 0即y1 2y2由x23y23b2消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0y k(x1)由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点得：0恒成立（点 C是AB 的内分点）xx6k212 3k213k23b2x1x23k21而S11332|y2|2y3OAB1 y2|2 y2|2|y2|2|k(x21)|2|k|x21|由得:x23|k|2+1=3k21，代入得：SOAB=3k21(k 0)（2）因S|OAB=3|k3k2133|k|132 332,|k|当且仅当k 33,SOAB取得最大值此时x1+x2=1,又x1 2x23=1x1=1,x2=2将x1,x2及k=21222代入得 3b=5 椭圆方程x+3y=53x2y2 1顺次交于A、B两点，若AP PB试【例【例 7 7】设直线l过点P（0，3），和椭圆94求的取值范围.解：当直线l垂直于x轴时，可求得 1;5当l与x轴不垂直时，设Ax1,y1,B(x2，y2)，直线l的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去y得9k解之得x1,22 4 x254kx 45 027k 6 9k25.29k 4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k 0的情形.27k 6 9k25 27k 6 9k25当k 0时，x1，x2，9k2 49k2 418k18x19k 2 9k25所以 11x29k 2 9k259k 2 9k259 2 95由 (54k)180 9k 4 0，解得k2所以112.k225，9189 2 951.5k21，5综上1 x2y2【例【例 8 8】我们把由半椭圆221(x0)与半椭圆aby2x21(x0)合成的曲线称作“果圆”，其中b2c2a b c，a 0，b c 0如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和222yB2A1.F.OM.F20A2xF1B1B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点（1）若F0F1F2是边长为 1 的等边三角形，求该“果圆”的方程；y2x2（2）设P是“果圆”的半椭圆221(x0)上任意一点求证：当PM取得最bc小值时，P在点B1，B2或A1处；（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标解：（1）F0(c，0)，F10，b2c2，F20，b2c2，F0F2b237c2c2b 1，F1F2 2 b2c21，于是c2，a2 b2c2，4444所求“果圆”方程为x2 y21(x0)，y2x21(x0)73（2）设P(x，y)，则a cb22(a c)222b2，c x0，|PM|x y12x(a c)x c42b22 12 0，|PM|的最小值只能在x 0或x c处取到c即当PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处2x2y2（3）|A1M|MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆221(x0)和aby2x2半椭圆221(x0)上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆bcx2y21(x0)上的情形即可a2b2ca2(a c)(a c)2a2(a c)2a c222|PM|x y2x b 224a2c4c2222a(a c)a2(a c)2|PM|x 当x，即时，的最小值在时取到，aa2c22c22ca2(a c)此时P的横坐标是2c2a2(a c)22x a|PM|PM|a当x，即时，由于在时是递减的，的最小a 2c22c值在x a时取到，此时P的横坐标是a2a2(a c)综上所述，若a2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是；22c若a 2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或c