新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析).pdf
基本不等式 知识点：1.(1）若Rba,，则abba222（2)若Rba,，则222baab （当 且仅当ba 时取“=”）2。(1)若*,Rba，则abba2（2）若*,Rba，则abba2（当 且仅当ba 时取“=”）(3）若*,Rba，则22baab (当且仅当ba 时取“=）3。若0 x，则12xx(当且仅当1x 时取“=）若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”)若0 x，则11122-2xxxxxx即或 （当且仅当ba 时取“=”）4。若0ab,则2abba (当 且 仅 当ba 时 取“=）若0ab，则22-2abababbababa即或 (当且仅当ba 时取“=”）5。若Rba,则2)2(222baba(当且仅当ba 时取“=”)注意：(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小,和定积最大”（2）求最值的条件“一正,二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例：求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2)yx错误!解:（1）y3x 212x 2 2错误!错误!值域为错误!，+)(2)当 x0 时，yx错误!2错误!2；当 x0 时，yx错误!=（x错误!）2错误!=2 值域为(,22,+）解题技巧 技巧一：凑项 例 已知54x,求函数14245yxx的最大值。解：因450 x，所以首先要“调整符号,又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx 231 当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。技巧二:凑系数 例：当时，求(82)yxx的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号 当 x2 时，(82)yxx的最大值为 8。变式：设230 x,求函数)23(4xxy的最大值。解：230 x023 x2922322)23(22)23(42xxxxxxy 当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。技巧三：分离 技巧四:换元 例：求2710(1)1xxyxx 的值域.解析一:本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1)的项，再将其分离。当,即时，421)591yxx（当且仅当 x1 时取“号)。解析二:本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1,化简原式在分离求最值.22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即 t=时,4259ytt（当 t=2 即 x1 时取“号).技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()af xxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.。例：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。错解：0,0 xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy 故 min12xy。错因：解法中两次连用均值不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致,产生错误.因此，在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：190,0,1xyxy，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当9yxxy时，上式等号成立,又191xy，可得4,12xy时，min16xy。技巧七 例：已知x，y为正实数,且x 2错误!1，求x错误!的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式aba 2b 22.同时还应化简错误!中y2前面的系数为 错误!，x错误!x 错误!错误!x错误!下面将x，错误!分别看成两个因式:x错误!错误!错误!错误!即x错误!错误!x 错误!错误!错误!技巧八:已知a,b为正实数，2baba30,求函数y错误!的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元,转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a错误!,ab错误!b错误!由a0 得，0b15 令tb+1，1t16，ab错误!2(t错误!)34t错误!2错误!8 ab18 y 错误!当且仅当t4，即b3，a6 时,等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2错误!30ab2错误!令uab 则u22错误!u300，5错误!u3错误!错误!3错误!,ab18，y错误!点评:本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力;如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.技巧九、取平方 例:求函数152152()22yxxx 的最大值.解析：注意到21x与52x的和为定值。22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx 又0y，所以02 2y 当且仅当21x=52x，即32x 时取等号。故max2 2y。应用二：利用均值不等式证明不等式 例：已知 a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1121abcbcaaaa,可由此变形入手。解:a、b、cR，1abc。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正,分别相乘，得 1112221118bcacababcabc。当且仅当13abc时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xyk xy191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky 10312kk 。16k，,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例:若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的 大 小 关 系是 .分析：1 ba 0lg,0lgba 21Q（pbabalglg)lglg QababbaRlg21lg)2lg(RQP.
