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中考专题复习线段和差的最大值与最小值 The pony was revised in January 2021 中考专题-线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小；（1）点 A、B 在直线 m 两侧：（2）点 A、B 在直线同侧：A、A 是关于直线 m 的对称点。2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短.填空：最短周长P mABQP n mABPQ n mABQP n mABB n mABEDmnABAB=_ 变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧,在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动 点 B 在O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求P、Q两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解)（1）点 A、B 在直线 m 两侧：P mOABAPQmnAAA 过 A 点作 ACm,且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 长，即为 P点，此时 P、Q 即为所求的点。（2）点 A、B 在直线 m 同侧：练习题 1如图，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值为 2、如图 1，在锐角三角形 ABC 中，AB=4,BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M,N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 3、如图，在锐角三角形 ABC 中，AB=5 2，BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是多少？4、如图 4 所示，等边ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点,E 是 AC 边上一点.若 AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点 P 是AB 上一个动点，当 PCPD 的和最小时，PB 的长为_ 6、如图 4，等腰梯形 ABCD 中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P 是上底，下底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 Q 7、如图 5 菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为 8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 9、如图，圆柱形玻璃杯，高为 12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底 3cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm 10、如图，菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为 11、如图，正方形ABCD的边长为 2，E为AB的中点，P是AC上一动点则PB+PE的最小值是 12、如图 6 所示，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 M在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上的一个动点，则 DN+MN 的最小值为 13、如图，正方形 ABCD 的边长是 2，DAC 的平分线交DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值为 14、如图 7，在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为cm（结果不取近似值）15、如图，O的半径为 2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 16、如图 8，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN30，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PAPB 的最小值为()(A)2(B)(C)1(D)2 解答题 1、如图 9，正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y=（k0）在第一象限的图象交于A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知三角形 OAM 的面积为 1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 B 与点 A 不重合），且 B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB 最小.2、如图，一元二次方程 x2+2x-3=0 的二根 x1，x2（x1x2）是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点 B，C 的横坐标，且此抛物线过点 A（3，6）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为 P，对称轴与 AC相交于点 Q，求点 P 和点 Q 的坐标；（3）在 x 轴上有一动点 M，当 MQ+MA 取得最小值时，求 M 点的坐标 3、如图10，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，），AOB 的面积是.（1）求点 B 的坐标；（2）求过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使AOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由；4如图，抛物线y35x2185x3 和 y 轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长 5如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标 6如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，3），B(4，1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a 为何值时，四边形ABDC的周长最短 7、如图 11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点.（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点E、F 的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA 与 PB 的差最大；（1）点 A、B 在直线 m 同侧：解析：延长 AB 交直线 m 于点 P，根据三角形两边之差小于第三边，PAPBAB，而PAPB=AB 此时最大，因此点 P 为所求的点。（2）点 A、B 在直线 m 异侧：解析：过 B 作关于直线 m 的对称点B,连接 AB交点直线 m 于 P,此时 PB=PB，PA-PB 最大值为AB 练习题 1.如图，抛物线y14x 2x2的顶点为A，与y 轴交于点B(1)求点A、点B的坐标；mABBPPmBAPP(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PAPBAB；(3)当PAPB最大时，求点P的坐标.2.如图，已知直线y21x1 与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y21x 2bxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标 3、在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（4，1）和（2，5）；点 P 是 y 轴上的一个动点，点 P 在何处时，PAPB 的和为最小？并求最小值。点 P 在何处时，PAPB最大？并求最大值。4.如图，直线y 3x2 与 x 轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，A经过点B和点O，直线BC交A于点D（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标若不存在，请说明理由 5、抛物线的解析式为223yxx，交 x 轴与 A 与 B,交 y 轴于 C，在其对称轴上是否存在一点 P，使APC 周长最小，若存在，求其坐标。在其对称轴上是否存在一点 Q，使QBQC的值最大，若存在求其坐标。6、已知：如图，把矩形 OCBA 放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB 的中点 M，连接 MC，把MBC 沿 x 轴的负方向平移 OC的长度后得到DAO（1）试直接写出点 D 的坐标；（2）已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物线上，点 P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点 P 作 PQx 轴于点 Q，连接 OP 若以 O、P、Q 为顶点的三角形与DAO 相似，试求出点 P 的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点 T，使得|TO-TB|的值最大？7、如图，已知抛物线 C1的解析式为 y=-x2+2x+8，图象与 y 轴交于 D 点，并且顶点 A 在双曲线上（1）求过顶点 A 的双曲线解析式；（2）若开口向上的抛物线 C2与 C1的形状、大小完全相同，并且 C2的顶点 P 始终在 C1上，证明：抛物线 C2一定经过 A 点；（3）设（2）中的抛物线 C2的对称轴 PF 与 x 轴交于 F 点，且与双曲线交于 E 点，当 D、O、E、F 四点组成的四边形的面积为时，先求出 P 点坐标，并在直线 y=x 上求一点 M，使|MD-MP|的值最大 8、如图,已知抛物线 经过 A(3，0)，B(0，4)，（1）.求此抛物线解析式（2）若抛物线与 x 轴的另一交点为 C，求点 C 关于直线 AB 的对称点 C 的坐标（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PHPA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。三、其它非基本图形类线段和差最值问题 1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。1、如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A 222 B52 C。62 D 6 2、已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则 CD=；（2）如图 2，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD=；（3）如图 3，当ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数.图 1 图 2 图 3 3、在 RtABC中，ACB=90，tanBAC=12.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图 1 设CFkEF，则k=；（2）若将图 1 中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图 2 所示求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值 4、如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM.求证：AMBENB；当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由；当 AMBMCM 的最小值为13 时，求正方形的边长.5、如图，二次函数 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于点B 和点A（-1，0），与 y 轴交于点 C，与一次函数y=x+a交于点 A 和点 D（1）求出 a、b、c 的值；（2）若直线 AD 上方的抛物线存在点 E，可使得EAD 面积最大，求点 E 的坐标；（3）点 F 为线段 AD 上的一个动点，点 F 到（2）中的点 E 的距离与到 y 轴的距离之和记为 d，求 d 的最小值及此时点 F 的坐标 6.如图，边长为 8 的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点)，过点P作PFBC于点F.点D，E的坐标分别为(0,6)，(4,0)，连接PD，PE，DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使PDE的周长最小的点P也是一个 “好点”请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE的周长最小时“好点”的坐标 备用图