高数各章综合测试题与答案.pdf

.实用文档.第十一章第十一章无穷级数测试题无穷级数测试题一、单项选择题1、假设幂级数5nx 1x 在处收敛，那么该幂级数在处必然()a(x1)n2n1(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)收敛性不定.2、以下级数条件收敛的是().(1)nn(A);(B)n12n10n1(1)n1n31;(C)(1)();(D)2n1n1n(1)n1n13.n3、假设数项级数an1n收敛于S，那么级数an1nan1an2()(A)S a1;(B)S a2;(C)S a1a2;(D)S a2a1.4、设a为正常数，那么级数sinna3 n2().n n1(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)收敛性与a有关.5、设f(x)x,0 x 1，而S(x)其中bn 212b sinnx,x ，nn11S()等于()f(x)sin nx,(n 1,2,)，那么021111(A);(B);(C);(D).2442填空题二、1、设11，那么u 4(u)()nnn22n1n12、设ax1nn1n1的收敛域为2,4，那么级数nax1nn1n的收敛区间为()3、设f(x)2,1 x0，那么以 2 为周期的傅里叶级数在x 1处收敛于()3x,0 x12a04、设f(x)x x,x 的傅里叶级数为ancosnxbnsinnx,2n1那么b3().实用文档.(1)n2n5、级数的和为()n12n1!三、计算与应用题1、求级数1nx3;的收敛域nn3n12、求1的和2nn1n 12(n1)23、将函数f(x)ln 1 x 2x展开为x的幂级数，并求f0n21n4、求nx的和函数2 n!n0e5、fn(x)满足fn(x)fn(x)xe，n为正整数，且fn(1)，求函数项级数fnxnn1n1x的和函数.n6、设有方程x nx 1 0，其n中为正整数，证明此方程存在唯一正根x0，并证明当1时，级数xn收敛.n1四、证明题设an40tannxdx（1）求nan11nan2an收敛nn1（2）试证：对任意常数 0，级数111提示：anan2，anan21.nnn1n1n111an1,1,所以ann1n1nn1nn1n因为an an2第十一章第十一章无穷级数测试题答案与提示无穷级数测试题答案与提示一、一、1、A；2、D；3、B；4、C；5、B.二、.实用文档.1、1；2、4,2；3、三、1、答案：0,6.2、答案：32；4、；5、cos1sin1.2353ln284xn1提示：原式为级数2的和函数在x 点的值.2n1n 1xn1xn1xn1xn1xn而2,分别求出和的和函数即可.2n2n12n2n12n2n12n2n1n2n 1(1)n2n1n1 1 13、答案：f(x)x,x,n12 2n0f(n1)(1)n2n1.0 n!n12提示:f(x)ln 1 x 2x ln12xln1 xxn21n x2x24、答案：nx 1e 1,x n02 n!42n21nn x 1 x x 提示：n，2 n!n1!2n1n!2n0n1nn11nx而xe x,e xnn1n1!n0n!x5、答案：fx e ln1 x,xnn1x1,1xxen提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为fn(x)xxxxxfnxe e，记S(x)，那么可得S(x)ln(1 x)n1n1nn1nn1n6、提 示:设fn(x)xnnx1,那 么fn(x)0,x 0,故fn(x)在0,fn(0)1 0,fn(1)n 0,所以有唯一正根x0.由方程xn nx 1 0知,n1 x010 x0,故当1时，级数xn收敛.nnn1.实用文档.111四、提示：anan2，anan21.nnn1n1n因为an an2111an1,1,所以ann1n1nn1nn1n第十章第十章 曲线积分与曲面积分测试题曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题xaydx ydy1、为某二元函数的全微分，那么a等于()2x y(A)1;(B)0;(C)1;(D)2.2、设闭曲线c为x y 1的正向，那么曲线积分cydx xdy的值等于()x y(A)0;(B)2;(C)4;(D)6.3、设为 封 闭 柱 面x2 y2 a20z3，其 向 外 的 单 位 法 向 量 为n cos,cos,cos，那么xcos ycos zcosds等于()222(A)9a;(B)6a;(C)3a;(D)0.x2 y2 z2 a24、设曲线c为，那么xds等于()cx y z 022(A)3a;(B)0;(C)a;(D)12a.32225、设为下半球z a x y的上侧，是由和z 0所围成的空间闭区域，那么zdxdy不等于()(A)dv;(B)20da0a2r2rdr;(C)二、填空题20da0a2r2rdr;(D)z x ydxdy.21、设c是圆周x y a222，那么x yds()c2、设质点在力F y3xi2yxj的作用下沿椭圆4x y 4的逆时针方向运动22.实用文档.一周，那么F所做的功等于()3、设是平面x y z 6被圆柱面x2 y21所截下的局部，那么4、设是球面x2 y2 z21的外侧，那么zds等于()xx2 y z222 3dydz等于()5、设2xf(x)其中f(x)连续且f(0)0，那么f(x)()ydx f(x)dy与路径无关，21 xc三、计算与应用题1、求I exsin ybx ydxeycos yaxdy，其中a,b为正常数，L为从点LA2a,0沿曲线y 2ax x2到点O0,0的弧.x2 y2 z2 a22、计算I y ds，其中L为圆周.Lx y z 023、在 变 力F yzi zx j xyk的 作 用 下，质 点 由 原 点 沿 直 线 运 动 到 椭 球 面x2y2z21上第一卦挂线的点M,，问,取何值时，力F所做的功W最a2b2c2大？并求出W最大值.x2y2 z21的上半局部，点Px,y,zS，为S在点P处的切平4、设S为椭球面22面，x,y,z为点O0,0,0到平面的距离，求zSx,y,zds.2y25、求I xzdydz2zydzdx3xydxdy，其中为曲面z 1 x 0 x1的上4侧.6、设对于半空间x 0内任意光滑有向闭曲面S，都有，xf(x)dydz xyf(x)dzdxeSx02xzdxdy 0，其中函数f(x)在0,内具有连续的f(x)1，求f(x).一阶导数，且limexxe 1答案：f(x)x提示：由题设和高斯公式得.实用文档.0 xf(x)dydzxyf(x)dzdxeS2x2xzdxdyxf(x)f(x)xf(x)edv由S的任意性，知xf(x)f(x)xf(x)e2x0，解此微分方程即可.四、证明题平面区域D1x,y 0 x,0 x，L为D的正向边界，试证：sinysinxxedyyedx；LsinysinxxedyyedxL252xesinydyyesinxdx2L第十章第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、1、D；2、C；3、A；4、B；5、B.二、1、a；2、4；3、6 3；4、三、1、答案：I341；5、.231x2 a2ba3.22提示：添加从O 0,0沿y0到点A 2a,0的有向直线段L1，然后用格林公式.2、答案：I23a.3提示：利用变量“对等性I3、答案：Ly2dsx2dsz2dsLL1a3ds.3Labc,3333abc.9Wmax提示：直线段OM:xt,yt,zt，t从 0 变到 1，功W为WOMyzdxzxdyxydz3t2dt01x2y2z2再求W在条件2221下的最大值即可.abc4、答案：z3dsSx,y,z2.实用文档.提示：曲面S在点Px,y,z处的法向量为x,y,2z，切平面方程为：xyX Y zZ 0，22点O0,0,0到平面的距离x,y,z5、答案：I xy z2.442212xzdydz2zydzdx3xydxdy .2y210 x1所围的下侧，在和1所提示：添加曲面1为平面xoy上被椭圆x 4围封闭曲面上用高斯公式.注意到在I 6、提示：（1）左边=xzdydz 2zydzdx3xydxdy的积分等于3xydxdy为 0.1D0esin ydyesinxdx esinx+esinxdx，同理，0sinx00右边=eL+esinxdx（2）由1得式知道xesin ydy yesinxdx=esinx+esinxdx，而由esinx和esin x泰勒展开02sin2xdxesinx+esinxdx，00而52sin x dx 2202.第九章第九章重积分测试题重积分测试题一、选择题1、假设区域D是xoy平面上以(1,1)，(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限中的局部，那么(A)2(C)4(xycosxsin y)dxdy().DDcos xsin ydxdy;(B)2cos xsin ydxdyD1D1(xy cos xsin y)dxdy(D)02、设f(x,y)连续，且f(x,y)xyD2其中D是xoy平面上由y 0,y xf(x,y)dxdy，和x 1所围区域，那么f(x,y)等于().实用文档.(A)xy;(B)2xy;(C)xy1;(D)xy 3、设I118D2222222cosx y dxdy,I cos(x y)dxdy,I cos(x y)dxdy,其中23DDD x,yx2+y21，那么().(A)I3 I2 I1;(B)I1 I2 I3;(C)I2 I1 I3;(D)I3 I1 I24、设空间闭区域由x2 y2 z21及0 z确定，1为在第一挂限的局部，那么().(A)(C)xdv 4xdv;(B)ydv 4ydv;11zdv 4zdv;(D)xyzdv 4xyzdv115、设空间闭区域 x,y,z2r2rx2+y2 z 2 x2-y2，I zdv，那么以下将I化为累次积分中不正确的选项是().(A)I(C)I 201drdr202211zdz;(B)I 0dd0cos2sind;211y2002402z dz02z(2 z)dz;(D)I 4dxdy22x2y2x y2zdz二、填空题 x2y21、设区域D为x yR，那么I 22dxdy的值等于()abD222、设D x,yx2+y21，那么limr0201r2xeD2y2ln(1 x y)dxdy的值等于()3、积分I 4、积分I dxeydy的值等于()x22x2y2z2R2f(x2 y2 z2)dv可化为定积分(x)dx，那么(x)等于()0R5、积分I x2y2z21(axby)2dv的值等于()三、计算与应用题1、求I Dx2 y2 y dxdy，其中D是由圆x2 y2 4和(x1)2 y21所围的平面区域.实用文档.2、求I eDmax x2,y2dxdy，其中D x,y0 x1,0y1.y2 2z3、计算I(x y z)dv，其中由曲线绕z轴旋转一周而成的旋转曲面x 022与平面z 4所围的立体.4、计算I(x z)dv，由z=x2y2及z=4x2y2确定.yx5、计算I 1214dy1e dx1dye dx.22yyyx1y6、设 有 一 高 度 为h(t)t为 时 间 的 雪 堆 在 融 化 过 程 中，其 侧 面 满 足 方 程2(x2 y2)设长度单位为厘米，时间单位为小时，体积减少的速率与侧面积z h(t)h(t)成正比比例系数为0.9，问高度为130cm的雪堆全部融化需多少小时？四、证明题设函数f(x)在0,1上连续，并设101f(x)dx A，证明I dxf(x)f(y)dy A2.0 x211第九章第九章重积分测试题答案与提示重积分测试题答案与提示一、1、A；2、D；3、A；4、C；5、B.二、x2y2 R21422422a+b.1、22；2、1；3、1e；4、4x f(x)；5、215b4a三、1、答案：I 163-2.9提示:将D看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可.2、答案：I e122提示：为确定max x,y，必须将D分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可.3、答案：I 256322提示:旋转曲面的方程为x y 2z,用柱面坐标计算I 20d2 20rdrr2(r2 z)dz即24可.4、答案：I.8.实用文档.提示:xdv 0,2zdv 4ddcossind.0204015、答案：I 3ee.82提示：交换积分次序.6、答案：t 100小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积V h(t)0dz221x y h2(t)h(t)z2dxdy 3h(t)；4再求出雪堆的侧面积S 1x2y2 h2(t)2221 zx zydxdy 132h(t)；12由题意dVdh(t)13 0.9S，所以，解出h(t)并令其等于 0，那么可得结果.dtdt10y1x111dxf(x)f(y)dy.200四、提示：交换积分次序，并利用第八章第八章 多元函数微分法及应用测试题多元函数微分法及应用测试题一、选择题1、函数f(x)在1,1上连续,那么10dyf(x)f(y)dx dxf(x)f(y)dy 000sin xf(t)dt().cos yx(A)f(sin x)f(cos y)(B)f(sin x)cos x f(cos y)sin y(C)f(sin x)cos x;(D)f(cos y)sin y2、在矩形域D:xx0,y y0内，fx(x,y)fy(x,y)0是f(x,y)c常数的.(A)充要条件；(B)充分条件；(C)必要条件;(D).既非充分又非必要条件3、假设函数f(x,y)在区域D内的二阶偏导数都存在，那么Afxy(x,y)fyx(x,y)在D内成立；Bfx(x,y),fy(x,y)在D内连续；Cf(x,y)在D内可微分；D以上结论都不对4、lim2xy的值为x03x4 y2y0(A)；(B)不存在；(C)xz2；(D)0.35、设有三元函数xy zln ye1，据隐函数存在定理，存在点0,1,1的一个邻域，在.实用文档.此邻域内该方程.A只能确定一个具有连续偏导的隐函数z zx,y；B可确定两个具有连续偏导的隐函数z zx,y和y yx,z；C可确定两个具有连续偏导的隐函数z zx,y和x xy,z；D可确定两个具有连续偏导的隐函数x xy,z和y yx,z.二、填空题1、设f(x,y)exycos(2x)(y1)arctanx,那么fx(1,1)的值为.y2、设f(x,y)具 有 连 续 偏 导 数，且f(1,1)1,fx(1,1)a,fy(1,1)b，令(x)fx,fx,f(x,x)，那么(1)的值为.3、设f(x,y,z)exyz2，其中z z(x,y)是由x y z xyz 0确定的隐函数，那么fx(0,1,1).x2 y2 z2 34、曲线在点M1,1,1处的切线方程为.x 2y z 05、函数u x2 2y2 3z2 xy 3x 2y 6z在点O0,0,0处沿方向的方向导数最大？三、计算和应用题1、设axy3 y2cos xdx 1 by sin x 3x2y2dy为某一函数f(x,y)的全微分，求a和b的值2、设z fx y,x y gx ky，f,g具有二阶连续偏导数，且g 0，如果2z2z2z，求常数k的值.22 4f222xxyyx2y2z23、在椭球2221内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体abc积最大?4、设y g(x,z)，而z是由方程f(x z,xy)0所确定的x,y的函数，求dzdx5、设f(x,y)有 二 阶 连 续 偏 导 数,g(x,y)f(exy,x2 y2),且.实用文档.f(x,y)1 x y o(x 1)2 y2),证明g(x,y)在(0,0)取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求出此极值.6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面，其底部所占的区域为D x,yx2+y2-xy75，小山的高度函数为h(x,y)75 x2 y2 xy（1）设M0 x0,y0为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？假设记此方向导数的最大值为g(x0,y0)，试写出g(x0,y0)的表达式.（2）现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置.四、证明题设F(u,v)可微，试证曲面F(xa y b,)0上任一点处的切平面都通过定点.z cz c第八章第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、1、C；2、A；3、D；4、B；5、D.二、1、三、1、答案：a 2,b 2.ex 1y 1z 1；2、a(1 b b2)b3；3、1；4、；5、gradu 3i 2 j 6k.o2101 fyx这一条件.提示：利用fxy2、答案：k 1.提示:zz f1 f2 g，f1 f2 kg，xy2z2z 2 f12 f22 g，2 f11 2f12 f22 k2g，f112xy2z2z2z2z f22 kg，2 2 1 2k k2g，f112 4f22xyxyyx2又因为g 0，所以1 2k k 0，k 1.3、答案：2 32 32 3a,b,c.333提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为x,y,z，那么求体积V 8xyz在条件x2y2z2221下的极值就可.2abc.实用文档.4、答案：dzf1 yf2 xf2g1.dxf1 xf2g25、答案：故g(0,0)f(1,0)0是极大值.提示：由全微分的定义知f(1,0)0fx(1,0)fy(1,0)1xygx f1ey f22xgy f1e x f22ygx(0,0)0gy(0,0)0 xy (f11 e y f12 2x)e y f1e y(f21 e y f22 2x)2x2f2gx2gxy(f11e x f122y)e y f1(e xye)(f21e x f222y)2xxyxyxy2xy 2y)2y 2 f2ex f2y)ex f ex (fex f22g2(f1112121yxyxyxy2xyxyxyxyxyxy(0,0)2 f2(1,0)2B g,0)1A=gxy(0,0)f1(1x2(0,0)2f2(1,0)2C gy22AC B 3 0,且A 0,故g(0,0)f(1,0)0是极大值.6、答案:g(x0,y0)y02x0 x02y0225x025y028x0y0攀登起点的位置:M15,5,M25,5.提示:沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模.然后再求g(x,y)在条件75 x y xy 0下的极大值点就可.四、答案:通过定点Ma,b,c.第六章第六章 微分方程测试题微分方程测试题一、选择题1、设y f(x)是y2y 4y 0的解,假设f(x0)0且f(x0)0,那么在x0点f(x)().(A)取极大值;(B)取极小值;(C)在x0某邻域内单增;(D)在x0某邻域内单减.2、微分方程y4y4y 8e的一个特解应具有形式()(a,b,c,d为常数).(A)ce;(B)dx e;(C)cxe;(D)(bx cx)e.3、微分方程y y x 1sin x的特解形式可设为().(A)y ax bxc x(d sin xecos x);.*222x22x2x22x2x22.实用文档.(B)y*x(ax2bxcd sin xecos x);(C)y*ax2bxcdsin x;(D)y*ax2bxcecos x.4、设线性无关的函数y1,y2,y3都是非齐次线性微分方程y p(x)yq(x)y f(x)的解，c1,c2是任意常数，那么该方程的通解为().(A)c1y1c2y2 y3;(B)c1y1c2y2c1c2y3;(C)c1y1c2y21c1c2y3;(D)c1y1c2y21c1c2y3.5、方程xy y 0满足y(1)2的特解为().(A)xy21;(B)x2y 2;(C)xy 2;(D)xy 1.二、填空题1、微分方程y2y3y ex有一个特解y 1xxe,那么其通解为().42、以y1 ex,y2 xex为特解的二阶常系数齐次微分方程是().3、假设连续函数f(x)满足f(x)x0ef(t)dt，那么f(x)等于().yx，其中是比x(x 0)高阶的21 x4、函数y y(x)在任意点x处的增量y 无穷小，且y(0)，那么y(1)等于().5、y2y y xe的通解为().三、计算和应用题1、设y e2xx(1 x)ex是二阶常系数线性微分方程yyy ex的一个特解，求该微分方程的通解.2、设函数y y(x)在,内具有二阶导数，且y 0,x xy是y y(x)的反函数.实用文档.dx d2x(1)试将x xy所满足的微分方程2y sin x 0变换为y y(x)所dydy满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足条件y(0)0,y(0)33的解.23、y1 e2x xex,y2 ex xex,y3 e2x xexex都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程4、连续函数f(x)满足f(x)5、连续函数f(x)满足f(x)3x0tf()dt e2x，求f(x).310 x0 xuf(u)du ex2xf(xu)du，求f(x).2t f(t)f(1)，试求36、设函数f(x)在1,上连续恒正，假设曲线y f(x)，直线x 1,x tt 1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为y f(x)所满足的微分方程，并求该方程满足f(2)四、证明题证明方程y y f(x)其中f(x)连续的通解为2的特解.9y c1cosxc2sin xf(t)sinxtdt，其中为任意常数.0 x第六章第六章 微分方程测试题答案与提示微分方程测试题答案与提示一、1、A；2、B；3、A；4、D；5、C.二、二、1x1、c1ec2exe；2、y 2y y 0；3、ln(x1)；4、e4；43xx5、y c1c2xe三、x1x 1ex.41、答案：c1e2xc2exe2x(1 x)ex.提示：将y e2x(1 x)ex代入原方程，比拟同类项系数，求出,的值，然后再去求解微分方程.2、答案:(1)y y sin x;xx(2)y e e1sin x.2xx3、答案:y y2y e 2xe.实用文档.提示:y1 y3 ex,y1 y2=e2x是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为y y2y 0,设非齐次线性微分方程为y y2y f(x),再将其中任意个非齐次特解代入,得出f(x)ex2xex.4、答案:f(x)3e3x2e2x.5、答案:f(x)12x12xxe.2提示：作代换xu t，那么2x6、答案:f(x)10f(xu)du 2f(t)dt.0 xx.1 x3t22t f(t)f(1)f(x)dx，然后两边求导.提示：依题意可得：13四、略.第五章第五章 定积分及应用测试题定积分及应用测试题一、选择题1、设f(x)连续，I tst0f(tx)dx,t 0,s 0，那么I的值是().A 依赖于s和t；B是一个常数；C不依赖于s但依赖于t；D依赖于s但不依赖于t.2、以下积分中,等于零的是().(A)1212cosx ln(1 x)dx(B)233(x1)e dx2x24sin xcos x(C)2dx(C)21 x211(x 1 x)dx23、设在a,b上f(x)0,f(x)0,f(x)0，令S1(A)S3 S2 S1;(B)S3 S1 S2;(C)S2 S1 S3;(D)S1 S3 S2.baf(x)dx,S2 f(b)ba,S31f(a)f(b)ba，那么().24、02sin xsin xdx，那么dx的值等于().20 x2x2(A);(B);(C);(D)-1.24.实用文档.5、设f(x)在0处可导，且f(0)0，那么极限limx0 x0f(xt)dtx2的值等于().(A)不存在；(B)0;(C)f(0);(D)二、填空题1、设f(x)连续，2、定积分1f(0).2x310f(t)dt x，那么f(7)等于().3434(1arctanx)1cos2xdx的值为().x3、定积分11(x x)e dx的值为().aa4、假设积分(2x1)dx 4,那么常数a的值等于().5、曲线y x3 x22x与x轴所围成的面积值等于().三、计算和应用题1、f()1，且2、计算f(x)f(x)sin xdx 3，求f(0).0212x2 x(exex)1 1 x1dxsin2tf(1)dt3、设f(x)，求012xcost x2f(0)4、计算20sin3xdx.sin xcosx5、设xf(x)ln xe3ef(x)dx，求f(x).6、设f(x)可导，f(0)1，且四、证明题f(x)xf(xt)dt与x无关，求f(x).01设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内f(x)0，证明存在唯一的a,b使曲线y f(x)和y f(),x a所围面积S1是y f(x)和y f(),x b所围面积S2的3倍.第五章第五章 定积分及应用测试题答案与提示定积分及应用测试题答案与提示一、1、D；2、C；3、B；4、A；5、D.二、.实用文档.1、137；2、4 2 2；3、2；4、2；5、.1212三、1、答案：f(0)2.提示：用分部积分.2、答案：4.提示：利用奇偶对称性.3、答案：1.提示：分别求出f(0)和f(1)的值即可.4、答案：2011.4提示：333sin3xcos x1sin xcos xdx 2dx 2dx.00sin xcosxsin xcosx2sin xcosx5、答案：f(x)ln x4.xx6、答案：f(x)ex.提示：令Fxf(x)xf(xt)dt f(x)x0110f(xt)dt f(x)xf(u)du，0 xx由Fx0得f x fx0，所以ef(x)0.四、提示：ta,b,S1tt af(t)t0f(x)dx，S2tf(x)dxbt,tb令(t)S1t3S2t，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题第一章综合测试题一、单项选择题1、f(x)当x x0时的左极限和右极限都存在且相等是lim f(x)存在的()条件.xx0(A)充分;(B)必要;(C)充要;(D)无关.2、设lim(12n)().22nn2nn12n(A)lim2 lim2 lim2 0;(B);nnnnnn1+2+n1;(D)极限不存在.(C)limnn22xx3、设f(x)=2 3 2，那么当x 0，有().(A)f(x)与x是等价无穷小;(B)f(x)与x是同阶但非等价无穷小;.实用文档.(C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.1x4、设f(x)e 1e 11x，那么x 0是f(x)的().(A)可去间断点;(B)跳跃间断点;(C)第二类间断点;(D)连续点.5、方程x x10至少有一个根的区间是().(A)(0,);(B)(,1);(C)(1,2);(D)(2,3).二、填空题7、假设f(x 4121211)x22 3，那么f(x)()xx2(cosx)x,x 08、函数f(x)在x 0连续，那么a()a,x 09、lim(n3 n)n1=()n10、1x()设limxx0(1cosx)(e 1)3sin x x2cosa2bn 5 2，那么a()，b()5、limn3n 2三、计算与应用题1、设f(x)0,x0 0,x0，g(x)2，求函数项级数f f(x)，gg(x),x,x 0 x,x 0fg(x),g f(x).1xsin,x 02、设f(x)，要使f(x)在(,)内连续，应当怎样选择数a？x2a x,x01ex1,x 03、设f(x)，求f(x)的间断点，并说明间断点所属类型ln(1 x),1 x0tan x4、计算极限lim(sin x)x2.实用文档.5、计算极限lim(x2x 3x1)2x 16、设f(x)的定义域是0,1，求函数f(x)f(x)的定义域.四、证明题证明方程sinx x 1 0在开区间(1212,)内至少有一个根.2 2第一章综合测试题答案与提示第一章综合测试题答案与提示一、1、C；2、C；3、B；4、B；5、C.二、21、x 1；2、1；3、33；4、；5、任意常数，6.22三、1、答案：f f(x)=f(x),gg(x)0,fg(x)0,g f(x)g(x).2、答案：a 03、答案：x 0是第一类间断点，x 1是第二类间断点4、答案：15、答案：e.6、答案:x 1.2四、提示：利用零点定理第二章综合测试题第二章综合测试题一、单项选择题 eax ,x 01、假设f(x)在x 0处可导，那么a、b的值应为().bsin2x,x0(A)a 2,b 1;(B)a 1,b 2;(C)a 2,b 1;(D)a 2,b 1.x22x2,x 12、设f(x)().1 ,x1(A)不连续;(B)连续，(C)连续，且有一阶导数;(D)有任意阶导数.但不可导;3、假设f(x)为(l,l)内的可导奇函数，那么f(x)().(A)必为(l,l)内的奇函数;(B)必为(l,l)内的偶函数;.实用文档.(C)必为(l,l)内的非奇非偶函数;(D)在(l,l)内，可能为奇函数，也可能为偶函数.4、f(x)在x0处可导，那么limx0f(x0 x)f(x0)().x(A)2f(x0);(B)f(x0);(C)f(x0);(D)f(x0).5、设f(x)sin xcosx，那么f(15)()().2(A)0;(B)1二、填空题11、111;(C);(D).215215f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的充分条件，f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的条件12、13、设f(x)x(x1)(x 2)(x n)(n2)，那么f(0)()设f(x)为可微函数，那么当x 0时，在点x处的y dy是关于x的()无穷小.14、d2xdxx a(cost tsint)()(1)，2，那么3dyt dyt3y a(sint tcost)4415、设函数y f(x)由方程ln(x y)x ysinx确定，那么23dy()dx三、计算与应用题1xsin,x 01、讨论函数y 在x 0处的连续性和可导性.x 0 ,x 0ex1,x 02、f(x)x2，求f(x).1 ,x 03、设y f(e)exf(x)2且f(x)存在，求dy.dx4、设y 7x x7 77，求微分dyx2.x2(3 x)45、用对数求导法计算函数y 的导数(1 x)56、求函数y cos x的n阶导数.2.实用文档.四、证明题设f(x)在(,)内有定义，且x,y(,)，恒有f(x y)f(x)f(y)，f(x)1 xg(x)，其中limg(x)1，证明f(x)在(,)内处处可导.x0第二章综合测试题答案与提示第二章综合测试题答案与提示一、1、A；2、C；3、B；4、D；5、B二、1、充要；2、n!；3、高阶；4、三、1、答案：连续不可导.8 2；5、13a(2x22)ex2,x 02、答案：f(x)x3 0 ,x 03、答案：2dy ef(x)f(ex)ex f(ex)f(x).dx61714、答案：dy xx7 ln7(2)dx；7x7dyx2(27ln7)dx1445、答案：y x2(3 x)4145.(1 x)52(x2)x3x1n).26、答案:y(n)2n1cos(2x四、提示:x,y(,)，有y f(x)f(x)1 f(x)xg(x)，f(x)limy lim f(x)g(x)f(x).x0 xx0第三章综合测试题第三章综合测试题一、单项选择题1、以下函数在1,e上满足拉格朗日定理条件的是().(A)ln(ln x);(B)ln x;(C);(D)ln(2 x).ln x.1.实用文档.2、设f(x0)f(x0)0，f(x0)0，那么().(A)f(x0)是f(x)的极大值;(B)f(x0)是f(x)的极大值;(C)f(x0)是f(x)的极小值;(D)(x0,f(x0)是曲线y f(x)的拐点.3、设函数f(x)在0,1上满足f(x)0，那么f(1)，f(0)，f(1)f(0)或f(0)f(1)的大小顺序是().(A)f(1)f(0)f(1)f(0);(B)f(1)f(1)f(0)f(0);(C)f(1)f(0)f(1)f(0);(D)f(1)f(0)f(1)f(0).4、指出曲线f(x)x的渐近线().3 x2(A)没有水平渐近线;(B)只有一条垂直渐近线;(C)既有垂直渐近线，又有水平渐近线;(D)只有水平渐近线.5、曲线y(x5)2().(A)有极值点x 5，但无拐点;(B)有拐点(5,2)，但无极值点;(C)有极值点x 5，且(5,2)是拐点;(D)既无极值点，又无拐点.二、填空题16、设常数k 0，函数f(x)ln x53x k在(0,)内零点的个数为 e17、sin2xe2ax1,x 0假设f(x)x在(,)上连续，那么a()a ,x 0曲线y xln(e)(x 0)的渐近线方程为(18、1x)19、ln(1x)ln(1x)ln(1x2)lim()x0 x45、假设f(x)是x的四次多项式函数，它有两个拐点(2,16),(0,0)，并且在点(2,16)处的切线平行于x轴，那么函数f(x)的表达式是()三、计算与应用题1、当a为何值时，y asin xsin3x在x 13处有极值？求此极值，并说明是极大值还3.实用文档.是极小值.exln(1x)12、求lim.x0 xarctanx1sinx1cos)x.3、求lim(x0 x4、求椭圆x2xy y23上纵坐标最大和最小的点.5、求数列nn的最大项.6、曲线弧y sinx(0 x )上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.四、证明题设f(x)在(a,b)内二阶可导，且f(x)0.证明对于(a,b)少内任意两点x1、x2及0t1，有f(1t)x1tx2(1t)f(x1)tf(x2).第三章综合测试题答案与提示第三章综合测试题答案与提示一、1、B；2、D；3、B；4、C；5、B二、1、2；2、2；3、y x三、1、答案：a 2,y2、答案：311；4、；5、x44x316xe123是极大值.12.133、答案：e.4、答案：(1,2)和(1,2)5、答案：33.6、答案:(,1)处的曲率半径最小，值为 1.四、略第四章综合测试题第四章综合测试题一、单项选择题2.实用文档.1、dx().x(1 x)(A)2arctanx C;(B)arctan x C;(C)arctan21x C;(D)2arccotx C.x22、f(x)的一个原函数是e2，求xf(x)dx().2(A)2x2exC;(B)2x2exC;2(C)ex(2x21)C;(D)以上答案都不正确.3、f(x)dx F(x)C，那么f(bax)dx().(A)F(bax)C;(B)(C)aF(bax)C;(D)1F(bax)C;a1F(bax)C.a4、曲线上任一点的二阶导数y 6x，且在曲线上(0,2)处的切线为2x3y 6，那么这条曲线的方程为().(A)y x32x2;(B)3x32x3y6 0;(C)y x 2x;(D)以上都不是.5、假设F(x)f(x)，那么dF(x)().(A)f(x);(B)F(x);(C)f(x)C;(D)F(x)C.二、填空题20、21、22、设函数f(x)的二阶导数f(x)连续，那么xf(x)dx().x假设f(e)1 x，那么f(x)().3曲线y f(x)上任意点的切线的斜率为ax 3x6，且x 1时，y 311是极2大值，那么f(x)(23、)；f(x)的极小值是().).x e3x2dx(5、f(x xf(x)dx().实用文档.三、计算与应用题1、求不定积分dxexex.42、求不定积分tan x dx.ax3、求不定积分ecosbx dx.4、求不定积分11ex dx.x dx.5、求不定积分arctanx36、求不定积分 dx.(1 x8)2四、证明题设F(x)是f(x)的一个原函数，且F(0)1，f(x)2x，证明：F(x)f(x)1 dx ln(12x2)C.f(x)4第四章综合测试题答案与提示第四章综