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复变函数教学大纲Revised on November 25,2020复变函数教学大纲课程名称：课程名称：复变函数课程编码：课程编码：英文名称：英文名称：ComplexAnalysis学时：学时：48 学分：学分：3适用专业：适用专业：信息与计算科学课程类别：课程类别：任选课程性质：课程性质：学科基础课先修课程：先修课程：数学分析高等代数空间解析几何教材：教材：复变函数论（钟玉泉第三版高等教育出版社）一、课程性质与任务一、课程性质与任务复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在 19 世纪，Cauchy、Weierstrass 及 Riemann 等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，它不仅在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析）有着广泛应用，而且还被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论课程是信息与计算科学专业的一门重要必修基础课。开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的分析问题、解决实际问题的能力。二、课程教学的基本要求二、课程教学的基本要求复变函数论作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。本课程主要包括：复数与复变函数、解析函数柯西黎曼定理、复变函数的积分柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式、级数泰勒级数与洛朗级数、应用留数计算及其应用。教学要求层次：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。在复变函数论的学习过程中，使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高，同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。三、课程内容及教学要求三、课程内容及教学要求第一章复数与复变函数第一章复数与复变函数教学基本内容：1.复数发展史略；2.复数定义及运算：复数的定义、相等及运算，复数的代数式，复数的模与辐角，共轭复数；3.复平面与复球面：复平面，复数的向量式、三角式与指数式，复数的乘幂与 n 次方根，无穷远点与复球面；4.复数的应用举例；5.平面点集：邻域，聚点，孤立点，内点，外点，边界点，边界，开集，闭集，有界集，曲线（连续曲线，简单曲线，简单闭曲线，光滑曲线，逐段光滑曲线），区域，闭区域，单连通区域，复连通区域，几个重要定理（闭矩形套定理，有限覆盖定理，聚点原理），无穷远点的邻域；6.复变函数，极限，连续：复变函数（单值函数，多值函数，单叶函数，反函数，无界函数），极限，有界数列，无界数列，几个定理（柯西收敛准则等），复变函数的连续性，复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系。重点：1复数及其运算；2复平面，复数的模与辐角；3复平面上的点集，区域；4无穷远点与扩充复平面；5复变数函数，极限与连续概念。难点：复数的球面表示及无穷远点的概念的理解。本章节主要教学要求：了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数的运算；知道无穷远点邻域；了解单连通区域与复连通区域；理解复变函数、极限与连续。第二章解析函数第二章解析函数教学基本内容：1复变函数的导数定义；2解析函数的概念及基本性质；3解析函数的求导公式与求导法则；4柯西黎曼条件（.条件）；5指数函数；6多值函数导引：辐角函数；7、对数函数；8幂函数；9三角函数。重点：1.解析函数定义；2.解析函数的充分必要条件及柯西黎曼条件所揭示的解析函数的特征；3初等函数概念与性质。难点：1已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数、支点。本章节主要教学要求：复变函数的概念，能把复变函数理解为两个复平面集合间的映射，能把一个复变函数看成两个实的二元函数；能精确的叙述复变函数的极限概念，并直观的理解起意义；掌握复变函数的连续性概念和基本性质；理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系；熟练掌握解析函数的.条件；能运用.条件判定函数的解析性；熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式；熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义、基本性质和简单映射性质，并会运用欧拉公式和复数的指数表示；掌握各初等多值函数的定义和基本性质，了解其多值性。第三章复变函数积分第三章复变函数积分教学基本内容：1复变函数积分的定义及基本性质；2单连通区域内的柯西积分定理；3不定积分概念；4多连通区域内的柯西积分定理；5柯西积分公式，高阶导数公式；6平均值公式，最大模原理；7柯西不等式，刘维尔定理，代数基本定理的证明，摩勒拉定理。重点：1柯西积分定理；2柯西积分公式；3高阶导数公式。难点：1计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。本章节主要教学要求：掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义，基本性质和计算方法，及其与实函数积分的关系；熟练掌握柯西积分定理，能证明柯西积分定理；理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念；熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式；掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能应用它们做一些较简单的证明题，了解摩勒拉定理。第四章解析函数的幂级数表示法第四章解析函数的幂级数表示法数学基本内容：1复数项级数、序列，柯西收敛准则；2复函数项级数，一致收敛及其判别准则，维尔斯特拉斯定理；3幂级数的收敛圆，收敛半径公式，幂级数在收敛圆内表示解析函数；4解析函数在一点邻域内展开成泰勒级数，展开式的唯一性、系数公式，初等函数的泰勒展开；5解析函数零点的孤立性，唯一性定理。重点：1.幂级数的收敛圆及收敛半径的求法；2.将函数在一点展成幂级数的方法；3.解析函数的唯一性定理。难点：1利用级数乘法将函数在指定点展成泰勒级数。本章节主要教学要求：理解复数项级数的基本概念，掌握一致收敛性的判别法；掌握幂级数的基本性质和求收敛半径的公式，理解幂级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性；牢记 ez,In(1+z),sinz,cosz 和(1+z)a的幂级数展开式，并能熟练的运用；掌握解析函数零点的孤立性定理和唯一的定理。第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点教学基本内容：1洛朗级数的定理与收敛域，内闭一致收敛性，所定义函数的解析性；2解析函数洛朗展开式的系数公式、收敛域；3解析函数的孤立奇点（包括无穷远点）的分类，三类奇点的特征与性质；4整函数与亚纯函数的概念。重点：1.将函数展成洛朗级数的方法；2.识别孤立奇点类别的方法；3.解析函数在其孤立奇点的去心邻域内的性质。难点：1.孤立奇点类别的识别；2.将在其孤立奇点展成洛朗级数。本章节主要教学要求：理解洛朗级数的概念，会求出一些简单的洛朗级数的收敛域；能熟练的求出一些较简单函数的洛朗展开式；掌握解析函数奇点的三种类型及其特征与性质，了解解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念。第六章留数理论及其应用第六章留数理论及其应用教学基本内容：1留数的定义及计算方式，在无穷远点的留数；2留数定理；3利用留数定理计算实积分；重点：1.计算留数的方法；2.留数基本定理。难点：1函数在无穷远点处留数的计算。本章节主要教学要求：理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理，会用留数理论计算积分；知道利用留数定理计算实积分的一般方法，并能计算常见的三种类型的实积分。三、课程学时分配三、课程学时分配讲课讲课内容学时实验学时（含各类实践教学活动）合计学时第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复函数积分第四章解析函数的幂级数表示法8681086810第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点第六章留数理论及其应用总计五、课程习题要求五、课程习题要求每章根据学生学习情况，留有一定数量的思考题供学生课后复习，巩固课堂教学效果，并进行讲评。六、考核方式六、考核方式以期末闭卷考试成绩为主，参考课堂提问、课堂讨论、实验、平时作业及出勤情况等，综合评定给出成绩。七、课程的主要参考书七、课程的主要参考书1、复变函数论钟玉泉编高等教育出版社2、复变函数余家荣编人民教育出版社884888483、复变函数引论NN普里瓦洛夫着人民教育出版社
