2018年新课标Ⅲ普通高等学校招生全国统一考试理科数学.pdf
20182018 年新课标普通高等学校年新课标普通高等学校招生全国统一考试理科数学招生全国统一考试理科数学绝密启用前绝密启用前20182018 年新课标普通高等学校招生全国统一考试年新课标普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学注意事项：注意事项：1 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。填写在答题卡上。2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。再选涂其它答案标号。回答非回答非选择题时，选择题时，将答案写在答题卡上。将答案写在答题卡上。写在本试卷上写在本试卷上无效。无效。3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1 1已知集合已知集合Ax|x10，B 0，1，2，则，则AB A A0B B1C C1，2D D0，1，22 21i2iA A3iB B3iC C3iD D3i3 3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，凹进部分叫卯眼，图中木图中木构件右边的小长方体是榫头构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是时带卯眼的木构件的俯视图可以是4 4若若sin1，则，则cos2377A A8B BC C999D D895 522x x5的展开式中的展开式中x的系数为的系数为4A A1010B B2020C C4040D D80806 6直线直线x y 2 0分别与分别与x轴，轴，y轴交于轴交于A，B两点，两点，点点P在圆在圆x 22 y2 2上，则上，则ABP面积的取值范围是面积的取值范围是2，3 2A A2，6B B4，8C CD D2 2，3 24的图像大致为的图像大致为7 7函数函数y x x228 8某群体中的每位成员使用移动支付的概率都某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为为p，各成员的支付方式相互独立，设，各成员的支付方式相互独立，设X为该群为该群体的体的 1010 位成员中使用移动支付的人数，位成员中使用移动支付的人数，DX 2.4，PX 4 PX 6，则，则pA A0.70.7B B0.60.6C C0.40.4D D0.30.39 9ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，若若ABC的面积为的面积为a b4c，则，则C222A AB BC CD D23461010设设A，B，C，D是同一个半径为是同一个半径为 4 4 的球的球面上的球的球面上四点，四点，ABC为等边三角形且其面积为为等边三角形且其面积为9 3，则三棱，则三棱锥锥D ABC体积的最大值为体积的最大值为A A12 3B B18 3C C24 3D D54 31111设设F，F是双曲线是双曲线12x2y2C：221ab2（a 0，b 0）的左，右）的左，右焦点，焦点，O是坐标原点过是坐标原点过F作作C的一条渐近线的垂的一条渐近线的垂线，垂足为线，垂足为P若若PF16 OP，则，则C的离心率为的离心率为A A5B B2 2C C3D D21212设设a log0.20.3，b log 0.3，则，则2A Aa b ab 0B Bab a b 0C Ca b 0 abD Dab 0 a b二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共2020 分。分。1313已知向量已知向量a a=1,2，b b=2,2，c c=1,若若c c2a a+b b，则，则_1414曲线曲线y ax 1e在点在点0，1处的切线的斜率为处的切线的斜率为2，x则则a _1515 函函 数数fx cos3x 6在在0，的的 零零 点点 个个 数数 为为_1616已知点已知点M1，1和抛物线和抛物线C：y则则k _三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。证明过程或演算步骤。第第 17211721 题为必考题，题为必考题，每每个试题考生都必须作答。个试题考生都必须作答。第第 2222、2323 题为选考题，题为选考题，考生根据要求作答。考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。1717（1212 分）分）等比数列等比数列a中，中，a 1，an152 4x，过，过C的焦点且的焦点且斜率为斜率为k的直线与的直线与C交于交于A，B两点若两点若AMB90，4a3（1 1）求）求a的通项公式；的通项公式；n（2 2）记）记S为为a的前的前n项和若项和若Snnm 63，求，求m1818（1212 分）分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取式为比较两种生产方式的效率，选取 4040 名工名工人，将他们随机分成两组，每组人，将他们随机分成两组，每组 2020 人人。第一组第一组工人用第一种生产方式，工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生第二组工人用第二种生产方式产方式根据工人完成生产任务的工作时间根据工人完成生产任务的工作时间（单（单位：位：minmin）绘制了如下茎叶图：）绘制了如下茎叶图：（1 1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；高？并说明理由；（2 2）求求 4040 名工人完成生产任务所需时间的中位名工人完成生产任务所需时间的中位数数m，并将完成生产任务所需时间超过，并将完成生产任务所需时间超过m和不超和不超过过m的工人数填入下面的列联表：的工人数填入下面的列联表：超过超过m不超过不超过m第一种生产第一种生产方式方式第二种生产第二种生产方式方式（3 3）根据（）根据（2 2）中的列联表，能否有）中的列联表，能否有握认为两种生产方式的效率有差异？握认为两种生产方式的效率有差异？附：附：2K2nad bca bc da cb d，PK2k0.0500.0100.001k3.8416.63510.82899%99%的把的把1919（1212 分）分）如图，边长为如图，边长为 2 2 的正方形的正方形ABCD所在的平面与半圆所在的平面与半圆弧弧CD所在平面垂直，所在平面垂直，M是是CD上异于上异于C，D的点的点（1 1）证明：平面）证明：平面AMD平面平面BMC；（2 2）当三棱锥当三棱锥MABC体积最大时，体积最大时，求面求面MAB与面与面MCD所成二面角的正弦值所成二面角的正弦值2020（1212 分）分）已知斜率为已知斜率为k的直线的直线l与椭圆与椭圆x2y2C：143交于交于A，B两两点，线段点，线段AB的中点为的中点为M1，mm 0（1 1）证明：）证明：k 1；2（2 2）设设F为为C的的右右焦焦点点，P为为C上上一一点点，且且FP FA FB 0 0证明：证明：FA，FP，FB成等差数列，并求成等差数列，并求该数列的公差该数列的公差2121（1212 分）分）已知函数已知函数fx2 x ax2ln1 x2x（1 1）若）若a 0，证明：当，证明：当1 x 0时，时，fx 0；当；当fx 0；（2 2）若）若x 0是是fx的极大值点，求的极大值点，求ax 0时，时，（二）选考题：共（二）选考题：共1010 分。请考生在第分。请考生在第2222、2323 题题中任选一题作答。中任选一题作答。如果多做，如果多做，则按所做的第一题则按所做的第一题计分。计分。2222 选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（1010 分）分）x cos，在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，中，O的参数方程为的参数方程为y sin（为参数）为参数），过点，过点0，2且倾斜角为且倾斜角为的直线的直线l与与O交于交于A，B两点两点（1 1）求）求的取值范围；的取值范围；（2 2）求）求AB中点中点P的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程2323 选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲（1010 分）分）设函数设函数fx 2x1 x1（1 1）画出）画出y fx的图像；的图像；（2 2）当）当x0，fxaxb，求，求ab的最小值的最小值参考答案：参考答案：1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 1111 1212C CD DA AB BC CA AD DB BC CB BC CB B13.13.114.14.315.15.316.216.2217.(1217.(12 分分)解：解：（1 1）设）设a 的公比为的公比为q，由题设得，由题设得ann qn1.由已知得由已知得q故故an4 4q2q 2或或q 2.，解得解得q 0（舍去）（舍去），(2)n1或或an 2n1.，则则1(2)nSn3（2 2）若若(2)m 188an(2)n1.由由Sm 63得得，此方程没有正整数解，此方程没有正整数解.n若若an 2n1，则，则S 2n1.由由Sm 63得得2m 64，解得解得m 6.综上，综上，m 6.18.18.（1212 分）分）解：解：（1 1）第二种生产方式的效率更高）第二种生产方式的效率更高.理由如下：理由如下：（i i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有工人中，有 75%75%的工人完成生产任务所需的工人完成生产任务所需时间至少时间至少 8080 分钟，用第二种生产方式的工分钟，用第二种生产方式的工人中，有人中，有 75%75%的工人完成生产任务所需时的工人完成生产任务所需时间至多间至多 7979 分钟分钟.因此第二种生产方式的效率因此第二种生产方式的效率更高更高.（ii ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为工人完成生产任务所需时间的中位数为85.585.5 分钟，分钟，用第二种生产方式的工人完成生用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为产任务所需时间的中位数为 73.573.5 分钟分钟.因此因此第二种生产方式的效率更高第二种生产方式的效率更高.（iiiiii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于工人完成生产任务平均所需时间高于 8080 分分钟；钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于平均所需时间低于 8080 分钟，因此第二种生分钟，因此第二种生产方式的效率更高产方式的效率更高.（iv iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 8 上上的最多，的最多，关于茎关于茎 8 8 大致呈对称分布；大致呈对称分布；用第二用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎分布在茎 7 7 上的最多，上的最多，关于茎关于茎 7 7 大致呈对称大致呈对称分布，分布，又用两种生产方式的工人完成生产任又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，务所需时间分布的区间相同，故可以认为用故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，时间更少，因此第二种生产方式的效率更高因此第二种生产方式的效率更高.学科学科*网网以上给出了以上给出了 4 4 种理由，种理由，考生答出其中任意一考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分种或其他合理理由均可得分.8180.（2 2）由茎叶图知）由茎叶图知m 792列联表如下：列联表如下：第一种生产方式第一种生产方式第二种生产方式第二种生产方式（3 3）由于由于2超过超过m15155 5不超过不超过m5 51515，所以有所以有 99%99%40(151555)2K 10 6.63520202020的把握认为两种生产方式的效率有差异的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.19.（1212 分）分）解：解：（1 1）由题设知）由题设知,平面平面 CMDCMD平面平面 ABCDABCD,交线为交线为 CDCD.因为因为 BCBCCDCD,BCBC平面平面 ABCDABCD,所以所以 BCBC平面平面 CMDCMD,故故 BCBCDMDM.因为因为 MM 为为CD上异于上异于 C C，D D 的点的点,且且 DCDC 为直为直径，所以径，所以 DMDMCMCM.又又 BCBC CMCM=C C,所以所以 DMDM平面平面 BMCBMC.而而 DMDM平面平面 AMDAMD,故平面故平面AMDAMD平面平面BMCBMC.（2 2）以以 D D 为坐标原点为坐标原点,DA的方向为的方向为 x x 轴正方轴正方向向,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 D D xyzxyz.当三棱锥当三棱锥 MM ABCABC 体积最大时，体积最大时，MM 为为CD的中的中点点.由题设得由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)，AM (2,1,1),AB (0,2,0),DA (2,0,0)设设n n (x,y,z)是平面是平面 MABMAB 的法向量的法向量,则则n n AM 0,n n AB 0.即即2x y z 0,2y 0.可取可取n n (1,0,2).DA是平面是平面 MCDMCD 的法向量的法向量,因此因此n nDA5|n n|DA|52 55cos n n,DA，sin n n,DA，所以面所以面 MABMAB 与面与面 MCDMCD 所成二面角的正弦所成二面角的正弦值是值是255.20.20.（1212 分）分）解：解：（1 1）设）设A(x,y),B(x,y)，则，则1122x12y12x22y221,14343.y两式相减，并由两式相减，并由yx x112 k得得.2x1 x2y1 y2k 043x由题设知由题设知x 2121,y1 y2 m234m，于是，于是k .1k .由题设得由题设得0 m 3，故，故22（2 2）由题意得）由题意得F(1,0)，设，设P(x,y)，则，则33(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0).由（由（1 1）及题设得）及题设得x3 3(x1 x2)1,y3(y1 y2)2m 033P(1,)，|FP|.又点又点 P P 在在 C C 上，上，所以所以m 3，从而从而422于是于是x12x|FA|(x11)y(x11)3(1)21422212.同理同理|FB|2x2.2(x x)3.所以所以|FA|FB|41212故故2|FP|FA|FB|，即，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列成等差数列.设该数列的公差为设该数列的公差为 d d，则，则2|d|FB|FA|11|x1 x2|(x1 x2)24x1x222.k 1.将将m 3代入得代入得4所以所以 l l 的方程为的方程为y x7，代入，代入 C C 的方程，并的方程，并4整理得整理得7x故故x x1214x1 04.2 2,x1x212821，代入解得，代入解得|d|328.3 2128所以该数列的公差为所以该数列的公差为21.(1221.(12 分分)解解：（1 1）当当f(x)ln(1 x)x1 x或或3 2128.a 0时时，f(x)(2 x)ln(1 x)2x，.2xxg(x)设函数设函数g(x)f(x)ln(1 x)1，则，则.x(1 x)当当1 x 0时，时，g(x)0；当当x 0时，时，g(x)0.故当故当x 1时，时，g(x)g(0)0，且仅当，且仅当x 0时，时，g(x)0，从而，从而f(x)0，且仅当，且仅当x 0时，时，f(x)0.所以所以f(x)在在(1,)单调递增单调递增.学学.科网科网又又f(0)0，故当，故当1 x 0时，时，f(x)0；当；当x 0时，时，f(x)0.（2 2）（i i）若）若a 0，由（，由（1 1）知，当）知，当x 0时，时，f(x)(2 x)ln(1 x)2x 0 f(0)，这与这与x 0是是f(x)的极大的极大值点矛盾值点矛盾.x)（ii ii）若若a 0，设函数设函数h(x)2fx(ax2 ln(1 x)2x2 xax2.由于当由于当|x|min1,号相同号相同.1|a|2 xax时，时，2 0，故故h(x)与与f(x)符符又又h(0)f(0)0，故，故x 0是是f(x)的极大值点当且仅的极大值点当且仅当当x 0是是h(x)的极大值点的极大值点.12(2 xax2)2x(12ax)x2(a2x24ax6a1)h(x)221 x(2 xax)(x1)(ax2 x2)2.1|a|1如果如果6a1 0，则当则当0 x 6a，且且|x|min1,4ah(x)0时，时，故，故x 0不是不是h(x)的极大值点的极大值点.（2 2）由（）由（1 1）知，）知，y f(x)的图像与的图像与y轴交点的轴交点的纵坐标为纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大，且各部分所在直线斜率的最大值为值为3，故当且仅当，故当且仅当a3且且b2时，时，f(x)ax b在在0,)成立，因此成立，因此ab的最小值为的最小值为5
