2012年重点中学高考数学复习 第18课时 解斜三角形应用举例(2)学案 湘教版.pdf

课课题题：解斜三角形应用举例（解斜三角形应用举例（2 2）教学目的：教学目的：1 进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；2 熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3 通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：教学重点：1 实际问题向数学问题的转化；2 解斜三角形的方法教学难点：教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：授课类型：新授课课时安排：课时安排：1 课时教教具具：多媒体、实物投影仪教学方法教学方法：自学辅导法在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决二、讲解范例：二、讲解范例：例例 1 1 如图，是曲柄连杆机的示意图当曲柄CB0绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在AO处设连杆AB长为 340，曲柄CB长为 85，曲柄自CB0按顺时针方向旋转 80，求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)(精确到 1)分析：如图所示，因为A0AAOCAC，又知AOCABBC34085425，所以只要求出AC的长，问题就解决了在ABC中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC解：在ABC中，由正弦定理可得sinABCsinC85sin80 0.2462.AB340因为BCAB，所以A为锐角，得A1415B18O（AC）18O（14158O）8545由正弦定理，可得ACABsin B340sin8545 344.3mm.sinC0.9848因此，AOAAOCAC(ABBC）AC(34O85)34438O781（）答：活塞移动的距离约为81评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围要求学生注意解题步骤的总结：求AC求AOA用正弦定理求A求B内角和定理正弦定理例例 2 2 如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD，BCD，BDC，ADC，试求AB的长分析：如图所示：对于AB求解，可以在ABC中或者是ABD中求解，若在ABC中，由ACB，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解而AC可在ACD内利用正弦定理求解，BC可在BCD内由正弦定理求解解：在ACD中，已知CDa，ACD，ADC，由正弦定理得ACasinasinsin180()sin()在BCD中，由正弦定理得BCasinasinsin180()sin()在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB，所以用余弦定理,就可以求得ABAC2 BC22AC BC cos()评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用(2)注意体会例 2 求解过程在实际当中的应用例例 3 3 据气象台预报，距S岛 300 的A处有一台风中心形成，并以每小时30的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心 270 以内的地区将受到台风的影响问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化S岛是否受台风影响可转化为SB27O 这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过小时到达B点，则在ABS中，由余弦定理可求SB解：设台风中心经过小时到达B点，由题意，SAB9O3O6O在SAB中，SA3OO，AB3O，SAB6O，由余弦定理得：SB2SA2AB22SAABcosSAB223OO（3O）23OO3Otcos6O若S岛受到台风影响，则应满足条件22SB27O即SB27O2化简整理得1O19O解之得 5656所以从现在起，经过 56小时S岛开始受到影响，(56)小时后影响结束持续时间：(56)（56）26小时答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（56）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为 26小时例例4 4 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为03，油泵顶点 B 与车箱支点 A 之间的距离为 195 米，AB 与水平线之间的夹角为620，AC 长为 140 米，求货物开始下滑时 BC 的长解：设车箱倾斜角为，货物重量为mgf N mgcos当mgcos mgsin即 tan时货物下滑当 tan时，0.3 tan，arctan0.3 16 42BAC=16 426 20 23 02在ABC 中:BC2 AB2 AC2 2AB ACcosBAC1.95 1.40 21.951.40cos23 0210.787，BC 3.28三、课堂练习三、课堂练习：1 海中有一小岛B，周围 38 海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北 75东，航行 8 海里到C，望见岛B在北 6O东，若此舰不改变航向继续前22进，有无触礁危险?答案：不会触礁2 直线AB外有一点C，ABC6O，AB2OO，汽车以 8O 速度由A向B行驶，同时摩托车以 5O 公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小答案：约 13 小时四、小结四、小结通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力五、课后作业五、课后作业：1已知在ABC中，sinAsinBsinC=324，那么 cosC的值为（）1122 B C D4433abc分析：先用正弦定理：可求出abc=324，sin Asin BsinCA所以可设a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理：a2b2c29k2 4k216k21cosC 可得cosC 即cosC .2ab23k 2k4答案：A2一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15相距 20 里处，随后货轮按北偏西 30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45，求货轮的速度解：如图所示，SMN=15+30=45，SNM=1804530=105NSM=18045105=30由正弦定理MN20sin30sin105MN 10(6 2)110(6 2)20(6 2)2答：货轮的速度为20(6 2)里/小时3ABC中，a+b=10，而 cosC是方程 2x3x2=0 的一个根，求ABC周长的最小值分析：由余弦定理可得c2 a2 b2 2abcosC，然后运用函数思想加以处理2解：2x 3x 2 0 x1 2,x2 221212又cosC是方程 2x3x2=0 的一个根cosC 222由余弦定理可得c a b 2ab()(a b)ab则c 100 a(10 a)(a 5)75当a=5 时，c最小且c=75 5 322122此时a b c 555 3 10 5 3ABC周长的最小值为10 5 34在湖面上高h米处，测得云的仰角为,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为，试证：云高为hsin()米sin()分析：因湖而相当于一平面镜，故云C与它在湖中之影D关于湖面对称，设云高为x=CM，则从ADE，可建立含x的方程，解出x即可解：如图所示，设湖面上高h米处为A，测得云的仰角为，而C在湖中的像D的俯角为，CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E，设云高CM=x则CE=xh，DE=x+h AE (x h)cot且AE (x h)cot(x h)cot(x h)cottan tan解得x htan tansincos cossinsin()coscosh h(米)sincoscossinsin()coscos5在某定点A测得一船初始位置B在A的北偏西1处，十分钟后船在A正北，又过十分钟后船到达A的北偏东2处若船的航向与程度都不变，船向为北偏东，求的大小(12)分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题解：如图所示，在ABC中，由正弦定理可得：BCACBCAC,即sin1sin(1)sin1sin(1)在ACD中，由正弦定理可得：sin2CDACCD,即sin2sin(2)ACsin(2)根据题意，有BC=CD由、得：sin1sin2sin(1)sin(2)即sin1sin(2)sin2sin(1)sin1(sincos2 cossin2)sin2(sincos1 cossin1)即sinsin(12)2cossin1sin2则tan2sin1sin2sin(12)所以 arctan2sin1sin2（12）sin(12)6（1998 年全国高考题）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,AC=,求 sinB的值3ACACBBcos 4sincos2222解：a+c=2b,sinA+sinC=2sinB由和差化积公式得2sinsin3BB3A CB 2sin即sin cos 0,AC 22242230 B 2cosBB131sin2224于是sin B 2sinBB31339cos 222448六、板书设计六、板书设计（略）七、课后记：七、课后记：