全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全.pdf

全全等等三三角角形形辅辅助助线线系系列列之之三三-截截长长补补短短类类辅辅助助线线作作法法大大全全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1全等三角形辅助线系列之三全等三角形辅助线系列之三与截长补短有关的辅助线作法大全与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目典型例题精讲典型例题精讲【例1】如图，在ABC中，BAC 60，AD是BAC的平分线，且AC AB BD，求ABC的度数【解析】法一：如图所示，延长AB至E使BE BD，连接ED、EC由AC AB BD知AE AC，而BAC 60，则AEC为等边三角形注意到EAD CAD，AD AD，AE AC，故AEDACD.从而有DE DC，DEC DCE，故BED BDE DCE DEC 2DEC.所以DEC DCE 20，ABC BEC BCE 60 20 80.法二：在AC上取点E，使得AE AB，则由题意可知CE BD.在ABD和AED中，AB AE，BADEAD，AD AD，则ABDAED，从而BD DE，进而有DE CE，ECD EDC，AED ECD EDC 2ECD.注意到ABDAED，则：13ABC ACB ABC ABC ABC 180BAC 120，22故ABC 80.【答案】见解析2断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明A【例2】已知ABC中，A 60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判EODBC【解析】BE CD BC，理由是：在BC上截取BF BE，连结OF，利用SAS证得BEOBFO，12，12ADOE 180，AEO ADO 180，1 3180，24 180，12，3 4，利用AAS证得CDOCFO，CD CF，BC BF CF BE CDA 60，BOC 90A 120，DOE 120，【答案】见解析AE1O423FDBC别是BAC、ABC的角平分线，求证：BQ AQ AB BP【例3】如图，已知在ABC内，BAC 60，C 40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分3ABQPC【解析】延长AB至D，使BD BP，连DP在等腰BPD中，可得BDP 40，从而BDP 40 ACP，ADPACP（ASA），故AD AC又QBC 40 QCB，故BQ QC，BD BP从而BQ AQ AB BP【答案】见解析【例4】如图，在四边形ABCD中，BC BA，AD CD，BD平分ABC，求证：AC 180ADBC【解析】延长BA至F，使BF BC，连FDBDFBDC（SAS），故DFB DCB，FD DC又AD CD，故在等腰BFD中，DFBDAF故有BAD BCD 180【答案】见解析求证：MN MB NC【例5】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD DC，BDC 120，MDN 60，4ANMBCB1DM【解析】延长NC至E，使得CE MBBDC是等腰三角形，且BDC 120，DBC DCB 30ABC是等边三角形ABC ACB BAC 60MBD ABC DBC ACB DCB DCN DCE 90在DBM和DCE中，BD DC，MB CE，DBMDCE.DE DM,12.又1NDC 60，2+NDC END 60.在MDN与EDN中，ND ND，MDN EDN 60，DE DMMNDENDMN EN NC MB【答案】见解析ANMB1D2CE【例6】如图在ABC中，AB AC，12，P为AD上任意一点，求证：AB AC PB PCA12PBDC【解析】延长AC至F，使AF AB，连 PDABPAFP（SAS）故BP PF由三角形性质知5PB PC PF PC CF AF AC AB AC【答案】见解析【例7】如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上求证：BC AB DCBAECD【解析】在BC上截取BF AB，连接EFBE平分ABC，ABEFBE又BE BE，ABEFBE（SAS），ABFEABAD 180 BFE CFE 180 D CFE DCE FCE CE CE CD CFBC BF CF AB CDMABCDABMN DM ABC NMDMNDCDCNNAMBEAMBEDM MNAD上截取AG AM，DG MB，AGM 45DGM MBN 135，ADM NMB，DGM MBN，DM MN【答案】见解析【例8】已知：如图，ABCD是正方形，FADFAE，求证：BE DF AEADADFBCFCEMBE6【解析】延长CB至M，使得BM DF，连接AM.AB AD，ADCD，ABBM，BM DFABMADFAFDAMB，DAF BAMABCDAFDBAF EAF BAE BAEBAM EAMAMBEAM，AE EM BE BM BE DF【答案】见解析【例9】如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE 2DAM求证：AE BC CEADMEBC【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等我们用(1)法来证明【答案】延长AB到F，使BF CE，则由正方形性质知AF AB BF BC CE下面我们利用全等三角形来证明AE AF为此，连接EF交边BC于G由于对顶角BGF CGE，所以RtBGF CGEAAS，12于是RtABGRtADMSAS，从而BG GC BC，FG EG，BG DM12所以BAG DAM BAE EAG，AG是EAF的平分线ADHBFMEGCCDE【例10】五边形ABCDE中，AB AE，BC DE CD，ABC AED 180，求证：AD平分7ABECD【解析】延长DE至F，使得EF BC，连接AC.ABC AED 180，AEF AED 180，ABC AEFAB AE，BC EF，ABCAEFEF BC，AC AFBC DE CD，CD DE EF DFADCADF，ADC ADF即AD平分CDE.【答案】见解析AFBECD点【例11】若P为ABC所在平面上一点，且APB BPC CPA120，则点P叫做ABC的费马（1）若点P为锐角ABC的费马点，且ABC 60，PA3，PC 4，则PB的值为_；（2）如图，在锐角ABC外侧作等边ACB，连结BB求证：BB过ABC的费马点P，且BB PA PB PCABBC【解析】（1）2 3（2）证明：在BB上取点P，使BPC 120，连结AP，再在PB上截取PE PC，连结CEBPC 120，EPC 60，PCE为正三角形，PC CE，PCE 60，CEB 120，ACB为正三角形，AC B C，ACB 60，PCAACE ACE ECB，60，PCA ECBACPB，CE，APC B CE 120，PA EBAPB APC BPC 120，8P为ABC的费马点，BB过ABC的费马点P，且BB EB PB PE PA PB PC【答案】见解析AEPBBC9课后复习【作业1】已知，AD平分BAC，AC AB BD，求证：B 2CABDC【解析】延长AB至点E，使AE AC，连接DEAD平分BAC，EAD CADAE AC，AD AD，AEDACD（SAS），E CAC AB BD，AE AB BDAE AB BE，BD BE，BDEEABC E BDE，ABC 2E，ABC 2C【答案】见解析ABDCE【作业2】如图，ABC中，AB 2AC，AD平分BAC，且AD BD，求证：CDACACBD【解析】在AB上取中点F，连接FD则ADB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知DFAB，故AFD 90ADFADC（SAS）ACD AFD 90，即：CDAC【答案】见解析10【作业3】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长【解析】如图所示，延长AC到E使CE BM.在BDM与CDE中，因为BD CD，MBD ECD 90，BM CE，所以BDM CDE，故MD ED.因为BDC 120，MDN 60，所以BDM NDC 60.又因为BDM CDE，所以MDN EDN 60.在MND与END中，DN DN，MDN EDN 60，DM DE，所以MNDEND，则NE MN，所以AMN的周长为2.【答案】见解析【作业4】已知：AC平分BAD，CEAB，B D 180，求证：AE AD BECDAEB【解析】在AE上取F，使EF EB，连接CFCEAB11CEB CEF 90EB EF，CE CE，CEBCEFB CFEBD 180，CFE CFA 180D CFAAC平分BADDAC FACAC ACADCAFC（SAS）AD AFAE AF FE AD BE12【答案】见解析