圆的证明与计算(精编版).pdf

-!圆的证明与计算专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的 发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。圆的有关证明 一、圆中的重要定理：(1)圆的定义：主要是用来证明四点共圆(2)垂径定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等(3)三者之间的关系定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等(4)圆周角性质定理及其推轮：主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等 (5)切线的性质定理：主要是用来证明一一垂直关系.(6)切线的判定定理：主要是用来证明直线是圆的切线 (7)切线长定理：线段相等、垂直关系、角相等 2.圆中几个关键元素之间的相互转化：弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等 来互相转化这在圆中的证明和计算中经常用到 二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现，第 1 问主要是判定切线；第 2 问主要是与圆有关的计算：求线段长(或面积)；求线段比；求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。知识点一：判定切线的方法：(1)若切点明确，则连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)；直 线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善 于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线 例：方法一：若直线 I 过O O 上某一点 A，证明 I 是O O 的切线，只需连 0A，证明 0A 丄 I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 例 1 如图，在 ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 0 交 BC 于 D，交 AC 于 E,B 为切点的切线交 0D 延长线于 F.求证：EF 与O 0 相切.-!例 2 如图，AD 是/BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与O O 相切.证明一：作直径 AE，连结 EC./AD 是/BAC 的平分线，/DAB=/DAC./PA=PD,/2=Z 1+/DAC./2=Z B+/DAB,/仁/B.又/B=/E,/仁/E/AE 是O O 的直径，AC 丄 EC,/E+/EAC=90./1+/EAC=90.即 OA 丄 PA.PA 与O O 相切.证明二：延长 AD 交O O 于 E,连结 OA,OE./AD 是/BAC 的平分线，BE=C,-OE 丄 BC./E+/BDE=90./OA=OE,/E=/1./PA=PD,/PAD=/PDA.又/PDA=/BDE,/1+/PAD=90 0 即 OA 丄 PA.PA 与O O 相切-!说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 2-!例 3 如图，AB=AC,AB 是O O 的直径，O O 交 BC 于 D,DM 丄 AC 于 M 求证：DM 与O O 相切.例 4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/CAB=30,BD=OB,D 在 AB 的延长线上.求证：DC 是O O 的切线 例 5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄 AB，且 OA2=OD OP.求证：PC 是O O 的切线.-!例 6 如图，ABCD 是正方形，G 是 BC 延长线上一点，AG 交BD 于E,交CD 于 F.求证：CE 与厶 CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出 CFG 的外接圆，但 CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取 FG 的中点 0,连结 0C,证明 CE 丄 OC 即可得解.证明：取 FG 中点 0,连结 0C.T ABCD 是正方形，BC 丄 CD,CFG 是 Rt/0 是 FG 的中点，0 是 Rt CFG 的外心./0C=0G,/3=/G,/AD/BC,/G=/4./AD=CD,DE=DE,/ADE=/CDE=45,ADE CDE(SAS)4=/1,Z 1=/3./2+/3=90,/1+/2=90.即 CE 丄 OC.CE 与厶 CFG 的外接圆相切 方法二：若直线 I 与O 0 没有已知的公共点，又要证明 I 是O 0的切线，只需作 0A 丄 I,A 为垂足，证明 0A 是O 0 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”（一般用于函数与几何-!综合题）例 1:如图，AB=AC,D 为 BC 中点，O D 与 AB 切于 E 点.求证：AC 与O D 相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE 的，证明二 是利用角平分线的性质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有 -!例 2:已知：如图，AC,BD 与O O 切于 A、B，且 AC/BD，若/COD=9O0.求证：CD 是O O 的切线.证明一：连结OA,OB，作 OE 丄 CD,E 为垂足.AC,BD 与O O 相切,AC 丄 OA,BD 丄 OB./AC/BD,/1+/2+/3+/4=180./COD=90,/2+/3=90,/1+/4=90./4+/5=900./1=/5.RtA AOC s Rt BDO.AC OC OB OD./OA=OB,AC OC OA OD.又/CAO=/COD=900,AOC ODC,/1=/2.又 OA 丄 AC,OE 丄 CD,OE=OA.E 点在O O 上.CD 是O O 的切线.证明二：连结 OA,OB，作 OE 丄 CD 于 E,延长 DO 交 CA 延长线于 F.3 O，-!AC,BD 与O O 相切，AC 丄 OA,BD 丄 OB./AC/BD,/F=/BDO.又 OA=OB,AOF 也厶 BOD(AAS)-!OF=OD./COD=90,CF=CD，/1=/2.又 OA 丄 AC,OE 丄 CD,OE=OA.E 点在O O 上.CD 是O O 的切线.证明三：连结 AO 并延长，作 OE 丄 CD 于 E,取 CD 中点 F,连结 OF.AC 与O O 相切，AC 丄 AO./AC/BD,AO 丄 BD.BD 与O O 相切于 B,AO 的延长线必经过点 B.AB 是O O 的直径./AC/BD,OA=OB,CF=DF,OF/AC,/1=/COF./COD=9O,CF=DF,1 OF CD CF.2 /2=/COF./1=/2./OA 丄 AC,OE 丄 CD,OE=OA.E 点在O O 上.CD 是O O 的切线 说明：证明一是利用相似三角形证明/1=/2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明-!/仁/2证明三是利用梯形的性质证明/1=/2，这种方法必需先证明 A、O、B 三点共线.-!课后练习:(1)如图，AB 是O O 的直径，BC 丄 AB,AD/OC 交O O 于 D 点，求证：CD 为O O 的切线;(2)如图，以 RtA ABC 的直角边 AB 为直径作O 0,交斜边 AC 于 D，点 E 为 BC 的中 (3)如图，以等腰厶 ABC 的一腰为直径作O 0,交底边 BC 于 D，交另一腰于 F，若 DE 丄 AC 于 E(或 E 为 CF 中点)，求证：DE 是O 0 的切线.A(4)如图，AB 是O 0 的直径，AE 平分/BAF，交O 0 于点 E，过点 E 作直线 ED 丄 AF，交 点，连结 DE，求证：DE 是O 0 的切线.E B-!AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C,求证:CD 是O 0 的切线.-!知识点二：与圆有关的计算 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识 的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线 段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求 线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：(1)构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段(已知 任意两条线段可求其它所有线段长)；射影定理：所谓射影，就是正投影。其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这 点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这 条线段在这直线上的正投影。由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每 一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式 Rt ABC 中,/BAC=90 ,AD 是斜边 BC 上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)1 2;=BD DC,(AB)2;=BD BC,(AC)2;=CD BC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)ED C 构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型(已知线段长度)；构造三角函数(已知有角度的情况)；找不到，找相似(2)方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相 等关系建立方程，解决问题。(3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，的数量关系。把问题分解为若干基本图 进而找出隐藏的线段之间 典型基本图型:1 在“AC 平分/BAE”；“AD 丄 CD”；2 如图 2、3,DE 等于弓形 BCE 的高;图形1:如图 1:AB 是O O 的直径，点 E、C 是O O 上的两点，基本结论有:-!“DC 是O O 的切线”三个论断中，知二推一。DC=AE 的弦心距 OF(或弓形图1 图2 图 3 BCE 的半弦 EF)。B 图 4-!知一推三。(3)如图(4):若 CK 丄 AB 于 K，则：1 CK=CD;BK=DE;CK=BE=DC;AE+AB=2BK=2AD;2 ADC s ACB AC2=AD?AB(4)在(1)中的条件、中任选两个条件，当 BG 丄 CD 于E 时(如图 5),则：DE=GB:DC=CG:AD+BG=AB;图形 2:如图：RtABC 中，/ACB=90。点 于点 E,基本结论有：1 2 AD?BG=DG 4 O 是 AC 上一点，D 以 OC 为半径作O O 交 AC A“BD=BC”。四个论断中,(1)在“BO 平分/CBA”;“BO/DE”;“AB 是O O 的切线”(2)G 是BCD 的内心；CG=GD；BCOs CDE BO?DE=CO?CE=-CE2；2(3)在图(1)中的线段 BC、(4)如图(3),若 BC=CE,CE、AE、AD 中，知二求四。AE 1 贝 V：=tanZ ADE:BC:AC：AB=3：4:5;(在 AD 2 、中知一推二)设 BE、CD 交于点 H,则 BH=2EH 图形3：如图：Rt ABC 中，Z ABC=90，以 AB 为直径作O O 交 AC 于 D,基本结论有:如右图：(1)DE 切O O E 是 BC 的中点；(2)若 DE 切O O,则：DE=BE=CE；D、O、B、E 四点共圆 Z CED=2 Z A CD-CA=4BE 2,差竺匣 R BD BA 图形特殊化：在(1)的条件下 如图 1:DE/AB 如图 2:若 ABC、CDE 是等腰直角三角形;DE 的延长线交 AB 的延长线于点 F,若 AB=BF DE EF C E B，C-!(1)如图 1:AD+BC=CD;/COD=Z AEB=90;0D 平分/ADC(或 0C 平 分/BCD);(注：在、及CD 是O0 的切线”四个论断中，知一推三)1 AD-BC=AB2=R2;4(2)如图 2，连 AE、C0,则有：C0/AE,C0?AE=2R2(与基本图形 2 重合)(3)如图 3，若 EF 丄 AB 于 F，交 AC 于 G,则：EG=FG.图形6：如图：直线 PR 丄O 0 的半径 0B 于 E,PQ 切O 0 于 Q,BQ 交直线 PQ 于 R。基本结论有：(1)PQ=PR(“PQR 是等腰三角形)；(2)在“PR 丄 0B”、“PQ 切O 0”、“PQ=PR”中，知二推一(3)2PRRE=BR RQ=BE 2R=AB2 图形7：如图，ABC 内接于O 0,I ABC 的内心。基本结论有:(1)如图 1,BD=CD=ID:DI2=DE-DA;1/AIB=90 +/ACB;2(2)如图 2,若/BAC=60，则：BD+CE=BC.图形4：如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O 0,交 BC 于点 D，交 AC 于点 F,基本结论有：(1)DE 丄 AC DE 切 O O;(2)在 DE 丄 AC 或 DE 切O 0 下，有：DFC 是等腰三角形；EF=EC:D 是BF 的中点。与 基本图形 1 的结论重合。连AD，产生母子三角形。图形5：:以直角梯形 ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于 E,基本结论有 B 图1 图1 图2-!图形8：已知，AB 是O O 的直径，C 是 中点，于 E、F。基本结论有：1(1)CD=BG;BE=EF=CE;GF=2DE 2(反之，由C&1BG或 BE=EF可得：C是BG中点)2 1(2)OE=AF,OE/AC;ODE s AGF 2(3)BE-BG=BD BA(4)若 D 是 OB 的中点，则：CEF 是等边三角形;范例讲解:例题 1：ABP中，/ABf=90,以AB为直径作O O交AP于C点，弧CF=CB，过C作AF 的垂线，垂足为 M MC的延长线交 BP于D.(1)求证：CD为O O的切线；(2)连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求雯的值。AF 例题 2:直角梯形 ABCDK/BCD90,AB=AD+BCAB为直径的圆交 BC于 E,连OC BD 交于F.求证：C为O O的切线 CD 丄 AB 于 D。BG 交 CD、AC 若 BE AB 3，求B匚的值 5 DF 例题 3:如图，AB为直径，PB为切线，点C在O O上,AC/OP(1)求证：PC为O O的切线。(2)过D点作DEL AB E 为垂足，连 AD交BC于G,C(=3,DE=4,求匹的值。DB B-!2.如图，AB 为O O 的直径，C、D 为O O 上的两点，AD=DC，过 D 作直线 BC 的垂 线交直线 AB 于点 E,F 为垂足.(1)求证：EF 为O O 的切线；(2)若 AC=6,BD=5，求 sin E 的值.例题 4(2009 调考)：如图，已知 ABC中，以边BC为直径的O O与边AB交于点D,点E为 的中点，ABC的角平分线，且 AF丄EC(1)求证：AC与O O相切；(2)若 AC=6,BC=8,求 EC的长 家庭练习：1.如图，RtA ABC,以 AB 为直径作O O 交 AC 于点 D,F为垂足.(1)求证：DF 为O O 的切线；(2)若 DF=3,O O 的半径为 5，求tan BAC的值.BD=DE,过 D 作 AE 的垂线,C-!3.如图，AB 为O O 的直径，半径 0C 丄 AB,D 为 AB 延长线上一点，过 D 作O O 的切 线，E 为切点，连结 CE 交 AB 于点 F.(1)求证：DE=DF；5.如图，等腰 ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O O 交 BC 于点 D,DE 丄 AC 于 E.(1)求证：DE 为O O 的切线；(2)若 BC=4.5,AE=1，求 cos AEO 的值.(2)连结 AE，若 0F=1,BF=3，求 tan A 的值.4.如图，Rt ABC 中，/点作O O,O O 交 AB 于点一点(1)求证：O 0 与 AC 相切;(2)若 EF=3,C=90 BD 平分/ABC,E,EF 丄 AC 于点 F.以 AB 上一点 0 为圆心过 B、D 两 BC=4，求 tan A 的值.D E-!6.如图，BD 为O O 的直径，A 为BC 的中点，AD 交 BC 于点 E,F 为 BC 延长线上 一点，且 FD=FE.(1)求证：DF 为O O 的切线；(2)若 AE=2,DE=4,BDF 的面积为 8 3，求 tan EDF 的值 (1)求证：CF 是O O 的切线；(2)设O O 的半径为 1,且 AC=CE、一 3，求AM的长.8、如图，AB 是O O 的直径，BC 丄 AB,过点 C 作O O 的切线 CE,点 D 是 CE 延长线 上一点，连结 AD，且 AD+BC=CD.(1)求证：AD 是O O 的切线；(2)设 0E 交 AC 于 F，若 0F=3，EF=2，求线段 BC 的长 7、如图，AB 是O O 的直径，M 是线段 交 BC的延长线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N,F,且/ECF=Z E.F B B-!9、如图，ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的O O 交 AC 于点 D，且 CD=BD.(1)求证：BC 是O O 的切线；(2)已知点 M、N 分别是 AD、CD 的中点，BM 延长线交O O 于 E,EF/AC,分别交 BD、BN 的延长线于 H、F，若 DH=2，求 EF 的长.11、如图，ABC 中，AB=AC,以 AC 为直径的O O 与 AB 相交于点 E,点 F 是 BE 的 中占 I 八、(1)求证：DF 是O O 的切线.(2)若 AE=14,BC=12,求 BF 的长 A 10、如图，AB 是半O O 上的直径，E 是 BC 的中点,AD 的平行线交 OE 的延长线于点 F./ADO=/B.(1)求证：CF 为O O 的O O 切线；(2)求 sin/BAD 的值.OE 交弦 BC 于点 D,过点 C 作交