中考数学第13讲因式分解及其应用.pdf

第13讲 因式分解及其应用考点方法破译1 1因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式；2 2因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解3 3因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进 行到每一个多项式都不能再分解为止；4 4竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆 项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如x2 px q的多项式，当 p p=a a+b b,q q=abab 时可分解为(x x+a a)(x x+b b)的形式；5 5利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.经典考题赏析【例1】若X2 kxy 9y2是完全平方式，则 k=_k=_若X2 5xy ky2是完全平方式，则k=_【解法指导】形如a2 2ab b2的形式的式子，叫做完全平方式.其特 点如下：有三项；有两项是平方和的形式；还有一项是乘积的 2 2倍，符号自由.解：x2 kxy 9y2 x2 kxy(3y)2是完全平方式，kxy 6xyk 6；第1页/共 14 页x25xy ky2x22 x岂ky2是完全平方式，二ky2（-y）2/.k兰22【变式题组】0101.若-m2 kmn 9n2是一个完全平方式，则 k k=_0202.若x2 y2 6x 10y 34 0，求 X X、y y 的值.0303.若a2 a2b2 4ab b2 1 0，求 a a、b b 的值.0404.（四川省初二联赛试题）已知 a a、b b|2a 4|b 2|(a 3)b2 a2 c22 2ac，求a b c的值.【例 2 2】（1）（北京）把x3 2x2y xy2分解因式，结果正确的是（第2页/共 14 页4c c 满足A A.x(x y)(x y)B B.x(x2 2xy y2)C C.x(x y)2D D.x(x y)2（杭州）在实数范围内分解因式x4 4=_）（安徽）因式分解a2 b2 2b 1=_【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四 变形解:x3x42x2yxy2 x(x22)(x22)(x22xyy2)x(x y)22)(x.2)(x.2)4(x2a2b22b1 a2(b2 2b1)a2(b 1)2(a b 1)(a b 1)【变式题组】3x3y2 6x2y3 12x2y22a(x2 1)2 2ax220a2bx 45bxy249(a b)2 16(b a)2(a2 5)2 8(5 a2)16【例 3 3】要使二次三项式x2 5x p在实数范围内能进行因式分解,那么整数 P P 的取值可能有（）第3页/共 14 页A A.2 2 个B B.4 4 个 C C.6 6 个D D.无数多个【解法指导】由x2(a b)x ab(x a)(x b)可知，在整数范围内分解因 式x2 5x p,p p 为n(5 n)的积为整数，p p 有无数多个，因而选 D D【变式题组】已知x2 ax 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，件的整数 a a 的个数是()A A.2 2 个B B.4 4 个C C.6 6 个D D.8 8 个则符合条在 11001100 间，若存在整数 n n,使x2 x n能分解为两个整系数的一 次因式的乘积，则这样的 n n 有个【例 4 4】分解因式：2x2 11x 12x2 4y2 z2 4yz(x2 5x 2)(x2 5x 3)12x2 xy 6y2 x 13y 6解:/.2x211x 12(2x3)(x 4)x2 4y2 z2 4y2x2(4y2 4yz z2)x2(2y z)2(x 2y z)(x 2y z)设x2 5x 2 5，则原式可变为t(t 1)12 t2 t 12(t 3)(t 4)二原式=(x2 5x 2 3)(x2 5x 2 4)(x2 5x 1)(x2 5x 6)(x2 5x 1)(x 2)(x 3)x2 xy 6y2 x 13y 6(x2 xy 6y2)(x 13y)6第4页/共 14 页(x 2y)(x 3y)(x 13y)6(x 2y 3)(x 3y 2)【变式题组】0101分解因式：x2 4y2 9z2 12yz4x 4x y 4y 322ab 2a 3b 66y2 19y 10(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)1【例 5 5】(1)(上海竞赛试题)求方程6xy 4x 9y 7 0的整数解；(希望杯)设 X X、y y 为正整数，且x2 y2 4y 96 0，求 XyXy 的值【解法指导】结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解；将等式左边适当变形后进行配方，利用 x x、y y 为正整数的特点,结合不等式求解.角军：(1)6xy 4x 9y 7 0，(6xy 4x)(9y 6)1，2x(3y 2)3(3y 2)1，第5页/共 14 页(2x 3)(3y 2)1x 2，丁 X X、y y 都是整数 二需；)或(|：刖/.(舍去)或y1,13x2y24y 960y2 4y 4 100,x2(y,2)2100 x2,T100 x20.x2100 x x为正整数，.x x=1 1,2 2,，1010，又T(y 2)2是平方数，.x x=6 6或 8 8当 x x=6 6 时(y 2)2=6464,y y=6 6,当 x x=8 8 时(y 2)2=3636,y y=4 4,.xyxy=3636或 3232【变式题组】2 2._01.01.设 x x、y y 是正整数，并且y2 x2 2132，则代数式2x xy y的值是x y02.02.（第二届宗沪杯）已知 a a、b b 为整数，则满足 a a+b b+abab=20082008 的有序数组（a a,b b）共有_ 03.03.（北京初二年级竞赛试题）将20092009 表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（A A.1616 种B B.1414 种）C C.1212 种D D.1010 种）D D.不少于 3 3 个0404.方程x3 y3 x2y xy2 32的正整数解的个数为（A A.0 0 个B B.1 1 个C C.2 2 个0505.个正整数，如果加上 100100 是一个完全平方数：如果加上 168168 则 是另外一个完全平方数，求这个正整数.【例 6 6】已知 k k、a a 都是正整数，2004k2004k+a a、20042004（k k+1 1）+a a 都是完全平方数请问这样的有序正整数（k k、a a）共有多少组?第6页/共 14 页试指出 a a 的最小值，并说明理由.解：（1）2004k a m22004（k 1）a n2，这里 m m、n n 都是正整数，则n m 200422故（n m）（n m）2004 2 2 3 167注意到，m n、n m奇偶性相同，则；耕評2或；常6，解得m 500n 502n 170或或m 164，当 n n=502502,m m=500500 时，由得 2004k2004k+a a=250000250000，所以a 2004（124 k）1504由于 k k、a a 都是正整数，故 k k 可以取值 1 1,2 2,3 3,，124124,相应 得满足要求的正整数数组（k k、a a）共 124124 组当 n n=170170,m m=164164 时，由得 2004k2004k+a a=2689626896所以a 2004（13 k）844由于 k k、a a 都是正整数，故 k k 可以取值 1 1,2 2,3 3,，1313，相应得满足要求的正整数数组（k k、a a）共 1313 组从而，满足要求的正整数组（k k、a a）共有 124124+1313=137137（组）满足式的最小正整数 a a 的值为 15041504,满足式的最小正整数 a a 的值为 844844,所以，所求的 a a 的最小值为 844844【变式题组】0101.（北京竞赛）已知 a a 是正整数，且a2 2004a是一个正整数的平方，求 a a 的最大值.第7页/共 14 页0202.设 X X、y y 都是整数，y.C24.roo.C24.roo，求 y y 的最大值演练巩固反馈提高0101.如果分解因式81(9 x2)(3 x)(3 x)，那么 n n 的值为(A A.2 2B B.0202.若多项式x2 pxy qy2(X 3y)(x 3y)，则 p p、q q 的值依次为A A.12,9B B.6 6,9C C.9,90303.下列各式分解因式正确的是(A A.9x2 1(9x1)(9 x 1)B B.a41(a21)(a2 1)C C.81a2 b2(9a b)(9a b)D D.(a)3ab2a(a b)(a b)0404.多项式(x yz)(x y z)(y zx)(z x y)的公因式是(A A.C C.0505.(mn)4m(m2n)4m2分解因式的结果是(A A.(m n)2B B.(m 2n)2C C.(m n)2D D.第8页/共 14 页)不存在(m 2n)20606.若x ax 18能分解成两个因式的积，则整数 a a 的取值可能有(2)A A.4 4 个B B.6 6 个a bC C.8 8 个 D D.无数个0707.已知a2 b2 4a 2b 5 0，则的值为(A A.3 3B B.-C C.3)3D D.130808.分解因式：(x 2)(x 4)x2 4=_0909.分解因式：a2 b2 4a 2b 3=_10.10.分解因式：_x3y3 2x2y2 xy=11.11._ _已知a b 5,ab 4，那么a2b 3a2b2 ab2的值等于_12.12.13.13.14.14.分解因式：_x2 4y2 x 2y=分解因式：_(a b)2 6(b a)9=分解因式：_(4 a2 1)2 16a2=1515.已知m 2n 0，贝卩m3 2mn(m n)4n3的值为_1616.求证：817 279 913能被 4545 整除1717.已知296-1可被在 6060 到 7070 之间的两个整数整除，求这两个整数第9页/共 14 页培优升级 奥赛检测0101（四川省初二数学联赛试题）使得3n 81为完全平方数的正整数第10页/共 14页n n的值为（A A.2 2B B.3 C3 C.4 D4 D.5 502.02.（四川省初二数学联赛试题）设 m m、n n 是自然数，并且19n2 98n m 0,则m m+n n 的最小值是（）A A.100100B B.102 C102 C.200 D200 D.不能确定250303.（四川省初二数学联赛试题）满足方程x3 6x x 27y39y29y 1的正 整数对（x x,丫）有（）A A.0 0 对B B.1 1 对 C C.3 3 对 D D.无数对0404.（全国初中数学竞赛试题）方程x3 6X2 5x y3 y 2的整数解（X X,y y）的个数是（A A.0 0）B B.1 C1 C.3 D3 D.无穷多0505.（四川省初二数学试题）已知M p4（p5 6q 1）,其中 p p、q q 为质数，且满足q p 29，则 M M=（）A A.20092009B B.2005 C2005 C.2003 D2003 D.200020000606.（仙桃竞赛试题）不定方程2（x y）xy7的所有整数解为完全平方数，如64 82，6464 就是一个完全平方数；若0707.已知多项式2x2 3xy 2y2 x 8y 6可以分解为（x 2y m）（2x y n）的形式，3那么的值是n 10808.对于一个正整数 n n,如果能找到 a a、b b,使得 n n=a a+b b+abab,则称n n 为一个“好数”，例如：3 3=1 1+1 1+1 1X1 1,3 3 就是一个好数，在120120 这 2020 个正整数中，好数有 _ 个0909.一个正整数 a a 恰好等于另一个正整数 b b 的平方，则称正整数 a a 为第11页/共 14页a 29922 29922 29932 29932，求证 a a 是一个完全平方数已知实数 a a、b b、x x、y y 满足a b x y 2，ax by 5，求(a2 b2)xy的值若 a a 为自然数，则a4 3a2 9是质数还是合数？请你说明理由正数 a a、b b、c c 满足ab a b bc b c ca c a 3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值第12页/共 14页ab(x2 y2)1010111112121313.某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班有 m m 个男生和 1111 个女 生的捐款总数与乙班的 9 9 个男生和 n n 个女生的捐款总数相等，都 是（mnmn9m9m 1 1 n1 1 n 1 451 45）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.第13页/共 14页第 14 页/共 14 页