2012届高考数学一轮复习 8.4 直线与圆锥曲线的位置关系教案.pdf

8.48.4直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.点击双基21.过点（2，4）作直线与抛物线y8x只有一个公共点，这样的直线有A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.答案：By22.已知双曲线C：x=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，4则满足上述条件的直线l共有A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.答案：D223.双曲线xy1 的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是A.（，0）B.（1，）C.（，0）（1，+）D.（，1）（1，）解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.答案：C24.过抛物线y=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8，O为坐标原点，则OAB的重心的横坐标为_.解析：由题意知抛物线焦点F（1，0）.设过焦点F（1，0）的直线为y=k（x1）（k0），2222A（x1，y1），B（x2，y2）.代入抛物线方程消去y得k x2（k+2）x+k=0.22(k2 2)k0，x1+x2=，x1x2=1.2k2|AB|=(1 k2)(x1 x2)2=(1 k2)(x1 x2)2 4x1x24(k2 2)22 4=(1 k)=8，k=1.k42OAB的重心的横坐标为x=答案：20 x1 x2=2.3x2y25.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1 所截得的线段的中点，则l的方程是369_.解析：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k=y1 y2x x2=1x1 x24(y1 y2)41=.422由点斜式可得l的方程为x+2y8=0.答案：x+2y8=0=典例剖析【例 1】已知直线l：y=tan（x+22）交椭圆x+9y=9 于A、B两点，若为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长2b，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将l方程与椭圆方程联立，消去y，得（1+9tan）x+362tanx+72tan9=0，2222226tan2 6|AB|=1 tan|x2x1|=1 tan=.22(1 9tan)1 9tan22133，tan.3335的取值范围是0，），）.66由|AB|2，得 tan2评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l的方程由 tan给出，所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还应讨论=时的情况.22深化拓展本题若把条件|AB|的长不小于短轴的长去掉，改为求|AB|的长的取值范围.读者不妨一试.6tan2 6提示：|AB|=，219tan6tan2 6设|AB|=y，即y=，1 9tan29ytan+y=6tan+6，2（9y6）tan+y6=0.2266时，由0 得y6.996当y=时，l与x轴垂直，92故|AB|的范围是，6.32【例 2】已知抛物线y=x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点.（1）求证：OAOB；当y（2）当OAB的面积等于10时，求k的值.剖析：证明OAOB可有两种思路（如下图）：（1）证kOAkOB=1；1|AB|.2求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求AOB的面积也有两种思路：1（1）利用 SOAB=|AB|h（h为O到AB的距离）；21（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用 SOAB=|AB|y1y2|.2（2）取AB中点M，证|OM|=请同学们各选一种思路给出解法.解方程组时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x是最简捷的.（1）证明：如下图，由方程组y2=x，消去 x 后，整理得y=k（x+1）ky+yk=0.设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1y2=1.22222A、B在抛物线y=x上，y1=x1，y2=x2，y1y2=x1x22kOAkOB=y1yy y12=12=1，OAOB.x1x2x1x2y1y2（2）解：设直线与x轴交于N，又显然k0，令y=0，则x=1，即N（1，0）.SOAB=SOAN+SOBN11|ON|y1|+|ON|y2|221=|ON|y1y2|，21SOAB=1(y1 y2)2 4y1y22=121()2 4.kSOAB=10，10=1211.解得k=.426k评述：本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力.2【例 3】在抛物线y=4x上恒有两点关于直线y=kx+3 对称，求k的取值范围.剖析：设B、C两点关于直线y=kx+3 对称，易得直线BC：x=ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3 对称可得m与k的关系式，而直线BC与抛物线有两交点，0，即可求得k的范围.22解：设B、C关于直线y=kx+3 对称，直线BC方程为x=ky+m，代入y4x，得y4ky4m=0，设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），y1 y222k，x02k+m.2点M（x0，y0）在直线l上，22k=k（2km）+3.则y02k3 2k 3m=.k又BC与抛物线交于不同两点，216k16m0.k3 2k 3把m代入化简得0，k(k 1)(k2 k 3)即0，解得1k0.k评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B、C两点在抛物线上得“0”.思考讨论将直线BC设为x=ky+m.好！若直线BC的方程设为y=们不妨一试.闯关训练夯实基础夯实基础1.若双曲线xy1 的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为2，则a+b的值为221x+m，本题运算量增大，同学k111 B.C.D.222222解析：P（a，b）点在双曲线上，则有ab=1，即（a+b）（ab）=1.A.d=|a b|2=2，|ab|=2.又P点在右支上，则有ab，ab=2.|a+b|2=1，a+b=答案：B1.2x2y22.已知对kR，直线ykx1=0 与椭圆+=1 恒有公共点，则实数m的取值范5m围是A.（0，1）B.（0，5）C.1，5）（5，+）D.1，5）解析：直线ykx1=0 恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线1才恒与椭圆有公共点.所以，1 且m0，得m1.故本题应选 C.m答案：Cy23.已知双曲线x1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB3的中点，则直线AB的斜率为_.22解析：设A（x1，y1）、B（x2，y2），代入双曲线方程 3xy=1 相减得直线AB的斜率2kAB=y1 y23(x1 x2)=x1 x2y1 y2x1 x2322=6.y1 y212答案：624.AB为抛物线y=2px（p0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为_；若AB的倾斜角为，则|AB|=_.pp解析：设过F（，0）的直线为y=k（x），k0，代入抛物线方程，由条件可得结果.221 p2p答案：22sin225.求过点（0，2）的直线被椭圆x2y2 所截弦的中点的轨迹方程.22解：设直线方程为y=kx+2，把它代入x2y2，22整理得（2k1）x+8kx+6=0.366或k.22设直线与椭圆两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），中点坐标为C（x，y），则x x2 4kx12，22k1 4k2y=2+22.2k12k1 4kx=2，2k166（k或 k），从参数方程222y=22k1要使直线和椭圆有两个不同交点，则0，即k16，0y2236.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x+y1=0 相交于2M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.消去k得x2（y1）2，且x22y2x2解：设椭圆方程221（ab0），abe322，a4b，即a2b.2y2x2椭圆方程为221.4bb把直线方程代入化简得 5x8x+44b0.22812，x1x2（44b）.5512y1y2（1x1）（1x2）1（x1x2）x1x2（14b）.55522由于OMON，x1x2y1y20.解得b，a.822282椭圆方程为xy1.55设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1x2培养能力培养能力y2x27.试证明双曲线22=1（a0，b0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为ab常数.证明：设P（x0，y0）是已知双曲线上任意一点，双曲线的渐近线为bxay=0，则点P到|bx0 ay0|bx0 ay0|b2x0 a2y0|a2b2两渐近线的距离之积为d1d2=2=常数.2222222a ba ba ba b228.已知直线y=（a+1）x1 与曲线y=ax恰有一个公共点，求实数a的值.y=（a+1）x1，解析：联立方程组y2=ax，使其恰有一组解.x=1，（1）当 a=0 时，此方程组恰有一组解y=0.2a 12yy1=0.aa 1x=1，若=0，即 a=1，方程组恰有一解y=1.aa 1a 14若0，即a1，令=0，得 1+4=0，解得a=，这时方程组恰有aa5x=5，一解y=2.4综上所述，可知当a=0，1，时，直线与曲线恰有一个公共点.5（2）当a0 时，方程组化为探究创新探究创新9.（2003 年北京）如下图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（br0）.（1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率.（2）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1，y1），D（x2，y2）（y20）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y40）.求证：k1x1x2k2x3x4=.x1 x2x3 x4（3）对于（2）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.求证：|OP|=|OQ|.（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）x2(y r)2（1）解：椭圆方程为2+=1.ab2焦点坐标为F1（a2b2，r），F2（a2 b2，r），a2b2离心率e=.a（2）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，得b x+a（k1xr）=a b，222222222整理得（b+a k1）x2k1a rx+（a ra b）=0.根据韦达定理，得222222x1+x2=2k1a2rb2 a2k12，x1x2=a2r2 a2b2b2 a2k12，x1x2r2 b2所以=.x1 x22k1r将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得x3x4r2 b2=x3 x42k2rk1x1x2r2 b2k2x3x4由得=.x1 x2x3 x42r所以结论成立.（3）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）.由C、P、H三点共线，得x1 pk1x1(k k2)x1x4=，解得p=1.x4 pk2x4k1x1 k2x4(k1 k2)x2x3.k1x2 k2x3由D、Q、G三点共线，同理可得q=由x2x3k1x1x2k2x3x4x1x4=变形得=，x1 x2x3 x4k1x2 k2x3k1x1 k2x4(k1 k2)x2x3(k1 k2)x1x4=.k1x2 k2x3k1x1 k2x4即所以|p|=|q|，即|OP|=|OQ|.思悟小结1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便.2.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用平方差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.3.求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d=(1 k2)(x1 x2)2(11)(y1 y2)2.2k再结合韦达定理解决.焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.教师下载中心教学点睛1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元最终归结为讨论一元二次方程根的情况.需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点.2.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|=1 k2|x2x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）.3.涉及到圆锥曲线焦点弦的问题，还可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义），应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法.拓展题例2【例 1】（2003 年福州市模拟题）已知抛物线C：y=4（x1），椭圆C1的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合.（1）设B是椭圆C1短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C2的方程；（2）如果直线x+y=m与曲线C2相交于不同两点M、N，求m的取值范围.2（1）解法一：由y=4（x1）知抛物线C的焦点F坐标为（2，0）.准线l的方程为x=0.设动椭圆C1的短轴的一个端点B的坐标为（x1，y1）（x12，y10），点P（x，y），x1 2，x1=2x2，2则y1y=，y1=2y.2B（2x2，2y）（x2，y0）.x=设点B在准线x=0 上的射影为点B，椭圆的中心为点O，则椭圆离心率e=|FO|，由|BF|(2x 2 2)2(2y)22x 2 2|BF|FO|=，得=，22|BB|BF|2x 2(2x 2 2)(2y)整理，化简得y=x2（y0），这就是点P的轨迹方程.2解法二：抛物线y=4（x1）焦点为F（2，0），准线l：x=0.设P（x，y），P为BF中点，B（2x2，2y）（x2，y0）.设椭圆C1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，222则c=（2x2）2=2x4，b=（2y）=4y，2a2a2 c2（c）（）=2，=2，cc22即b=2c.4y=2（2x4），2即y=x2（y0），此即C2的轨迹方程.x+y=m，得y2+ym+2=0，令=14（m+2）0，解得（2）解：由y2=x2（y0）7m.4而当m=2 时，直线x+y=2 过点（2，0），这时它与曲线C2只有一个交点，7所求m的取值范围是（，2）（2，+）.4y2x2【例 2】已知椭圆C：221（ab0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为kab的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B.2 5，求椭圆C的离心率的取值范围；592 5（2）若k=，A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程.55解：（1）设右焦点F2（c，0），则l：y=k（xc）.令x=0，则y=ck，P（0，ck）.cckB为F2P的中点，B（，）.22（1）若kc2c2k2B在椭圆上，21.4a4b24b24a2c21422k2（1）（4e）e5.222c4aee2k2442 52，2e5.55e2（5e4）（e5）0.42 52e1.e155c242 52 5（2）k，e.2.555a5221252y2x222ac，bc.椭圆方程为1，即x5yc5212444cc44c52 55直线l方程为y=（xc），B（，c），右准线为x=c.245555c9设A（x0，y0），则（cx0）（c），4425992 5x02c，y0（c）.555A在椭圆上，29294252）5（c）c.55556解之得c=2 或c（不合题意，舍去）.5x2222椭圆方程为x5y5，即y15（2c