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(精品 word)高二数学组合数的两个性质组合数的两个性质组合数的两个性质教学目的：熟练掌握组合数的计算公式;掌握组合数的两个性质,并且能够运用它解决一些简单的应用问题.教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。教学难点：利用组合数性质进行一些证明。教学过程:一、复习回顾一、复习回顾:1复习排列和组合的有关内容：定义特点相同公式排列组合强调：排列-次序性；组合-无序性 2练习nm1mm1m1：求证：CnCn1（本式也可变形为：mCn nCn1）m373345C62与C6 C112：计算:C10和C10；C7；C11（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础）二、新授内容二、新授内容:mnm1组合数的性质 1:Cn Cn理解：一般地,从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，mnm Cn即:Cn在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：Cnnmn!n!(nm)!n(nm)!m!(nm)!mnmn!Cn Cnm!(n m)!又Cnm01注:1我们规定Cn 2等式特点：等式两边下标同,上标之和等于下标nmnm3此性质作用：当m 时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化22002200120011例如：C2002C2002C2002=2002 4Cnx Cny x y或x y n2例 4 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球 从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法?(精品 word)高二数学组合数的两个性质33 56C72 21C7 35解:C83引导学生发现：C83C72C7为什么呢？我们可以这样解释:从口袋内的 8 个球中所取出的 3 个球,可以分为两类：一类含有 1 个黑球,一类不含有黑球因此根据分类计数原理，上述等式成立m一般地，从a1,a2,an1这n+1 个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类:一类含有元素a1，一类不含有a1含有a1的组合是从a2,a3,an1这n个元素中取出m1 个元素m1与a1组成的，共有Cn个;不含有a1的组合是从a2,a3,an1这n个元素中取出m个元素组成的,共有mCn个根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素的分类思想mmm1CC3组合数的性质 2:Cn+n1n证明：CnmCnm1n!n!m!(nm)!(m1)!n(m1)!m!(n m 1)!n!(n m 1)n!m(nm1m)n!m!(nm1)!(n1)!m!(nm1)!m Cn1mmm1Cn1Cn+Cn注：1公式特征：下标相同而上标差1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多 1 而上标与高的相同的一个组合数 2此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用4补充例题36 C74 C85 C9 计算：C7nn1nn2 求证：Cm2Cm+2Cm+Cmx12x3 C13 解方程:C132x3 解方程：Cxx2Cx213Ax310013501234 C5 C52 C5 C54 C5C4C4C4C4 计算:C4和C50 01 12 2n n 1 1n n C Cn n C Cn n C Cn n C Cn n 2 2n n推广：C Cn n 5组合数性质的简单应用：证明下列等式成立：(精品 word)高二数学组合数的两个性质kkkkkk1（讲解)Cn1 Cn2 Cn3 Ck1 Ck Cnk1（练习）Ckk Ckk1 Ckk2 Ckkn Cnk1123nCn 2Cn3Cn nCnn01n(CnCnCn)2三、作业三、作业：课堂作业：P103 1,2#课外作业：课本习题 10.3；5#-8#四、小结四、小结：1组合数的两个性质；2从特殊到一般的归纳思想酒钢三中高二数学组酒钢三中高二数学组
