2022-2023学年人教A版选择性必修第三册 7.4.2　超几何分布 学案.docx

超几何分布新课程标准新学法解读L理解超几何分布及其推导过程.2 .理解超几何分布与二项分布的 区别与联系.3 .掌握超几何分布的实际应用.1 .能运用超儿何分布解决一些实际问题.2 .借助超儿何分布解题，提高数学 运算的素养.课前篇咱主学习固基础笔记教材知识点超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有件次品.从N件产 品中随机抽取件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数， 则 X 的分布列为 P(X=Z)=， k=m, m+1, /n+2,，r.其中 n, N, MEN*, MWN, nWN, /n=max0, n-N+M, r = min小M,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随 机变量X服从超几何分布.记作X.特别地，如果X"(，M, M且+ M-NWO,则X能取所有不 大于厂的自然数，此时X的分布列如下表所示.X01 k rPCgMchc 猊!w c卡 C£/C册己 C%答案：c%W(n, M,AO重点理解1.超几何分布与二项分布的区别与联系超几何分布二项分布区别超几何分布是不放回 抽样，取出一个则总 体中就少一个，因此二项分布是有放回抽 样，每次抽取时的总 体没有改变，因此每每次取到某物的概率 是不同的次抽到某事物的概率 都是相同的，可以看 成是独立重复试验联系二项分布和超儿何分布都可以描述随机抽取 的件产品中次品数的分布规律，并且二者的 均值相同对于不放回抽样，当远远小于N时，每抽取 一次后，对N的影响很小，此口寸，超几何分布 可以用二项分布近似2.对超几何分布的三点说明(1)超几何分布的模型是不放回抽样.(2)超几何分布中的参数是小M, N.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、 同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成.3. P(X=k)=O等的推导从N件产品中任取n件产品的样本点有C、个；事件X=Z表示 “在含有M件次品的N件产品中，任取件，其中恰有攵件次品”， 则必有(一%)件正品，因此事件X=&中含有C4/C0W个样本点，由 古典概型概率计算公式可知尸(X=Z)=笔包.自我排查1. (2021天津实验中学滨海学校高二期中)在15个村庄中有7个 村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中 交通不方便的村庄数，则下列概率中等于爱的是()A. P(X=2)B. P(XW2)C. P(X=4)D. P(XW4)答案：C 解析：X服从超几何分布，P(X=k)= c. ,故 k=4.故选C.2. （2021.北京海淀区北理工附中高二月考）从一批含有13件正 品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出产品中无次品的 概率为（）A 22A-35r 。35答案：A 解析：依题意可知，产品总数为13 + 2=15件，由超 几何分布概率计算公式得取出产品中无次品的概率为读= 13X12X1112X11 2215义 14X 13=15X 14=行.故选 A，3. （2021河北石家庄正中实验中学高二月考）有10件产品，其中 3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则尸（X<2） 等于（）答案:D 解析：由题意可知，X服从超几何分布，P（X<2） = P（X 00 C? 14=1）+/=。）=玛+品=得故选口4. （2021江苏无锡立人高中高二期中）若一个随机变量的分布列 为 P（4=r）= "cj"其中-°，1，2，I，z=minn, M,则称 J 服从超几何分布，记为4”（，M, N）,并将%=） = 片记为 “（八 /?, M, 7V）,则“（1； 3,2,10）=.7答案：77 解析：根据题意，r=l, =3, M=2, N=10, X JC1C 7”(1; 3,2,10) =2(曰)=制=石.课堂篇.重点难点要突破研习1超几何分布概率公式的应用典例1袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相 同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1 分，从袋中任取4个球.(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率.思路点拨:写出X的 可能取值求出每个X 对应的概率解：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红解：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况, 的可能取值为567,8.得分分别为5分，6分，7分，8分，故XP(X=5) =P(X=5) =P(X=7) =CCj_ 4G -35,qc|_12 CT359P(X=6) =P(X=8) =cia_i8 CT359ci=j_ a-35,故得分X的分布列为X5678p43518351235135(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6) =12113P(X=7)+0(X=8)=行+行=行，巧归纳求超几何分布的分布列的步骤练习1在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖 券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值 10元的奖品，其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列.(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值为y元，求丫的分布列.解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只 有。和1两种情况.P(X-l)-c|o-lo-5，2 3则 P(X=0)=1-P(X= 1) = 1 一t=.因此中奖次数X的分布列为(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中 有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P=C1CA+C3cg 30 2Go45 3,p（y=o）=由题意可知，丫的所有可能取值为0,1020,50,60,且Cto -45-3'p（y=io）=ClCg 18 2'C?r_45-5,p(y=20)=p(y=50)=p(y=60)=qcg_ 3 _ i C45159CCL_ 6 _ 2 C45i59C|C|_ 3 _ 1 Cto _45_15*因此随机变量y的分布列为课后篇基础达标延伸阅读Y010205060P1 3251152151151. （2021江苏东台创新高级中学高二月考）某小组有5名男生、3 名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则c 15B-56D.|c 15B-56D.|P(X22) = ()A."c.1答案：C 解析：当X=2时，尸（X=2） =Cj 1当 x=3 时，P(x=3y.56 ' 56 T则 P(X>2) = P(X=2) + P(X=3) =故选C.2.现有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中 任取3个，出现二级品的概率为（）A clA-C?oc "Cl NoA clA-C?oc "Cl NoB.a+cg+cgD.C?oClCg+C汽品Cgo答案：C 解析：出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级 品的概率为肾，则出现二级品的概率为1 一色.故选C.3.(2021 江苏海头高级中学高二月考)设随机变量X"(3,2,15), 则 P(X=1)=.答案武解析：由于X符合超几何分布,所以p(x=i)=年等=1|.4. (2021 .湖南长沙高考模拟题)端午节吃粽子是我国的传统习 俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.(1)用j表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；(2)求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.解：(1)由题意可知4=0,12P(1)噜=/a尸畸H，个=2)噜弓所以4的分布列为g012p153515(2)选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有,1 4则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率课后自读方案误区警示混淆超几何分布与二项分布致错示例为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1 ：2：3,其中第二组的频数为12.频率 丽0.0370.013 -50 55 60 65 70 75体的公斤(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报 考飞行员的同学中(人数很多)任选三人，设X表示体重超过60公斤 的学生人数，求X的分布列和数学期望.错解由题知，体重在60公斤以下的有18人，在60公斤以上 的有30人，总人数为48.随机变量X服从超几何分布，X所有可能的 取值为(),1,2,3.则 P(X=() =C?8-do 1 015P(X=1) =P(X=2 尸P(X=3) =Cl8c0_3 915 典 一8 648CWo=2295Ch -8 648,G8do_ 51 Ch 1()8则£(X) = °X提+IX造+2X温+3X命=温错因分析(1)对随机变量的含义不清楚，不能区分超几何分布与 二项分布.(2)对于何时可以用样本的频率代替总体的概率不清楚.正解(1)设报考飞行员的人数为n,前三小组的频率分别为0，P2, P3,>2 = 2pi,则由条件可得:< p3=3pi,、p I +2+3 + (0.037+0.013)X5=1,解得,pi =0.125, .2=0.25, .3=0.375.12又因为 /?2=0.25 = ,故 =48.(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p=py+(0.037+0.013)X5=1，O故X服从二项分布，P(X=k) = C§q根卜因此随机变量X的分布列为125 15则 风)二()义与丙+1><与丙+2乂有5+3乂有5=或E(X) = np=JJL /JJL 乙JJL 乙JJL 4 O方法总结(1)超几何分布的本质是“不放回抽样”，是一种古典 概型，而二项分布的随机实验是“独立重复实验”，强调每次实验的 结果发生的概率相同，可认为是“有放回抽样”.本题中，“若从全 省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人”，特别强调人数很多， 意味着实验可以看做是“有放回抽样”，所以是一个二项分布.(2)本题明确要求“以这所学校的样本数据来估计全省的总体数 据”，其意思是：用频率来代替概率，也是说，全省每个学生的体重超过60公斤的概率为鲁 O