因式分解的常用方法(基本公式法-分拆法-配方法-换元法-待定系数法).pdf

1/26 因式分解方法归纳总结 第一部分:方法介绍 初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.一、提公因式法。:m+mb=（+）二、运用公式法 （1）（ab)（a-b）2b2-2b2=（a+b）(a)；（2)(ab)=a22b2 22abb2=（ab)2；(3）（+b）（2b+b2）a3+3-3b=（+b）(aab+b2）；（4）（a)（a+a2)=a3-b3-a3b3=(a-）(a2+b+b2）。下面再补充两个常用的公式：(5）a2+b2+c2b2c2ca(a+c）；（)a3+b+c33abc=(a+)（a+b2+cbc)；例.已知abc，是ABC的三边，且222abcabbcca，则ABC的形状是(）A。直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 等腰直角三角形 解：222222222222abcabbccaabcabbcca 222()()()0abbccaabc 三、分组分解法 例 2、分解因式：bxbyayax5102 解法一：第一、二项为一组；解法二:第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解:原式=)5()102(bxbyayax 原式)510()2(byaybxax =)5()5(2yxbyxa )2(5)2(baybax )2)(5(bayx =)5)(2(yxba 练习:分解因式1、bcacaba2 2、1yxxy(二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式:ayaxyx22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。2/26 解：原式=)()(22ayaxyx =)()(yxayxyx =)(ayxyx 例 4、分解因式：2222cbaba 解:原式=222)2(cbaba =22)(cba )(cbacba 练习：分解因式3、yyxx3922 、yzzyx2222 综合练习:（）3223yxyyxx (2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4)abbaba4912622（5)92234aaa (6)ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx (）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy (10）)2()(abbcaca（1）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333 四、十字相乘法。(一)二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：()二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积;(3）一次项系数是常数项的两因数的和.思考：十字相乘有什么基本规律？例已知 0a，且a为整数,若223xxa能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 a2+xc,都要求24bac 而且是一个完全平方数.于是9 8a 为完全平方数,1a 例、分解因式：221288baba 分析:将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。1 1 1b 8b(-16)=-8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba 3/26 =)16)(8(baba 练 习 、分 解 因 式(1）2223yxyx(2）2286nmnm（3)226baba(四)二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、22672yxyx 例0、2322 xyyx 1 2y 把xy看作一个整体 1 2 -3y 1 -(3y)+（-y）=7 （-1)+(2）3 解：原 式=)32)(2(yxyx 解:原 式=)2)(1(xyxy 练习 9、分解因式:（1)224715yxyx （)8622 axxa 综 合 练 习10、(1）17836 xx （2）22151112yxyx（）10)(3)(2yxyx （）344)(2baba（5）222265xyxyx (6)2634422nmnmnm（7)3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx 思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222 五、换元法。例 13、分解因式(1)2005)12005(200522xx (2)2)6)(3)(2)(1(xxxxx 解：(1)设 2005a，则原式axaax)1(22 =)(1(axax )2005)(12005(xx（）型如eabcd 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式222)65)(67(xxxxx 设Axx652,则xAxx2672 原式=2)2(xAxA222xAxA =2)(xA=22)66(xx 练习3、分解因式(）)(4)(22222yxxyyxyx（2)90)384)(23(22xxxx 4/26(3)222222)3(4)5()1(aaa 例 14、分解因式（1）262234xxxx 观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列,每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”。方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数，然后再用换元法。解：原式=)1162(222xxxxx6)1()1(2222xxxxx 设txx1,则21222txx 原式=6)2222ttx（=10222ttx 2522ttx=215222xxxxx =21522xxxxxx=1225222xxxx =)2)(12()1(2xxx（2)144234xxxx 解：原式=22241(41)xxxxx=1141222xxxxx 设yxx1，则21222yxx 原式22(43)xyy=2(1)(3)xyy =)31)(11(2xxxxx=13122xxxx 练习 14、(1）673676234xxxx(）)(2122234xxxxx 六、添项、拆项、配方法。例5、分解因式（1）4323 xx 解法-拆项。解法添项。原式=33123xx 原式=444323xxxx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx =)44()43(2xxxx )331)(1(2xxxx =)1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx =)44)(1(2xxx 2)2)(1(xx =2)2)(1(xx(2)3369xxx 5/26 解：原式)1()1()1(369xxx)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx 练习5、分解因式（1)893 xx （）4224)1()1()1(xxx(3）1724 xx （）22412aaxxx（5)444)(yxyx （6）444222222222cbacbcaba 七、待定系数法。例 16、分解因式613622yxyxyx 分析:原式的前 3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx 解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622 613622yxyxyxmnymnxnmyxyx)23()(622 对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm 原式)32)(23(yxyx 例 17、()当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项式。(2)如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba 的值。（1）分析：前两项可以分解为)(yxyx,故此多项式分解的形式必为)(byxayx 解:设6522ymxyx=)(byxayx 则6522ymxyxabyabxbayx)()(22 比较对应的系数可得：65ababmba,解得：132mba或132mba 当1m时，原多项式可以分解；当1m时，原式=)3)(2(yxyx；当1m时，原式=)3)(2(yxyx（2)分析：823bxaxx是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因6/26 此第三个因式必为形如cx 的一次二项式。解：设823bxaxx=)(2)(1(cxxx 则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(23 82323ccbca 解得4147cba，ba 21 练习 1、（)分解因式2910322yxyxyx(2）分解因式6752322yxyxyx(3)已知:pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.(4)k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全 经典一:1、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。24284216842(1)111(2)1111(3)11111(4)111111(5)_xxxxxxxxxxxxxxxxxx 经典二：因式分解小结 知识总结归纳 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；因式分解的结果一定是整式乘积的形式;3.分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止；7/26 .公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；。因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤.即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;下面我们一起来回顾本章所学的内容.1.通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1.分解因式xxxxx54321 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组,此题可把xxxxx54321和分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后，再进一步分解;也可把xx54，xx32,x 1分别看成一组,此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式()()xxxxx54321 xxxxxxxxxxxxx32232221111111()()()()()()()解二:原式=()()()xxxxx54321 8/26 xxxxxxxxxxxxxxxxx4244222211111121111()()()()()()()()()().通过变形达到分解的目的 例 1。分解因式xx3234 解一：将32x拆成222xx，则有 原式 xxxxxxxxxxxx322222242222212()()()()()()()()解二：将常数4拆成 13,则有 原式 xxxxxxxxxxxx32222133111 3314412()()()()()()()()().在证明题中的应用 例：求证:多项式()()xxx2241021100的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。证明：()()xxx2241021100 ()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxx223710027231005145610022 设yxx25,则 9/26 原式无论 取何值都有的值一定是非负数()()()()()()yyyyyyyxxx1461008164404102110022222 4。因式分解中的转化思想 例：分解因式：()()()abcabbc2333 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂,观察b，b+c与 a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设+bA,+=B,a2b+=A+B 原式()()()()()ABABAA BABBABA BABAB ABab bc abc333322333223333332 说明:在分解因式时，灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨 例 1。在ABC中,三边,b,c 满足abcabbc222166100 求证：acb 2 证明：abcabbc222166100 aabbcbcbabcbabc abcabcabcabcabcacb2222226910250350820880202即，即于是有即()()()()说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大,学生应掌握这类题不10/26 能丢分。例 2.已知:xxxx12133，则_ 解：xxxxxx3321111()()()()xxxx11212122 说明：利用xxxx222112()等式化繁为易。题型展示 。若 x 为任意整数，求证：()()()7342xxx的值不大于 10。解：100)4)(3)(7(2xxx ()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxxxxxx723210051456100585165407341002222222 说明:代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 10,即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2.将aaaa222222216742()()分解因式，并用分解结果计算。解：aaaa22221()()11/26 aaaaaaaaaaa22222222221211()()()()6742366143184922222()说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟 1。分解因式:（）（）131083108233315543222xxxxxaaaa()()（）（）323352476223xxyyxyxx 2.已知:xyxyxy 6133，求：的值。矩形的周长是8，两边，使xx yxyy32230,求矩形的面积。4 求证：nn35是 6 的倍数。（其中为整数)5 已知：a、b、c是非零实数,且abcabcbcacab22211111113，()()()，求+b+c 的值。6。已知：、b、为三角形的三边，比较abca b222224和的大小。经典三:因式分解练习题精选 一、填空：（30 分)、若nmyx)()(4222yxyxyx，则 m_,=_。12/26 5、在多项式2353515yyy中,可以用平方差公式分解因式的 有_,其结果是 _。6、若16)3(22xmx是完全平方式，则 m_。、_)(2(2(_)2xxxx 8、已知,01200520042xxxx则._2006x 9、若25)(162Mba是完全平方式 M_。15、方程042 xx，的解是_。二、选择题：(1分）1、多项式)()(xbxaabbxxaa的公因式是()A、-a、B、)(bxxaa C、)(xaa 、)(axa 2、若22)32(9xkxmx，则 m,k的值分别是（)A、m=-2，=6,B、m2，=12,C、=4，k=12、D m=4,k1、3、下列名式:4422222222,)()(,yxyxyxyxyx中能用平方差公 式分解因式的有（)A、1 个,B、2个,C、3 个,D、4个 13/26、计算)1011)(911()311)(211(2232的值是（)、21 B、2011.,101.,201DC 三、分解因式：（30 分)1、234352xxx 2、2633xx 3、22)2(4)2(25xyyx 4、22414yxyx 5、xx 5 6、13x 7、2axabaxbxbx2 、811824xx 9、24369yx 10、24)4)(3)(2)(1(xxxx 五、计算:(5）(）0。66.24366.3 14/26（2）200020012121 (3)2244222568562 六、试说明：(8 分)1、对于任意自然数，22)5()7(nn都能被动 24 整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算（8 分）1、一种光盘的外 D11。9 厘米，内径的=。7 厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）经典四:因式分解 一、选择题 1、代数式3221ab，21ab4a4b3,a42ab4的公因式是()A、a3b2 、a2 C、ab3 D、a3b 2、用提提公因式法分解因式 5(）0b（)，提出的公因式应当为(）A、5a10b 、a+0b C、5(y）D、yx 3、把m32m24m 分解因式，结果是()A、4m(m3m)、4m(m23-1）C、-m(m2m-1）D、-2m(4m-6m2)4、把多项式2x4-x分解因式,其结果是(）A、2（-x42x）、-2(+x2)C、-x2（x2+4）D、2x2（x2+）5、（）98(-）1999等于（)A、298 B、1998 、-21999 D、21999 15/26 6、把 16x4分解因式,其结果是(）A、(2)4 B、(x）(4）C、(4x2）(2+x)（2-)D、(2x）3(-x）7、把 a42ab2+b4分解因式，结果是(）A、2(a22b）+b4 、（a2b）C、（ab)4 D、（a+）2(-）2 8、把多项式x22x+21分解因式，其结果是（）、(2x21）2 B、2(x-21）C、（-21）2 D、21(x1）2 9、若6（k3)a+1 是完全平方式,则 k的值是（)A、4 B、C、3 D、4或、（2xy)（2xy）是下列哪个多项式分解因式的结果（)A、4x2-2 B、4+y2 C、4xy2 、-4y 11、多项式 x2+3x54 分解因式为(）A、(x6)（x）、（x6)（9)C、（x）（x9)、(x)(x-9)二、填空题、2x2-4xy2=_（x-2y1)、4a3b20a2b3=2a2b2(_)3、(1-a）na1=（_）（m1）、m(mn）2（nm)2=(_)(_）、(_)162=()2 6、2（_）2=（5y）(x-5y)7、a2-（a-b）2=(_)（_）8、a(z）b（xy)-(x+yz)=（x+yz）（_）、16(xy）29（xy）2（_)（_）10、（a+b)3-(a+b)=(+b)（_）(_ _)11、x2+3x 2（_ _）（_ )16/26 2、已知212=(x2）（x6),则 p_.三、解答题、把下列各式因式分解.(1）x223 （)3y36y2+3y()2（2a）a（x2)2 （)(x-2）x2（5)2520mn2 （）12a2b(y)4b（yx)（7)(-1）(3x）+（2-3）（）a+5a+6、已知：xy21，xy=。求 x3y2x2y2+x的值。经典五:因式分解练习题 一、选择题：1。下列各式的因式分解结果中,正确的是 A。a2b7abbb（a+7a)。3x23xy6=3（2)(+)C8yz-6xy2xyz(4xy）D224ab6a=2（abc)2。多项式 m（n2)m（2n）分解因式等于 A(n2）(m+)。(2）（m-m）17/26 C.m()（1）D。(2）(m1)。在下列等式中，属于因式分解的是 A.（-y）+b（m+)=ax+may+n.2-2b+b2=(b)2+1 C.a2+9b2（2b)（2+3b）.27x8x(x)8 4下列各式中,能用平方差公式分解因式的是 A.a+b2 Ba2+b2 C。22 (a2)b2 若 9x2myy2是一个完全平方式，那么的值是 A2 B24 C。12 D.12 6.把多项式 an+4n1分解得 .an（a4-a）Ban(a-）18/26 Can1（a1）(2-a）an+1(a）（a2a+)7若 a2a1,则 a4+324a+3 的值为 A8 B.7 C10 .1 已知 x2y2x-6y1=0，那么 x,y 的值分别为 A。x,=3 Bx,y=3 C。x=，y3 D.x=,=3 9。把（m2+m）48(m2+)+16 分解因式得 A.(m)4（m）2 。(-1)2(m2）2（m+2）C（4）(m）2 D(m1)2（m2）2（m23m2)2 1把 x27x60 分解因式，得 A.（x10）(x+6）B.（x+5）（x-12)C（x+3）(x2）D。(x）（+2）19/26 11。把2y82分解因式，得 A.(3x+4）(-2)B(x4）(+2)C(34y）(x2)(34y）（x2y）1.把 a2+8ab-33b分解因式，得 A(+1)（a3）B.（a-11b)(ab）(a1b）（a3b）D。（a11b）（a3)3把 x43x2+分解因式，得 。(22)(x2)B.（2-2）（）（x1)（x2+2）(x2+1)D(x2+2)(x）（x-)4多项式2axab 可分解因式为 A。（+a）(xb）.(x)(x）C（xa）(xb）D（x+a)（x+）20/26 15.一个关于 x 的二次三项式，其 x2项的系数是 1，常数项是12,且能分解因式，这样的二次三项式是 x-11-12 或 x211x12.x-或2x12 C.-12 或4x-2 D以上都可以 16.下列各式 xxx1，xyx，x2x-y21，（2+3x)2-(2x+1)2中，不含有（x1)因式的有 A个 B个 3 个 D。个 7把 9x12xy3y2分解因式为 A.(x6+3)(x6x3)-（x6y+)(y3）C.（6y3)（x+6y3）D（x6y3)（6+).下列因式分解错误的是 21/26。a-bc+a=（b）(a+c）B.ab5a+31(b5）(+3）.+3xy6y(x3y）(x）2-xy19y2(xy+1）（3y1）9已知 ax2x+b2是完全平方式,且 a，b 都不为零，则 a 与 b 的关系为 互为倒数或互为负倒数 B互为相反数 相等的数 D.任意有理数 20对 x44 进行因式分解，所得的正确结论是 A.不能分解因式 B有因式 x2+2 C。（xy+2)(x-8）（x-）（xy-8)21把 a4a2b2b4ab2分解因式为 。(a2+b2+ab)2 B.（a+b2b）（a2b-ab)C（ab2+ab）（a2b2ab)（2+b2b)22（3x-1)（x+2y)是下列哪个多项式的分解结果 22/26 A。3x+xy2y B32-6xyx2y C.x+2+26x D。x+2yx26xy 23.64a8-b2因式分解为 .（64a4-b）(a+b)B（16ab）（4a2+b)C.(84b）(8a)D。（a2b)（8a+b)24.9（x-y）2+12（xy)4（x+y)2因式分解为 A（5x）B（x+y）2 C。（xy)（3xy)(x2y）2 25.（2y3x）22(3x-y)+1 因式分解为 .(3x2y1）2 B（x+2y）2 C.（3x2y1）D（2y1)2 2。把(ab）-4(a2b2)4(ab）2分解因式为 23/26 A（b）2 （3a)2 C（3ba)2 D。(a+b）2。把 a2(b+c）22ab（c）(b+）+b(a)2分解因式为 A。c（b）2 Bc（）c2（+b）Dc2(ab)28.若 4xy4x22-k 有一个因式为（xy），则k 的值为 A.0 B1 C1 D4 9分解因式 3a2x-4b2y3b2x+4ay,正确的是 A.（a2b2）（3x4y)B(-b)（a+b)（3x4）.(2b2)(3x-4）D(a）（ab)(3xy)30分解因式 2a+4ab+2b28c2，正确的是 A.(a+-2c）B2（ab+c)（ab)24/26.(2ab+c)(b4c）D.2（a+b2c）（2c)三、因式分解：。2（pq)-pq；2。a(ab+bc+ac）-ac；x4y-23y+y3；4bc（222）a3bc+2ac;5。a2（b-c)b2（c-a)2(ab）;6（x22）22x(x2）1；。()2+1（y-)z36z2;8.xx+8ab2；9(ax+)+(yx）2+2（x+by）（ab)；1.(a2）(1b)-（a2-1）2（2-1）2;11(+)29(x-)2；124a2b(a2b2c)2；1ab2caca;14x3n+y3n;15.（+y）125；16。（3m-2n）3(32n);17x6(x2-y2）+y6（y2-2）；25/26 18。（xy)3+1；1。(a+b）3ab3-c3；2。x2+4x+3y；21。+18x144;2.x42x28；2。m+1217；5238x；25x19x516x2；26（-7）2+10（7x）24；7。57(1）6(a+1)2；28（x2x）（x2x1)-；29x2y2x2y24xy1；30（x）（-2)（3)（x）4;1x-x-y；32axbx2bxax-3+；4+m2+1;34。a22a+c2;35ab2ab;6。25b4（a-b)4；3x6y6x2y43x4y2；26/26 38x2+xy22-43；39m-a+ab4b2;45mn22-n2。四、证明(求值）:1.已知 ab=0，求 a32+abb2的值 2。求证:四个连续自然数的积再加上 1，一定是一个完全平方数 3证明：（ad）2+(b+a）2=（a2b）(c2d）.。已知 a=+3，b2k+2,=，求 a2+b2+c22abba的值.5.若 x2m+n=（x3）(x+4），求（n)2的值 6.当为何值时,多项式27+a25x4324 可以分解为两个一次因式的乘积.若 x，y 为任意有理数,比较 6xy 与 x2+y2的大小 8.两个连续偶数的平方差是4 的倍数.