《自动控制理论教学课件》第五章控制系统的频域分析.ppt

第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法 5-15-15-15-1 频率特性及其与时域响应的关系频率特性及其与时域响应的关系频率特性及其与时域响应的关系频率特性及其与时域响应的关系5-55-55-55-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性5-25-25-25-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节的频率特性典型环节的频率特性5-35-35-35-3 系统开环频率特性的极坐标图系统开环频率特性的极坐标图系统开环频率特性的极坐标图系统开环频率特性的极坐标图5-45-45-45-4 系统开环对数频率特性的绘制系统开环对数频率特性的绘制系统开环对数频率特性的绘制系统开环对数频率特性的绘制5-65-65-65-6 控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态 响应的关系响应的关系响应的关系响应的关系*5-75-75-75-7 系统的闭环频率特性系统的闭环频率特性系统的闭环频率特性系统的闭环频率特性5-85-85-85-8 根据闭环频率特性分析系统的时域响应根据闭环频率特性分析系统的时域响应根据闭环频率特性分析系统的时域响应根据闭环频率特性分析系统的时域响应5-1 频率特性及其与时域响应的关系频率特性及其与时域响应的关系一、频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念l 频率响应：频率响应：在在正弦正弦输入信号的作用下，系统输出的输入信号的作用下，系统输出的稳态稳态 分量。分量。l 频率特性：频率特性：系统系统频率响应频率响应与与正弦输入信号正弦输入信号之间的关系。之间的关系。l 频域分析法：频域分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法。其应用频率特性研究线性系统的经典方法。其 特点是根据系统的特点是根据系统的开环频率特性开环频率特性去判断去判断闭环闭环系统的性能。系统的性能。如图，设初始如图，设初始当输出阻抗足够大时有：当输出阻抗足够大时有：消去消去对上式进行拉氏变换得：对上式进行拉氏变换得：拉氏反变换得：拉氏反变换得：暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量响应的响应的稳态分量稳态分量为：为：式中：式中：可见，可见，分别为分别为 的的幅值幅值 和和相角相角 。设线性定常系统的传递函数为：设线性定常系统的传递函数为：为方便起见设系统无重极点，则：为方便起见设系统无重极点，则：设：设：则：则：式中：式中：通常，把通常，把 称为系统的称为系统的频率特性频率特性。它。它反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比 称为称为幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性，它反映了系统对不同频率的正，它反映了系统对不同频率的正弦输入信号的衰减弦输入信号的衰减(放大放大)特性。系统稳态输出信号对正弦输特性。系统稳态输出信号对正弦输入信号的相移入信号的相移 称为系统的称为系统的相频特性相频特性相频特性相频特性，它表示系，它表示系统输出对于不同频率正弦输入信号的相移特性。统输出对于不同频率正弦输入信号的相移特性。已知某闭环系统的传递函数为：已知某闭环系统的传递函数为：时，时，试用频率特性的概念试用频率特性的概念当输入为当输入为求其稳态输出。求其稳态输出。解：解：根据频率特性的概念，系统的稳态输出为：根据频率特性的概念，系统的稳态输出为：二、频率特性与时域响应的关系二、频率特性与时域响应的关系 频率特性，传递函数，微分方程三种系统描述之间关系频率特性，传递函数，微分方程三种系统描述之间关系系系 统统频率特性频率特性传递函数传递函数微分方程微分方程 频率特性为什么能反映系统动态特性？频率特性为什么能反映系统动态特性？u 物理上：正弦输入与阶跃输入不同，由于是强迫振荡物理上：正弦输入与阶跃输入不同，由于是强迫振荡 所以能反映系统动态特性。所以能反映系统动态特性。u 数学上：数学上：，中的时间常数等反映中的时间常数等反映 了系统结构。了系统结构。三、频率特性的几何表示法三、频率特性的几何表示法 幅相频率特性曲线：幅相频率特性曲线：又称极坐标图或幅相曲线又称极坐标图或幅相曲线 实数和虚数的形式实数和虚数的形式 复指数形式复指数形式 幅频幅频特性为特性为 的的偶函数偶函数，相频相频特性为特性为 的的奇函数奇函数，因，因此，此，从从 和和 的幅相曲线关于实轴对称，的幅相曲线关于实轴对称，一般只绘制一般只绘制 的幅相曲线。小箭头指示的幅相曲线。小箭头指示 时幅相曲线的变化方向。时幅相曲线的变化方向。对于对于RC 网络：网络：有：有：表明表明RC 网络的幅相网络的幅相曲线是以曲线是以 为圆心，为圆心，半径为半径为 的半圆，如右的半圆，如右图所示。图所示。对数频率特性曲线：对数频率特性曲线：又称伯德又称伯德(Bode)图，由对数幅频曲线图，由对数幅频曲线 和对数相频曲线组成。和对数相频曲线组成。对数频率特性曲线的对数频率特性曲线的横坐标横坐标按按 (对数对数)分度，单位是分度，单位是 ；对数；对数幅频幅频特性曲线的特性曲线的纵坐标纵坐标 按按 线性线性分度，单位是分度，单位是分贝分贝 。对数。对数相频相频特性曲线的特性曲线的纵坐标纵坐标按按 线性线性分度，单分度，单 位为位为度度 。由此构成的坐标系称为。由此构成的坐标系称为半对数坐标系半对数坐标系。仍以仍以RC电路为例：电路为例：当当 时：时：当当 时：时：在在 处：处：综上，综上，RC网络的对数幅频特性可近似地用渐近线来网络的对数幅频特性可近似地用渐近线来表示。在表示。在 部分为一条部分为一条 的水平线，在的水平线，在 部部分为斜率等于分为斜率等于 的直线。在渐近线的的直线。在渐近线的交接交接处的处的频率频率为为 ，此处渐近线的幅值误差，此处渐近线的幅值误差为为 (最大最大)。用描点法绘制出用描点法绘制出 曲线如图，图中令：曲线如图，图中令：对数分度：对数分度：当变量增大或减小当变量增大或减小10倍，称为倍，称为10倍频程倍频程 ，坐标间距离变化一个单位长度。坐标间距离变化一个单位长度。交接频率：交接频率：又称为又称为转折频率转折频率，是指两条渐近线交接处对应，是指两条渐近线交接处对应 的频率。的频率。对数幅相曲线：对数幅相曲线：又称尼柯尔斯图或尼柯尔斯曲线。又称尼柯尔斯图或尼柯尔斯曲线。其特点其特点 是纵坐标为是纵坐标为 ，单位为分贝，单位为分贝 ；横坐标为；横坐标为 ，单位是度单位是度 ，均为线性分度，频率，均为线性分度，频率 为参变量。为参变量。5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性一、比例环节一、比例环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：幅相曲线幅相曲线对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性伯德图伯德图二、惯性环节二、惯性环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：幅相曲线幅相曲线对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性伯德图伯德图三、积分环节三、积分环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：幅相曲线幅相曲线伯德图伯德图对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性四、微分环节四、微分环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：幅相曲线幅相曲线伯德图伯德图对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性 理想微分环节理想微分环节 一阶比例微分环节一阶比例微分环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：幅相曲线幅相曲线伯德图伯德图对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性 二阶微分环节二阶微分环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：伯德图伯德图对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性幅相曲线幅相曲线五、振荡环节五、振荡环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：l 乃氏图乃氏图 与虚轴交点处的频率为与虚轴交点处的频率为 (无阻尼自然振荡角频率无阻尼自然振荡角频率)谐振频率谐振频率 与与谐振峰值谐振峰值 上式说明，当上式说明，当 时，幅频特性存在极大值，记时，幅频特性存在极大值，记极大处的频率为极大处的频率为 ，称为，称为谐振频率谐振频率，相应的幅值称为，相应的幅值称为谐振峰谐振峰值值，记为，记为 ，则，则谐振峰值谐振峰值为：为：l 伯德图伯德图 当当 时，时，；当当 时，时，；交接交接(转折转折)频率为频率为:振荡环节对数幅频率特性不仅与交接频率有关还与阻振荡环节对数幅频率特性不仅与交接频率有关还与阻 尼比尼比 有关，渐近线的误差随有关，渐近线的误差随 的不同而不同；的不同而不同；当当 时，误差不大；当时，误差不大；当 时，误差增大。时，误差增大。振荡环节的修正曲线与振荡环节的修正曲线与 有关。有关。六、纯滞后环节六、纯滞后环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性伯德图伯德图幅相曲线幅相曲线5-3 系统开环频率特性的极坐标图系统开环频率特性的极坐标图 上节介绍了典型环节的上节介绍了典型环节的极坐标图极坐标图(乃氏图乃氏图、幅相曲线幅相曲线)，要绘制开环系统的极坐标图，只要计算出对应各要绘制开环系统的极坐标图，只要计算出对应各 的幅值的幅值及相角即可逐点描绘出。及相角即可逐点描绘出。式中：式中：计算出计算出 即可绘制极坐标图。即可绘制极坐标图。例例5-1：解：解：计算结果如下计算结果如下0.710.830.971.151.41.762.263.044.47.038.910109876543210.50 系统开环幅相曲线的绘制系统开环幅相曲线的绘制 根据系统开环率特性的表达式可以通过取点、计算和作根据系统开环率特性的表达式可以通过取点、计算和作 图，绘制系统开环幅相曲线。图，绘制系统开环幅相曲线。概略概略概略概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要特征三个重要特征：开环幅相曲线的开环幅相曲线的起点起点 和和终点终点 开环幅相曲线与负实轴的交点开环幅相曲线与负实轴的交点设设 时，时，的虚部为零：的虚部为零：即：即：或：或：称称 为为穿越频率穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的，而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为：坐标值为：开环幅相曲线的变化范围开环幅相曲线的变化范围(象限、单调性象限、单调性)开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制开环幅相曲线的基础。是绘制开环幅相曲线的基础。一、一、型型系统的极坐标图系统的极坐标图 开环幅相曲线的开环幅相曲线的起点起点在正实轴上；在正实轴上；终点终点在原点；在原点；一般情况下，分子阶次为一般情况下，分子阶次为m，分母阶次为，分母阶次为n的开还传递的开还传递函数可表示为：函数可表示为：l 终点处的幅值终点处的幅值l 终点处的相角：终点处的相角：一阶一阶二阶二阶三阶三阶例例5-2：已知已知 型型系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：试绘制系统的极坐标图。试绘制系统的极坐标图。解：解：起点：起点：终点：终点：二、二、型型系统的极坐标图系统的极坐标图 起点：起点：虚轴无穷远处虚轴无穷远处 终点：终点：原点原点终点处相角：终点处相角：二阶二阶三阶三阶例例5-3：已知已知型型系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：试绘制系统的极坐标图。试绘制系统的极坐标图。解：解：起点：起点：终点：终点：下面，求与负实轴的交点下面，求与负实轴的交点即与负实轴交点为即与负实轴交点为求实轴交点的另一种方法求实轴交点的另一种方法令令 ，得：，得：代入实部得：代入实部得：概略概略实际实际三、三、型型系统的极坐标图系统的极坐标图 起点：起点：实轴无穷远处实轴无穷远处 终点：终点：原点原点终点处相角：终点处相角：四、四、含含纯滞后纯滞后环节的开环环节的开环系统的极坐标图系统的极坐标图例例5-4：5-4 系统开环对数频率特性的绘制系统开环对数频率特性的绘制设开环系统由设开环系统由 个环节串联而成，其传递函数为：个环节串联而成，其传递函数为：或：或：综上有：综上有：因此，采用因此，采用叠加法叠加法叠加法叠加法即可方便地绘制出系统开环对数即可方便地绘制出系统开环对数频率特性曲线。实际上，系统开环对数幅频特性的频率特性曲线。实际上，系统开环对数幅频特性的渐进渐进特性特性有如下有如下特点：特点：低频段低频段(小于最小交接频率小于最小交接频率 )的斜率为：的斜率为：，为开环系统中所包含的串联积分环节为开环系统中所包含的串联积分环节 的数目。低频段的数目。低频段(若存在小于若存在小于1 1的交接频率时，则为延长的交接频率时，则为延长 线线)在在 处的对数幅值为处的对数幅值为 。即低频段或其延长。即低频段或其延长 线经过点线经过点 。在典型环节的交接频率处，对数幅频特性渐近线的斜率在典型环节的交接频率处，对数幅频特性渐近线的斜率 要发生变化，若遇到要发生变化，若遇到 的环节，在交接频率的环节，在交接频率 处，斜率改变处，斜率改变 ；若遇到；若遇到 的环节时，在交接频率处，斜率改变的环节时，在交接频率处，斜率改变 。一、绘制系统开环对数幅频特性的步骤一、绘制系统开环对数幅频特性的步骤 开环传递函数典型环节分解；开环传递函数典型环节分解；计算各典型环节的交接频率；计算各典型环节的交接频率；修正。修正。通过点通过点 ，绘制斜率为，绘制斜率为 的低频段；的低频段；从低频段开始，随着从低频段开始，随着 的增大，每遇到一个典型环节的的增大，每遇到一个典型环节的 交接频率，就按上述方法改变一次斜率；交接频率，就按上述方法改变一次斜率；例例5-5：已知系统的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为：试绘制开环系统的伯德图。试绘制开环系统的伯德图。解：解：开环传递函数典型环节分解：开环传递函数典型环节分解：一个比例、一个惯性、一个比例、一个惯性、一个一阶比例微分和一个振荡环节组成。一个一阶比例微分和一个振荡环节组成。计算各典型环节的交接频率；计算各典型环节的交接频率；l 惯性环节：惯性环节：l 一阶比例微分环节：一阶比例微分环节：l 振荡环节：振荡环节：绘制低频段；绘制低频段；所以，低频段的延长线经过所以，低频段的延长线经过 ，即，即 。利用误差修正曲线进行必要的修正；利用误差修正曲线进行必要的修正；绘制各环节的相频特性，绘制各环节的相频特性，叠加叠加叠加叠加后得到系统的相频特性。后得到系统的相频特性。处，斜率处，斜率 处，斜率处，斜率处，斜率处，斜率二、最小相位系统和非最小相位系统的频率特性二、最小相位系统和非最小相位系统的频率特性 定义定义 最小相位系统相位滞后是最小的。最小相位系统相位滞后是最小的。l 最小相位系统：最小相位系统：开环传递函数开环传递函数开环传递函数开环传递函数中的所有零、极点都位于中的所有零、极点都位于 平面左半部的系统。平面左半部的系统。各环节都是最小相位各环节都是最小相位各环节都是最小相位各环节都是最小相位。l 非最小相位系统：非最小相位系统：开环传递函数开环传递函数开环传递函数开环传递函数中具有位于中具有位于 右半平面的零右半平面的零 点或极点的系统。含非最小相位环节的系统点或极点的系统。含非最小相位环节的系统例例5-6：最小相位系统最小相位系统非最小相位系统非最小相位系统解：解：两系统的幅频特性是一样的两系统的幅频特性是一样的 最小相位系统的对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一最小相位系统的对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一 的对应关系。的对应关系。根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数，反之亦然。相频特性和传递函数，反之亦然。时，幅频特性斜率：时，幅频特性斜率：相频特性：相频特性：例例5-7：已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如 图所示，试写出系统的开环传递函数。图所示，试写出系统的开环传递函数。解：解：由由 可得：可得：低频段的斜率为：低频段的斜率为：三、含有纯滞后环节系统的伯德图三、含有纯滞后环节系统的伯德图例例5-8：解：解：5-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对乃奎斯特稳定判据和系统的相对 稳定性稳定性l 系统稳定条件？系统稳定条件？所有闭环特征根都位于所有闭环特征根都位于S 左半平面左半平面 劳斯判据劳斯判据 根轨迹法根轨迹法(图解法图解法)：根据开环零极点绘制闭环：根据开环零极点绘制闭环 特征根的轨迹。特征根的轨迹。l 频域稳定性判据频域稳定性判据l 时域分析判断稳定性的方法？时域分析判断稳定性的方法？根据开环频率特性图和开环零极点判断闭环系统的根据开环频率特性图和开环零极点判断闭环系统的稳定性。稳定性。一、一、Nyquist稳定判据的数学基础稳定判据的数学基础1.1.映射映射(幅角幅角)定理：定理：设设 为复变量，为复变量，为为 的有理分式函的有理分式函 数。对于数。对于 平面上任意一点平面上任意一点 ，通过复变函数，通过复变函数 的映的映 射关系，在射关系，在 平面上可以确定关于平面上可以确定关于 的象。在的象。在 平面平面 上选择一条封闭曲线上选择一条封闭曲线 ，且不通过，且不通过 的任一零、极点，的任一零、极点，从闭环曲线从闭环曲线 上任一点上任一点 起，顺时针沿起，顺时针沿 运动一周，运动一周，再回到再回到 点，则相应地，点，则相应地，平面上亦从点平面上亦从点 起，到起，到 点止，也形成一条闭合曲线点止，也形成一条闭合曲线 。为方便起见，令：。为方便起见，令：不失一般性，设不失一般性，设 如下图分布：如下图分布：(a)S 平面平面(b)F(s)平面平面设设 沿沿 顺时针运动一周，研究顺时针运动一周，研究 相角的变化情况：相角的变化情况：按复平面按复平面相角相角相角相角定义，定义，逆时针逆时针逆时针逆时针旋转为旋转为正正正正，顺时针顺时针顺时针顺时针旋转为旋转为负负负负：对于对于 ，作切线，作切线 ，则在，则在 的的 段，段，的角度减小，在的角度减小，在 的的 段，角度增加，且有：段，角度增加，且有：同理：同理：映射映射(幅角幅角)定理：定理：设设 平面闭合曲线平面闭合曲线 包围包围 的的 个个 零点和零点和 个极点，并且，此曲线个极点，并且，此曲线不不经过经过 的任一零点的任一零点 和极点，则当复变量和极点，则当复变量 沿封闭曲线沿封闭曲线顺时针顺时针方向移动一周方向移动一周 时，在时，在 平面上的映射曲线平面上的映射曲线 按按逆时针逆时针方向包围坐标方向包围坐标 原点原点 周。周。2.2.复变函数复变函数 的选的选择择 的的零点零点为为闭环闭环传递函数的传递函数的极点极点；的的极点极点为为 开环开环传递函数的传递函数的极点极点。令：令：，可见：，可见：当当 沿沿 运动一周所产生的运动一周所产生的 两条曲线两条曲线 和和 只相差常数只相差常数1 1 1 1，即，即 可由可由 沿沿 实轴正方向平移实轴正方向平移(右移右移)一个单位长度获得。一个单位长度获得。包围包围 平面平面原点原点的周数等于的周数等于 包围点包围点 的周数。的周数。3.3.平面闭合曲线平面闭合曲线 的选择的选择 不经过不经过 的任一零、极点。的任一零、极点。包围包围 位于位于 平面右半部的平面右半部的 所有零点和极点。所有零点和极点。(a)无虚轴上的极点无虚轴上的极点 系统稳定的充要条件是：系统稳定的充要条件是：的的零点零点都位于都位于 平面的平面的左半部左半部。即：。即：。乃氏乃氏乃氏乃氏回线回线 可取右图所可取右图所示的两种形式：示的两种形式：(b)有虚轴上的极点有虚轴上的极点二、奈奎斯特二、奈奎斯特稳定稳定(奈氏奈氏)判据判据 闭环控制系统稳定的充分必要条件是：当闭环控制系统稳定的充分必要条件是：当 从从 时，系统的开环频率特性时，系统的开环频率特性 不穿不穿过过 点，且按点，且按逆时针逆时针逆时针逆时针方向包围方向包围 点点 周，周，为位于平面为位于平面右半部的开环极点数右半部的开环极点数。若开环系统稳定，即若开环系统稳定，即 ，则闭环系统稳定的充要，则闭环系统稳定的充要条件是：系统的开环频率特性条件是：系统的开环频率特性不不包围包围 点。点。实际上，常只画实际上，常只画 从从 的部分，故上述的部分，故上述乃氏判据中的乃氏判据中的 周应改为周应改为 周。周。闭环极点在闭环极点在 平面平面右半部右半部的个数：的个数：半闭合曲线半闭合曲线半闭合曲线半闭合曲线(奈氏图奈氏图奈氏图奈氏图)穿越穿越 点点左左左左侧侧负实轴负实轴负实轴负实轴的次数。的次数。半次穿越半次穿越半次穿越半次穿越：开环幅相曲线起始于开环幅相曲线起始于(或终止于或终止于)点点 左侧左侧 的负实轴。若沿的负实轴。若沿逆时针逆时针逆时针逆时针离开离开(或终止于或终止于)负实轴，负实轴，记为记为半次正穿越半次正穿越半次正穿越半次正穿越；若沿；若沿顺时针顺时针顺时针顺时针离开离开(或终止于或终止于)负实轴，记为负实轴，记为半次负半次负半次负半次负穿越穿越穿越穿越。正穿越正穿越 ：随着随着 的增大，开环幅相曲线的增大，开环幅相曲线逆时针逆时针(从上从上)穿越点穿越点 左侧负实轴左侧负实轴左侧负实轴左侧负实轴；负穿越负穿越负穿越负穿越 ：随着随着 的增大，开环幅相曲线的增大，开环幅相曲线顺时针顺时针顺时针顺时针(从下从下从下从下)穿越点穿越点 左侧负实轴左侧负实轴左侧负实轴左侧负实轴；开环极点在开环极点在 平面右半部的个数。平面右半部的个数。判断：判断：系统稳定；系统稳定；系统不稳定。系统不稳定。例例5-9：绘制开环传递函数为绘制开环传递函数为 的系统的系统 的乃奎斯特图，并判断系统稳定性。的乃奎斯特图，并判断系统稳定性。解：解：起点：起点：终点：终点：系统稳定。系统稳定。例例5-10：绘制绘制 0型型3阶系统幅相频率特性，并判别系统稳定性。阶系统幅相频率特性，并判别系统稳定性。解：解：起点：起点：终点：终点：系统在系统在 右半平面上有两个极点，右半平面上有两个极点，不稳定不稳定。思考：思考：思考：思考：欲使系统稳定，该怎么办？欲使系统稳定，该怎么办？系统在系统在 右半平面上没有极点，右半平面上没有极点，稳定稳定。-例例5-11：设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：，试绘制系统的乃奎斯特图，并判断闭环系统的稳定性。试绘制系统的乃奎斯特图，并判断闭环系统的稳定性。解：解：选取乃氏回线如下面左图所示。选取乃氏回线如下面左图所示。小半圆：小半圆：在在 平面上相应的映射曲线为：平面上相应的映射曲线为：这是一个半径为这是一个半径为无穷大无穷大的圆弧，其相角由的圆弧，其相角由 经经0变到变到 。虚轴上，令虚轴上，令 大半圆大半圆：在在 平面上相应的映射曲线为：平面上相应的映射曲线为：相角：相角：系统在系统在 右半平面上有两个极点，右半平面上有两个极点，不稳定不稳定。讨论：讨论：当当 有虚轴极点时有虚轴极点时 平面的半闭合曲线：平面的半闭合曲线：可从可从 点起逆时针点起逆时针(曲线方向为顺时针曲线方向为顺时针)作作半径为无穷大半径为无穷大半径为无穷大半径为无穷大、圆心角为圆心角为圆心角为圆心角为的圆弧。的圆弧。平面的半闭合曲线：平面的半闭合曲线：应从应从 点起以点起以无穷大为半径无穷大为半径无穷大为半径无穷大为半径顺时针作顺时针作 的圆弧至的圆弧至 点。点。开环系统含有积分环节开环系统含有积分环节 开环系统含有等幅振荡环节开环系统含有等幅振荡环节例例5-12：已知单位反馈系统的已知单位反馈系统的开环幅相曲线开环幅相曲线 如右图所示，试确定系统闭环如右图所示，试确定系统闭环稳定时稳定时 值的范围。值的范围。解：解：设交点处穿越频率分别为设交点处穿越频率分别为 。系统的开环传递函数形如：系统的开环传递函数形如：当当 时，时，若令若令 ，可求得对应的，可求得对应的 值：值：系统稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定系统稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定综上可知，系统闭环稳定时，综上可知，系统闭环稳定时，的取值范围是：的取值范围是：三、根据伯德图判断系统的稳定性三、根据伯德图判断系统的稳定性1.乃氏图与伯德图的对应关系乃氏图与伯德图的对应关系 乃氏图中乃氏图中单位圆单位圆对应于伯德图中对应于伯德图中 线；线；乃氏图中乃氏图中负实轴负实轴对应于伯德图中对应于伯德图中 线；线；乃氏图中乃氏图中单位圆以外单位圆以外对应于伯德图中对应于伯德图中 ；乃氏图乃氏图从上而下从上而下对穿过负实轴对穿过负实轴 线段，相角增加，线段，相角增加，称为称为正穿越正穿越正穿越正穿越，伯德图中，伯德图中 从下而上从下而上穿过穿过 线，意线，意 味着相角的增加，称为味着相角的增加，称为正穿越正穿越正穿越正穿越；乃氏图乃氏图从下而上从下而上对穿过负实轴对穿过负实轴 线段，相角减小，线段，相角减小，称为称为负穿越负穿越负穿越负穿越，伯德图中，伯德图中 从上而下从上而下穿过穿过 线，意线，意 味着相角的减小，称为味着相角的减小，称为负穿越负穿越负穿越负穿越；伯德图伯德图对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性:剪切频率剪切频率剪切频率剪切频率:穿越频率穿越频率穿越频率穿越频率2.对数频率稳定判据对数频率稳定判据 闭环系统稳定的充要条件是：当闭环系统稳定的充要条件是：当 时，在时，在开环对数幅频特性开环对数幅频特性 的频段内，相频特性的频段内，相频特性 穿越穿越 线的次数线的次数 满足满足 。为为 平面右半部的开环极点数。平面右半部的开环极点数。半对数坐标下半对数坐标下 的对数相频曲线的对数相频曲线 的确定的确定 开环系统无虚轴上的极点时，开环系统无虚轴上的极点时，等于等于 曲线。曲线。开环系统存在积分环节开环系统存在积分环节 时，需从时，需从 曲线曲线 较小较小 且且 的点处向上补作的点处向上补作 的虚直线，的虚直线，曲线和补作的虚直线构成曲线和补作的虚直线构成 。例例5-13：解：解：开环系统存在振荡环节开环系统存在振荡环节 时，需从对数相频特性时，需从对数相频特性 曲线曲线 点起向上补作点起向上补作 的虚直线至的虚直线至 处，处，曲线和补作的虚直线构成曲线和补作的虚直线构成 。所以，系统稳定。所以，系统稳定。四、系统的相对稳定性和稳定裕度四、系统的相对稳定性和稳定裕度 系统开环频率特性靠近系统开环频率特性靠近 点的程度表征了系统的点的程度表征了系统的相对稳定性，距离相对稳定性，距离 点愈远，闭环系统的稳定性愈点愈远，闭环系统的稳定性愈高。系统的相对稳定性常用高。系统的相对稳定性常用相角裕度相角裕度 和和增益裕度增益裕度 来度量。来度量。1.相角裕度相角裕度 ：在频率特性上对应于在频率特性上对应于 的角频率的角频率 称为称为剪切频率剪切频率剪切频率剪切频率，以，以 表示。表示。相角裕度相角裕度 的含义是对于闭环稳定系统，如果系统开环的含义是对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后相频特性再滞后 度，则系统将处于度，则系统将处于临界稳定临界稳定临界稳定临界稳定状态。状态。2.2.增益裕度增益裕度 ：在相频特性等于在相频特性等于 弧度的频率弧度的频率 (穿穿 越频率越频率)处，开环幅频特性的倒数处，开环幅频特性的倒数 称为增益裕度，以称为增益裕度，以 或或 表示。表示。增益裕度增益裕度的含义是，对于闭环稳定的系统，如果系统的含义是，对于闭环稳定的系统，如果系统 的开环增益再增大的开环增益再增大 倍，则系统将处于倍，则系统将处于临界稳定临界稳定临界稳定临界稳定状态。状态。系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定 为了得到较满意的暂态为了得到较满意的暂态响应，一般取：响应，一般取：例例5-14：设单位反馈系统的开环传递函数为：设单位反馈系统的开环传递函数为：试分别确定系统开环增益试分别确定系统开环增益 和和 时的时的相角裕度和增益裕度。相角裕度和增益裕度。解：解：首先作出首先作出 和和 时的对数幅频渐进特性和时的对数幅频渐进特性和 对数相频特性曲线，如下图所示。对数相频特性曲线，如下图所示。当当 时，时，令令 得：得：(单位转换单位转换)当当 时，时，例例5-15：已知系统开环传递函数为：已知系统开环传递函数为：试用乃氏判据求系统临界增益，当其中一个惯性环节试用乃氏判据求系统临界增益，当其中一个惯性环节时间常数为时间常数为 时，临界增益有何变化。时，临界增益有何变化。解：解：临界稳定时临界稳定时令令 ，有：，有：5-6 控制系统对数坐标图与稳态误差控制系统对数坐标图与稳态误差 及瞬态响应的关系及瞬态响应的关系一、稳态误差一、稳态误差O O型型系统对数幅频特性特点：系统对数幅频特性特点：1.1.0 0型型系统系统 低频段斜率为低频段斜率为0 0，高度为，高度为 ；是静态位置误差系数。是静态位置误差系数。2.2.型型系统系统低频段：低频段：型型型型系统对数幅频特性特点：系统对数幅频特性特点：低频段斜率为低频段斜率为 ；是静态速度误差系数。是静态速度误差系数。斜率为斜率为 的低频段的低频段 (或其延长线或其延长线)与与 线的线的 交点为交点为 ，则，则 斜率为斜率为 的低频段的低频段 (或其延长线或其延长线)在在 处的处的 高度为高度为 。3.3.型型型型系统系统低频段对数幅频特性低频段对数幅频特性幅频特性曲线特点：幅频特性曲线特点：低频段斜率为低频段斜率为 ；是静态加速度误差系数。是静态加速度误差系数。斜率为斜率为 的低频段的低频段 (或其延长线或其延长线)与与 线的线的 交点为交点为 ，则，则 斜率为斜率为 的低频段的低频段 (或其延长线或其延长线)在在 处的处的 高度为高度为 。二、稳定性与对数幅频特性中频段斜率的关系二、稳定性与对数幅频特性中频段斜率的关系例例5-16：如图所示，如图所示，落在落在 区段内，区段内，系统稳定。，系统稳定。若若减小减小开环传递增开环传递增 益，则相频特性不益，则相频特性不 变变，幅频特性向下，幅频特性向下 平移。从而使得平移。从而使得 。若若增大增大开环传递增益，则相频特性不变开环传递增益，则相频特性不变，幅频特性向上，幅频特性向上 平移。从而使得平移。从而使得 。当。当 时，系统处于时，系统处于 临界稳定状态。当临界稳定状态。当 时，时，系统不稳定。，系统不稳定。若若 落在落在 区段内，系统一定不稳定。区段内，系统一定不稳定。以上分析表明：以上分析表明：系统对数幅频特性中频段斜率系统对数幅频特性中频段斜率 时，时，系统系统不稳定不稳定不稳定不稳定。中频段斜率为中频段斜率为 时，系统可能时，系统可能稳定稳定稳定稳定，也可能，也可能 不稳定不稳定不稳定不稳定。即使稳定，相角裕量也较小。即使稳定，相角裕量也较小。中频段斜率为中频段斜率为 时，时，系统一般是系统一般是稳定稳定稳定稳定的。的。因此一般总是使系统中频段斜率为因此一般总是使系统中频段斜率为 ，且为，且为保证有足够大的相角裕量，应使该区段占有一定的宽度。保证有足够大的相角裕量，应使该区段占有一定的宽度。三、中频段宽度与稳定性的关系三、中频段宽度与稳定性的关系 稳定系统不仅对中频段的斜率有要求，而且对其稳定系统不仅对中频段的斜率有要求，而且对其宽度也有要求，一般要求：宽度也有要求，一般要求：u 低于低于 ，斜率不低于斜率不低于 。u 高于高于 ，斜率不低于斜率不低于 。四、开环对数幅频特性与闭环系统动态性能的关系四、开环对数幅频特性与闭环系统动态性能的关系1.1.相角裕量相角裕量 与动态响应关系与动态响应关系说明：说明：其中，其中，为开环频率特性为开环频率特性若若 很小很小 某某 频段频段即该频段上闭环频率特性有即该频段上闭环频率特性有谐振峰值谐振峰值谐振峰值谐振峰值。系统输入信号频谱。系统输入信号频谱中这一频段内谐波分量有很高增益中这一频段内谐波分量有很高增益 系统阶跃响应振荡。系统阶跃响应振荡。可以证明：可以证明：证明：证明：注意到一般有：注意到一般有：上式表明，当上式表明，当 时，时，取极值。取极值。五、截止角频率和通频带五、截止角频率和通频带 和和 的关系：的关系：若若 ，则工程上：，则工程上：当当 时，时，当当 时，时，若若 ，则工程上：，则工程上：定义：定义：时时,对应的对应的频率频率 称为称为截止频率截止频率截止频率截止频率，又称，又称带宽频率带宽频率带宽频率带宽频率。为闭环对数为闭环对数频率特性，频率特性，称为称为闭环通频带闭环通频带闭环通频带闭环通频带(带宽带宽带宽带宽)。型和型和型以上的开环系统，型以上的开环系统，故：故：即有：即有：越能复现输入信号越能复现输入信号响应快，但易引入高频噪声响应快，但易引入高频噪声六、闭环频域指标，开环频域指标和时域指标的关系六、闭环频域指标，开环频域指标和时域指标的关系 系统时域指标物理意义明确、直观，但仅用于单位系统时域指标物理意义明确、直观，但仅用于单位阶跃响应且不能直接用于频域的分析和综合。阶跃响应且不能直接用于频域的分析和综合。闭环系统频域指标闭环系统频域指标 虽然能反映系统的跟踪速度虽然能反映系统的跟踪速度和抗干扰能力，但由于需要通过闭环频域特性加以确定，和抗干扰能力，但由于需要通过闭环频域特性加以确定，在校正元件的形式和参数尚未确定时显得不便。在校正元件的形式和参数尚未确定时显得不便。鉴于系统开环频域特性指标鉴于系统开环频域特性指标 ，可以由已知的，可以由已知的开环对数频域特性曲线确定，工程上常用开环对数频域特性曲线确定，工程上常用 设计。设计。1.1.闭环频域指标闭环频域指标,开环频域指标和时域指标开环频域指标和时域指标u 设计指标是频域参量，如：设计指标是频域参量，如：闭环频域指标：闭环频域指标：谐振峰值谐振峰值 、闭环系统带宽闭环系统带宽 、谐振谐振 频率频率 、系统开环增益系统开环增益 。2.2.频域指标与时域指标的关系频域指标与时域指标的关系u 设计指标是时域参量，如：设计指标是时域参量，如：开环频域指标：开环频域指标：系统开环增益系统开环增益 、相角裕度相角裕度 、幅值裕度幅值裕度 、开环对数幅频特性的剪切频率开环对数幅频特性的剪切频率 。时域指标：时域指标：二阶系统频域指标与时域指标的关系二阶系统频域指标与时域指标的关系l 谐振峰值：谐振峰值：l 谐振频率：谐振频率：l 带宽频率：带宽频率：l 剪切频率：剪切频率：l 相角裕度：相角裕度：l 超调量：超调量：l 调节时间：调节时间：或或 高阶系统频域指标与时域指标的关系高阶系统频域指标与时域指标的关系l 谐振峰值：谐振峰值：l 超调量：超调量：l 调节时间：调节时间：*5-7 系统的闭环频率特性系统的闭环频率特性一、开环与闭环频率特性的关系一、开环与闭环频率特性的关系对于单位反馈系统对于单位反馈系统根据上式，不难从系统开环频率特性得到闭环频率特性。根据上式，不难从系统开环频率特性得到闭环频率特性。二、等二、等 M 圆圆其中：其中：设：设：则：则：以闭环频率特性幅值以闭环频率特性幅值 M 为参变量，上述方程表示一个圆。为参变量，上述方程表示一个圆。圆心：圆心：半径：半径：当当 时时圆心向圆心向 移动移动该圆为一平行于该圆为一平行于 y 轴的直线：轴的直线：当当 时，时，圆心向圆心向 移动移动 原点原点当当 时时 三、等三、等 N 圆圆令令 ，则：，则：圆心圆心:半径半径:所有等所有等 N N 圆都通过圆都通过原点原点及及 点。点。利用利用等等 M 圆圆图及图及等等 N 圆圆图，可以根据开环幅相频率图，可以根据开环幅相频率特性特性(乃氏图乃氏图)与各圆交点，求得各交点处的频率与各圆交点，求得各交点处的频率 及其及其对应的对应的M，N 值，从而绘出闭环频率特性。值，从而绘出闭环频率特性。例例5-17：求开环频率特性为求开环频率特性为的单位反馈系统的闭环幅频特性。的单位反馈系统的闭环幅频特性。解：解：将开环频率特性画在等将开环频率特性画在等 M 圆上，根据交点求出各圆上，根据交点求出各 值所对应的值所对应的 M 值，即可画出闭环幅频特性。值，即可画出闭环幅频特性。四、尼柯尔斯