圆的认识教学案例.pdf

2/9 师：如果有时间给你画，你能画多少个点？生:可以画无数个点。师：这些点将会成为什么图形?生：圆形。师：我能在很短的时间内画无数个这样的点。你信吗？（老师用圆规将图画成圆形,板书课题：圆的认识)二、教学新课 师：你能把刚才自己画的那幅图补充成圆形吗？师：这是我们第一次用圆规画圆，你觉得哪儿最容易出问题?生:圆画到最后可能会合不拢。师:为什么会合不拢？是什么原因呢?生:圆规两只脚忽大忽小就会这样。师:就是说圆规两只脚距离不能改变。还有其他情况吗？生：也有可能针尖动了，也会画不圆.师：针尖也不能动，看来我们要把重心放在针尖这一边，固定好两脚尖的距离，旋转一周后就可以得到圆形,这些都是画圆的技巧。师：同学们，看到这个圆，让你联想到生活中的哪些物体？生:硬币、月饼、钟面 生:篮球 3/9 师：真是很厉害，能把平面图型想象成立体图形,不过老师要告诉你，球形与圆形还是有很大区别的.能说完吗?老师也带来了一些。瞧！(美丽的圆形图片)就连大自然对圆也是情有独钟!（欣赏美丽的光环、绽放的向日葵等）师：圆美吗？生：美！师：难怪古希腊有位数学家说:“在一切平面图形中，圆是最美的。”师:圆看似简单其实一点也又不简单！在圆里，还隐藏着许多数学知识！三、圆的各部分名称与圆的特征 师：在这个圆里,中间的这个点叫圆心，用字母表示,你还知道哪些数学知识？生:半径。师:能上来画一条半径吗?(生上来画半径）还有哪些知识？生:直径。师:请你也上来画一条,好吗?(生上来画直径）师:用自己的话说一说什么是半径？生:圆心到圆边的线段.师:圆边在数学上叫做圆上。那什么叫做直径呢?生：路过圆心,两个端点在圆上的线段叫直径.师：这只是我们感性的认识，要想得到更科学的概念，我们还得请教书本。（自学书本第 13页找到半径与直径的概念,并读一读。）4/9 师：半径是连接圆心到原上任意一点的线段,这“任意一点你是怎么理解的?生：就是随便哪一点都可以，圆上有无数个点，取一个点就可以。师：现在请你在自己的圆内标出圆心,并画一条半径。师:你还能画多少条半径(继续画)？画的完吗？生:画不完，有无数条？师:你是怎么想的?生:因为圆上有无数个点，都可以连接圆心成为半径,所以有无数条半径。师:量一量这些半径的长度,相等吗？生:半径长度都相等，都是 3 厘米 师:你量了几条半径？生：我量了条。师：凭什么说半径长度都相等。生:我们可以通过测量半径是 3 厘米,而刚才的游戏规则就是要求每个点到到圆心的距离是 3 厘米。生：我还可以用圆规来量（用圆规在圆上走一圈）,两脚的距离没有变,所以说半径都相等.师:掌声还在等什么？（众生鼓掌）师：现在我们已经研究了半径的特征,现在可否想象一下直径有多少条，长度都相等吗？生:直径也有无数条，长度都相等。5/9 师：直径有无数条，我们可以借助半径有无数条类比推理。那么直径长度都相等，你是怎么知道的呢？生：可以借助测量半径的经验，测的所有直径的长度都是厘米。生:还可以看出直径是半径的两倍，半径都相等，直径肯定都相等。师：直径是半径的 2 倍，你是怎么知道的？生:直径可以分成 2 条半径呀？师：真不错，半径和直径的关系的秘密竟一眼被你看出来了.不过呆会儿我们还要用多种方法来证明。(半径与直径的辨析练习.教师适时点出圆内、圆外、圆上等名词)师:拿出圆形纸片,怎样可以找到圆心的位置?(学生操作，指导）师:这个同学用眼自信的找到了圆心，你们觉得对吗？生：一看就知道圆心位置找偏了。师：那该用什么方法来确定圆心的位置？生：对折再对折的方法可以找到圆心。师：所以我们还需要用更方便、更科学的方法寻找圆心。师:同桌合作，通过折一折、量一量、比一比的方法研究圆的半径与直径的关系？并说明你是用什么方法来证明？生：我是量一量的方法,半径是 3 厘米，直径 6 厘米,所以直径是半径的 2 倍。师：用测量法证明，直径是半径的 2 倍，还可以说半径是直径的二分之一。生:比一比的方法，一条直径可以看成条半径，所以直径是半径的 2 倍.6/9 师：用观察法证明,很不错。还有其他方法吗？生:我是用折一折的方法,对折以后有一条直径,再对折变成了条半径，所以直径是半径的 2 倍。师：太了不起了，如此抽象的数学知识,在你们的手里竟如此简单地迎刃而解了。师：难道圆规仅仅只能画半径是 3 厘米的圆吗？我想画的更大些，怎么办?生:圆规的两角距离拉大。拉到 4 厘米.(师画了一个同心圆)师:还能再大吗?(能)能比 3 厘米小一些吗？(能）师：什么决定了圆的大小?（半径)师：这两个圆虽然大小不同,什么是相同的？（指出数学上称为同心圆）师：刚才得出结论半径都相等，这两条半径相等吗？（不相等）看来刚才的结论还需要增加一个条件。(同圆、等圆内)。师：我想到其他的位置画圆，该怎么办？是什么决定圆的位置？(圆心)四、巩固拓展 师：周髀算经里有这么一句话“圆出于方，方出于矩”，所谓“圆出于方就是说最初的圆并不是由圆规画成的，而是由正方形不断的切割而成的.如果告诉你正方形的边长是 10 厘米，你能知道圆的半径与直径吗？生：半径是 5 厘米，直径厘米。师:到现在美术老师还会用这种方法教我们画圆。其实关于对圆的研究,何止只有一部周髀算经呢？二千多年前，我国古代思想家墨子就提出：圆,一中同长也。你知道一中什么意思？（一个圆心）同长呢？（半径同样长，直径同样长）这个发现比西方整整早了 10多年。你们感到自豪吗?7/9 师:体育老师想在操场上画一个比较大的圆，难道还用圆规？生：画个正方形，再切割成圆。师：活学活用呀,不过太麻烦了。生:用绳子固定在圆心。另一边旋转就可以画圆了 师：老师就准备了这样的钉绳工具，你们俩上来画一个圆，好吗？(生画圆）师:这些方法与圆规画圆的方法有什么共同的地方？生:圆心固定不动。有一个固定长度,不能发生改变。师：真是了不起，“没有圆规，也成方圆。师:自行车轮子为什么选用圆形，而不选用三角形与正方形？生：用圆形没有阻力，三角形与正方形有棱有角的,不好滚.师:难道用圆形做轮子就可以吗?（课件演示车轴在圆心和不在圆心的两种情况)生：车轴应该安在圆心,这样所有的半径都相等,车子就会平稳。师:原来车轮里也蕴含了数学知识。巧妙地利用了同一个圆里所有半径都相等这一特征，所以车子跑起来又快又稳。五、课堂总结(略）【自我反思】整堂课以围绕感知、体验和深化圆的本质属性的学习框架而展开.游戏环节以初步感知圆是到定点距离等于定长的点的集合;画圆环节以体验圆是确定固定长度（半径）围绕固定点（圆心)旋转一周形成的封闭图形;练习环节在多样的画圆方法中,提炼出画圆的共同点,深刻理解圆的本质属性。我引领学生用8/9“点的轨迹”思想学习圆的本质属性，得到了成功的尝试，总结起来有以下几点体会：一、返朴归真-用数学的本质魅力来吸引学生 创设情境有利于调动学生的学习兴趣与欲望，但最终能够真正持久地吸引学生的是数学的本质魅力,它才是维系学生不懈学习数学的源泉.课堂上我没有创设情境，但学生在学习活动中投入了极大的热情，这股热情源于学生对数学本身魅力的吸引,源于对数学思考的挑战,源于对数学真理的追求.为什么“在白纸画一个点，然后再画一些点，要求到第一个点的距离都是厘米.”形成的图形会接近于圆形?而当有无数个这样的点就会形成一个圆形,究竟里面隐藏着怎样的奥秘？是数学的本身魅力吸引着学生。更重要的是，利用这样一个画点平台，用圆规将它补充成一个圆的时候，半径与直径的特征就在潜移默化中悄悄解决了。“为什么圆有无数条半径？”“因为圆上有无数个点，都可以连接圆心成为半径,所以有无数条半径。”“为什么所有的半径的长度都相等?“我们刚才的游戏就是要求每个点到到圆心的距离是厘米。”“我还可以用圆规在圆上走一圈,两脚的距离没有变，所以说半径都相等.”看似非常简单的画点游戏,却蕴含了深刻的哲理圆的本质属性：圆就是平面内到定点距离相等的点的集合。二、数学思考有效操作最终为思维的深刻性服务 数学课堂中，数学操作有利于学生数学的思考，但是操作仅仅是作为学习的手段，把它作为“拐杖，最终实现操作活动数学化.按照皮亚杰的观点,在操作活动数学化的过程要让学生积累丰富的感性经验，再在这个基础上作反省抽象,从而认识概念的本质内涵。所以教师要引导边操作、边思考，逐渐在头脑中建立一定的数学模型，最终使他们能够脱离操作进行数学的思考,实现知识的建构.圆的半径有无数条这一特征，假如想利用操作理解这一特征实在很抽象,但是借助画点这一有效操作手段建立一个认知经验，再通过有效操作后的合理想象,比较容易得出圆有无数条半径,以此类推出圆的直径有无数条也是水到渠成。同时在解决半径与直径之间的关系时,通过测量法、观察法、折叠法来学习数学时,9/9 我们在操作时只研究了一条直径与对应的两条半径存在的倍数关系，但是借助不断的想象与推理，以此类推：任何一条直径都有与之相对应的两条半径,最终得出一条直径等于两条半径。可以说,此时的操作并不是主要学习的手段,反而数学的思考想象、推理成为学习圆的特征主要学习方式。这些有价值的数学思维，随着学生年龄的增长，越来越显现出其重要的地位与作用。三、文化底蕴数学学习过程中实现数学知识与数学文化有机融合 数学史料是不仅仅只作为课堂教学的一种点缀，更重要的是通过学习内容的融合中品味其中的含义,用于巩固、深化和拓展对圆的知识。课始,在简单而抽象的圆中展开想象：圆让你联想到生活中的什么物体，老师适时地呈现收集到的精美图片,然后引用古希腊数学家的一句话:“在一切平面图形中,圆是最美的。”有了这样的一种亲身体验美的过程，对圆的思考与研究就添加了有效的催化剂。周髀算经关于圆的记载:圆出于方，方出于矩.最初画圆并不是由用圆规画的,而是由正方形不断的切割而成的。事实上,这种方法至今仍在沿用，美术老师还会用这种方法教我们画圆，进一步思考，如果正方形的边长是厘米，你能想到圆的直径与半径的长度吗？在默默学习古人画圆方法的过程中,体会到原来自己美术课上画圆的方法也有这样一段美丽的典故呢？数学文化正悄悄滋润着每位学生的心田。其实古人关于圆的研究，又何止一部周髀算经呢?二千多年前，我国古代思想家墨子就提出：圆，一中同长也。请你运用所学知识解释墨子研究的成果.练习设计一个数学文化渗透,一个技能练习(求半径和直径），一个用圆的知识解决生活中的问题(且落实了画圆的技能）,一个是分析生活中的现象.在落实知识与技能的同时，学会用数学的眼光分析生活问题,学习有价值的数学,精彩地演绎着数学文化.在不断学习与深化的过程中，始终有伟人与史料做伴,数学文化使得数学课堂变得丰满而圆润。