2024年圆锥曲线复习题解析版.docx
2024年高考圆锥曲线复习题1.已知双曲线C： W)2=2及直线/： y=k.x- 1.(1)若/与C有两个不同的交点，求实数人的取值范围.(2)若/与C交于4, B两点,且线段/1B中点的横坐标为一名 求线段人8的长.【分析】(1)联立双曲线C与直线/的方程，利用>()即可求出A的取值范围.(2)设A (xi, y)» B(X2, ”)，由(1)可知，利用中点坐标公式求出&的值，再利用弦长公式即可求出线段A8的长.解： 联立方程消去y可得：(1 - F)/+2丘-3=0, /与C有两个不同的交点， =4必+12 (1 -F) >0,解得：A2 V阻Fw|, 一苧 vk V乎且&W±I.(2)设 A (xi, yi), B(X2, >2)»7/, 由(1)可知，Xi + %2 = F， k-1又,居中点的横坐标为一系 Jk214rl )=-即 2必+3A - 2=0,k2-l3解得k= - 2或=I，又由(1)可知，为/与。有两个不同交点时，1V会:.k =习又 丁 1%-X2 = V(X1 + X2)2 - 4X1%2 = J(-4)2 +言 =生要，|明=4TP% -勺1 =当2【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，考查了弦长公式和中点坐标公式, 是中档题.2.设抛物线C： y2=2px (p>0)的焦点为E过点F的直线/i交抛物线C于A, B两点, 且|4阴=8,线段AB的中点到y轴的距离为3.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线/2与圆O： /+)2=劣切于点P,与抛物线C切于点Q,求FPQ的面积.【分析】(1)设人(xi> yi), B ()，2),利用抛物线的焦点弦长公式可得A5|=xi+x2+p =8, 乂中点坐标公式可得不+也=6,从而求出的值，得到抛物线C的方程.(2)设直线/2： y=kx+m,由/2与圆。相切可得2加2= 1+炉，联立直线力与抛物线。方 程，利用=()可得七”=1,进而求出?的值，得到点。的坐标，求出|PQ的长，再 由点到直线距离公式求出F到直线11的距离，从而求出FPQ的面积.解：(1)设A (刘，>1), B (m y2),则48的中点坐标为(当强，缙%,由题意知 =3, :. x +X2=6, 2又 V AB =xi+x2+p=8» * /?=2,抛物线C的方程为：)2=4x.(2)设直线/2： y=kx+m,由/2与圆0相切，得：* = 7粤亏，2y/1+k2:.2加2= +必，联立方程、2 4x m,消去 丁 得：(2A- 4) x+m2=O (*), 直线/2与抛物线C相切，= (2km - 4) 2-4炉机2=0, ：.km=l ，由得：k=m=±,方程(*)为：7-2x+i=o,解得x=1，：.Q (1, ±2),，|PQI= y/xQ2 + yQ2 -r2 = Jl + 4-1 =竽，此时直线，2的方程为y=x+l或y= r - 1,AF (1, 0)到直线12的距离为d= V2,:.S&pqf= PQ*d= 1 xx V2 =【点评】本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题.3.已知椭圆C： A" +专=L（I）宜线/过点。（I, 1）与椭圆。交于P, Q两点，若pb =访,求宜线/的方程； （2）在圆O： f+）2=2上取一点M,过点M作圆。的切线r与椭圆。交于A, 8两点， 求IMAMW的的值.【分析】（1）设 P （xi, y）, Q （%2, *）,由P。= DQ,可得用+也=2, y+y2=2,把 P, 。两点代入椭圆C的方程，结合作差法即可求得直线/的方程；（2）当切线/'斜率不存在时，不妨设厂的方程为x=&,求得A（V2, V2）, B（V2, 一或）,可得后 茄=0,即0A_L08.当切线/'斜率存在时，可设厂的方程为），二履+利， 由圆心到直线的距离等于半径可得，与大的关系，联立直线方程与椭圆方程，利用向量 数量积证明04_L0B.可得圆。上任意一点M处的切线交椭圆C于点A, B,都有OA 1OB.在 RlZOA8 中，由Q4M 与BOM 相似，即可求得|M4|MB| = QM2=2.解：（1）设尸（XI, .yi）, Q （x2» 户），,:D （1, 1）,且而=DQ, J （1 -xi, 1 -yi）=（应-1,1）,即:二;:=解得人”门=2,产+*=2.,:P，Q两点在椭圆C上，§- +与-=1,= 1,6363而沙如. 俎（必一切）（1+%2）（yi-y2）（yi+y2） milyi-y2i两式相减，得=,则=-»63xr-x22故直线/的方程为y-1= ，（x - I ）,即）=一/+ 2； 乙乙乙（2）当切线/斜率不存在时，不妨设厂的方程为x=&,由椭圆C的方程可知，A（V2, V2）, B（V2, -V2）,则& 茄=0, HP OA1OB.当切线/'斜率存在时，可设/'的方程为），=自+?，A（X3,2），B（X4, y4）,.*.-7= = V5,即 m2=2 （d+1）, vfcz + l联立/'和椭圆的方程，得（1+2正）/+4h心+2?2-6=0.则4= （4七）2-4 （1+2必）（2P-6） >0.4km2m2-6V OA OB =x3X4+y3y4=X3X4+ (ta+/»)(to+w)=(1 + k2>)x3x4 + km(x3 + 工4)+ 机 227n2-62必+127n2-62必+1+ km -4k7n 2k2+1+ m23m2-6/一6 = 3(2/+2)-6/-62k2+l2k2+l ：.OAA-OB.综上所述，圆。上任意一点M处的切线交椭圆。于点A, B,都有0AJ_08.在RtZSOAB中，由04M与BOM相似，得 |M川|M8| = |OMF = 2.【点评】本题考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档 题.
