《误差理论与测量平差基础教学课件》第八讲.ppt

第一章第一章 误差理论与最小二乘原理误差理论与最小二乘原理Error Theory and The Least Squares PrincipleError Theory and The Least Squares Principle1 1、测量、测量 中，有时需要顾及系统误差的影响中，有时需要顾及系统误差的影响.上节课内容回顾：上节课内容回顾：2 2、在线性情况下，系统误差的传播规律和函数、在线性情况下，系统误差的传播规律和函数关系一致关系一致.非线性情况先线性化非线性情况先线性化4 4、权、单位权中误差、权矩阵、权逆阵、权、单位权中误差、权矩阵、权逆阵5 5、算术中数、水准测量、三角高程测量的权、算术中数、水准测量、三角高程测量的权.第七讲第七讲 权与权逆阵的传播权与权逆阵的传播（复习）复习）3 3、尤其注意、尤其注意 的应用的应用6 6、权倒数、权逆阵的传播、权倒数、权逆阵的传播解：解：解：解：C角函数关系式角函数关系式解：解：根据权的定义根据权的定义又因为又因为解：解：线性化线性化解：解：补充复习：矩阵的迹补充复习：矩阵的迹补充复习：对称正定矩阵补充复习：对称正定矩阵如果矩阵如果矩阵A A正定，那么正定，那么1 1、A A一定对称；一定对称；2 2、A A的各阶主子式行列式大于零；的各阶主子式行列式大于零；3 3、A A的的n n个特征值大于零；个特征值大于零；4 4、一定存在满秩矩阵、一定存在满秩矩阵G G使得使得A AGGGGT T，A A-1-1=(G=(GT T)-1-1G G-1-1；5 5、权阵和协方差阵均是正定矩阵。、权阵和协方差阵均是正定矩阵。1 1、The Formula of Variance and Standard Error The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weightof Unit Weight2 2、Calculating The Variance and Standard Error Calculating The Variance and Standard Error of Unit Weight According to The dof Unit Weight According to The d3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差 Calculating The Variance and Standard Error of Unit Weight With True Error1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差11、单位权中误差定义、单位权中误差定义22、单位权中误差可以任意给定，为什么还要计算？、单位权中误差可以任意给定，为什么还要计算？以水准测量定权为例以水准测量定权为例 上式中我们选定的是单位权路线长度而不是单位权中误差，单上式中我们选定的是单位权路线长度而不是单位权中误差，单位权中误差即是位权中误差即是S S0 0的中误差，大小未知。但的中误差，大小未知。但S S0 0确定下来后，单确定下来后，单位权中误差也随之确定。此时，位权中误差也随之确定。此时，u u就不再是任意常数了。就不再是任意常数了。第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差22、单位权中误差可以任意给定，为什么还要计算？、单位权中误差可以任意给定，为什么还要计算？对一系列观测值对一系列观测值h1h1，h2h2，hnhn，其权分别用路线长确定为，其权分别用路线长确定为p1p1，p2p2，pnpn，如果此时单位权中误差，如果此时单位权中误差u u已知，即可计算已知，即可计算每个观测值的中误差。每个观测值的中误差。因此：因此：1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差22、单位权中误差可以任意给定，为什么还要计算？、单位权中误差可以任意给定，为什么还要计算？n精度估计需要知道精度估计需要知道u un而定权时，通常选定的不是而定权时，通常选定的不是u u，而是单位权观测值，而是单位权观测值精度估计的流程：精度估计的流程：确定观测确定观测值的权值的权计算单位计算单位权中误差权中误差计算观测值计算观测值中误差中误差1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差33、单位权中误差、单位权中误差(方差方差)计算方法计算方法方法一：方法一：设设L1L1，L2L2，LnLn，为观测向量，记为，为观测向量，记为L L；为对应的真误差向量；为对应的真误差向量；是其协方差矩阵；是其协方差矩阵；P P为对应的相关权阵。按照协方差矩阵的定义为对应的相关权阵。按照协方差矩阵的定义1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight权阵和协方差矩阵的关系权阵和协方差矩阵的关系 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差33、单位权中误差、单位权中误差(方差方差)计算方法计算方法方法一：方法一：两边取迹两边取迹单位权方差：单位权方差：1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差33、单位权中误差、单位权中误差(方差方差)计算方法计算方法单位权中误差：单位权中误差：观测值独立时：观测值独立时：NoteNote：单位权中误差的平方是单位权方差的无偏估值单位权中误差的平方是单位权方差的无偏估值 单位权中误差平方以概率收敛与单位权方差单位权中误差平方以概率收敛与单位权方差 1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差33、单位权中误差、单位权中误差(方差方差)计算方法计算方法方法二：方法二：计算公式：计算公式：思路思路（构造虚拟观测值）（构造虚拟观测值）如果能找到一组单位权观测值如果能找到一组单位权观测值 那么这组观测值那么这组观测值的方差和中误差就是单位权方差和中误差的方差和中误差就是单位权方差和中误差 1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差33、单位权中误差、单位权中误差(方差方差)计算方法计算方法证明：首先寻找单位权观测值证明：首先寻找单位权观测值令：令：因为因为P P正定，一定有正定，一定有 根据权逆阵的传播公式根据权逆阵的传播公式 1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差33、单位权中误差、单位权中误差(方差方差)计算方法计算方法因为因为 即虚拟观测值独立、等精度、权等于即虚拟观测值独立、等精度、权等于1 1，所以，所以 1、The Formula of Variance and Standard Error of Unit Weight 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差44、证明单位权中误差是单位权方差的无偏估值。、证明单位权中误差是单位权方差的无偏估值。2 2、Calculating The Variance and Standard Error of Unit Calculating The Variance and Standard Error of Unit Weight According to The dWeight According to The d 第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差 设设n n对观测值对观测值对应精度相等对应精度相等其较差其较差较差的权为较差的权为单位权中误差：单位权中误差：等精度时：等精度时：解：解：第八讲第八讲 用真误差表示的单位权方差和中误差用真误差表示的单位权方差和中误差作业：作业：1.78 1.791.78 1.791 1、真误差，、真误差，L LE E（L L）一、基本概念一、基本概念2 2、粗差：显著异常，对观测值影响大、粗差：显著异常，对观测值影响大4 4、偶然误差：、偶然误差：【1 1】单个无规律，单个无规律，【2 2】总体服从正总体服从正态分布，态分布，【3 3】统计特性：有界、聚中、对称统计特性：有界、聚中、对称5 5、方差：随机变量总体的离散程度、方差：随机变量总体的离散程度3 3、系统误差：、系统误差：【1 1】常数保持不变，常数保持不变，【2 2】按规律按规律变化，变化，【3 3】具有累积性具有累积性3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter6 6、方差矩阵、协方差：主对角线元素大于、方差矩阵、协方差：主对角线元素大于0 0一、基本概念一、基本概念7 7、中误差：、中误差：9 9、或然误差：、或然误差：1010、相对误差：分子化成、相对误差：分子化成1 18 8、平均误差：、平均误差：3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter（加（加P P为单位权中误差）为单位权中误差）11 11、极限误差：、极限误差：【1 1】2 2mm或或3 3mm，【2 2】用于真误差，用于真误差，【3 3】闭合差和较差闭合差和较差1212、平差：依据某种数学原则的一种调整、平差：依据某种数学原则的一种调整一、基本概念一、基本概念1313、测量条件：观测者、仪器、外部环境，对象、测量条件：观测者、仪器、外部环境，对象1515、权矩阵、权矩阵1717、对称正定矩阵、对称正定矩阵1414、权：表征观测值之间相对精度的指标、权：表征观测值之间相对精度的指标3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter1616、权逆阵、权逆阵非独立时，权阵中的元素不是对应观测值的非独立时，权阵中的元素不是对应观测值的权，逆阵中的元素是对应观测值的权倒数权，逆阵中的元素是对应观测值的权倒数二、计算公式及其应用范围二、计算公式及其应用范围1 1、中误差、中误差3 3、较差计算、较差计算mm2 2、菲列罗公式、菲列罗公式3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter（真误差、独立、等精度）（真误差、独立、等精度）注意公式的特点，菲列罗公式要求会推导。注意公式的特点，菲列罗公式要求会推导。（闭合差、独立、等精度）（闭合差、独立、等精度）（较差、独立、等精度）（较差、独立、等精度）二、计算公式及其应用范围二、计算公式及其应用范围4 4、单位权、单位权 中误差中误差3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter（真误差、独立、非等精度）（真误差、独立、非等精度）单位权中误差的推导要清楚单位权中误差的推导要清楚（较差、独立、非等精度）（较差、独立、非等精度）（真误差、相关、非等精度）（真误差、相关、非等精度）三、传播公式三、传播公式1 1、随机变量的函数、随机变量的函数3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter中误差传播：中误差传播：线性化线性化权倒数传播：权倒数传播：三、传播公式三、传播公式2 2、向量、向量3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter中误差矩阵传播：中误差矩阵传播：权逆阵的传播：权逆阵的传播：三、传播公式三、传播公式3 3、广义传播定律、广义传播定律3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter中误差矩阵传播：中误差矩阵传播：相关权逆阵的传播：相关权逆阵的传播：真误差之间的关系：真误差之间的关系：三、传播公式三、传播公式4 4、系统误差的传播、系统误差的传播3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter中误差传播：中误差传播：真误差之间的关系：真误差之间的关系：1 1、多余观测可以揭示矛盾，但不能消除矛盾。、多余观测可以揭示矛盾，但不能消除矛盾。四、重要概念四、重要概念2 2、平差的目的是消除矛盾，求得未知参数的唯、平差的目的是消除矛盾，求得未知参数的唯一估值，并估计精度。但不能消除误差。一估值，并估计精度。但不能消除误差。4 4、偶然误差和系统误差在一定条件下相互转化、偶然误差和系统误差在一定条件下相互转化 （偶然误差对测量结果的影响总是随机的）（偶然误差对测量结果的影响总是随机的）5 5、观测值与其偶然真误差等精度、观测值与其偶然真误差等精度3 3、偶然误差单个无规律，总体服从正态分布、偶然误差单个无规律，总体服从正态分布3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter6 6、相同条件下一列观测值求得的中误差是该条、相同条件下一列观测值求得的中误差是该条件下任意观测值的中误差。件下任意观测值的中误差。四、重要概念四、重要概念7 7、相对误差一般用于长度测量和导线测量、相对误差一般用于长度测量和导线测量9 9、误差或权倒数传播注意线性化和相关性、误差或权倒数传播注意线性化和相关性1010、两观测值精度相同是指测量条件相同，而、两观测值精度相同是指测量条件相同，而非真误差相同非真误差相同8 8、极限误差适用于真误差、极限误差适用于真误差3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter11 11、协方差可以小于、协方差可以小于0 0，相关权倒数可以小于，相关权倒数可以小于0 01212、单位权中误差不一定存在于观测列中、单位权中误差不一定存在于观测列中四、重要概念四、重要概念1313、权矩阵的元素不一定是对应观测量的权、权矩阵的元素不一定是对应观测量的权1515、提高平差值精度的关键是提高观测值的精、提高平差值精度的关键是提高观测值的精度，而不是增加测回数度，而不是增加测回数1414、权逆阵的主对角线元素一定是对应观测量、权逆阵的主对角线元素一定是对应观测量的权倒数的权倒数3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter1616、真值的中误差和权倒数均为、真值的中误差和权倒数均为0 01 1、已知、已知五、典型题五、典型题求单位权方差求单位权方差3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter2 2、已知尺长为已知尺长为50m1mm50m1mm，测量，测量ABAB两点距离两两点距离两次得中数次得中数S SABAB200m8mm200m8mm，求尺段丈量中误，求尺段丈量中误差及往返差值的限差。差及往返差值的限差。五、典型题五、典型题3 3、A Careful Review of This ChapterA Careful Review of This Chapter