《数学物理方程-福州大学-江飞》3.2格林公式及其应用.ppt

1.1.格林公式格林公式2 2 格林公式及其应用格林公式及其应用*高斯定理（体积分化成曲面积分）高斯定理（体积分化成曲面积分）:设设 是以足够光是以足够光滑的曲面滑的曲面 为边界的有界区域（可以是多连通区域），为边界的有界区域（可以是多连通区域），在在 上具有连续偏导数的任意函数，则成立上具有连续偏导数的任意函数，则成立记记则由第二曲面积分定义则由第二曲面积分定义注：广义牛顿莱布尼茨公式可推导出一维牛顿莱注：广义牛顿莱布尼茨公式可推导出一维牛顿莱布尼茨公式。布尼茨公式。高斯公式高斯公式推论推论1 1（广义牛顿莱布尼茨公式）（广义牛顿莱布尼茨公式）:推论推论2 2（高维分部积分公式）：（高维分部积分公式）：其中其中表示表示的第的第i i个分量。个分量。设设 ，由高斯公式，可得由高斯公式，可得记记*格林第一公式格林第一公式互换互换 位置，可得位置，可得*格林第二公式格林第二公式上面两式相减，可得格林第二公式上面两式相减，可得格林第二公式下面我们利用格林第二公式推导调和函数的一些基本下面我们利用格林第二公式推导调和函数的一些基本性质。性质。考察函数考察函数*调和函数的积分表达式调和函数的积分表达式其中其中 表示表示 中以中以 为球心，以为球心，以 为半径的为半径的小球，边界记小球，边界记 。则则利用格林公式，利用格林公式，则则令令在球面在球面 上，由于上，由于因此因此利用积分中值定理，利用积分中值定理，其中其中 是函数是函数在球面在球面 上的平均上的平均值。值。类似地，有类似地，有球面平均值。球面平均值。因此因此在上式中令在上式中令 ，就得到泊松方程解的基本积分公式，就得到泊松方程解的基本积分公式其中其中特别序员特别序员 时，调和函数一般积分公式时，调和函数一般积分公式联系引力位势联系引力位势在上式中取在上式中取为调和函数，则有下列定理：为调和函数，则有下列定理：定理定理 2.1 2.1 设函数设函数 在以曲面在以曲面 为边界的区域为边界的区域 内调内调和，在和，在 上有连续一阶偏导数，则上有连续一阶偏导数，则注注 诺伊曼内问题诺伊曼内问题 有解的必要条件是有解的必要条件是注注 有解的必要条件是有解的必要条件是注注 利用叠加原理可得：利用叠加原理可得：是泊松方程的一个特解是泊松方程的一个特解注注 二维拉普拉斯方程的基本解为二维拉普拉斯方程的基本解为相应的调和函数积分公式为相应的调和函数积分公式为联系赫尔德条件联系赫尔德条件2.2.平均值定理平均值定理定理定理2.22.2（平均值公式平均值公式）设函数设函数 在某区域在某区域 内调内调和，和，是是 中的任一点。则对以中的任一点。则对以 为球心、为球心、为半为半径完全落在区域的内部的球面径完全落在区域的内部的球面 ，成立，成立证证 把调和函数积分公式应用到球面把调和函数积分公式应用到球面 上，得到上，得到由定理由定理2.12.1知知于是于是注注 如果如果 ，则定理可包含与边界相切的球面。，则定理可包含与边界相切的球面。另一方面，另一方面，*数学角度证明数学角度证明3.3.极值原理极值原理 *物理背景：稳定温度场在动态平衡下，温度分布在内物理背景：稳定温度场在动态平衡下，温度分布在内部不可能有最高点或最低点。部不可能有最高点或最低点。，其在区域，其在区域 的任何内点上的值不可能达到的任何内点上的值不可能达到定理定理2.32.3（极值原理）（极值原理）对不恒等于常数的调和函数对不恒等于常数的调和函数它在它在 上的上界或下界。上的上界或下界。常数，且在区域常数，且在区域 上的上界为上的上界为 （注：只需证明有上界（注：只需证明有上界情况即可，相反情况，定理自然成立），而情况即可，相反情况，定理自然成立），而证证 用反证法证明。设调和函数用反证法证明。设调和函数 不恒等于不恒等于在内某点取值，我们来引出矛盾。在内某点取值，我们来引出矛盾。以以 为球心、任意半径为球心、任意半径 作球作球 ，使它完全落在区域，使它完全落在区域 中。记中。记 的球面为的球面为 ，在，在 上必成立上必成立 。事实。事实函数的连续性，必可找到此点在球面函数的连续性，必可找到此点在球面 上的一个邻域，上的一个邻域，上，如果上，如果 在球面上在球面上 上某一点其值小于上某一点其值小于 ，则由，则由在此邻域中在此邻域中 。因此。因此 在在 上的积分平均值上的积分平均值但由平均值公式，有但由平均值公式，有这就发生了矛盾。这就发生了矛盾。同理，同理，因此在球面因此在球面 上，上，。在以在以 为球心、任意为球心、任意 为为 半径的球面上，半径的球面上，传递性传递性从而在整个球从而在整个球 上上现在证明对现在证明对 中的所有点都恒等于常数中的所有点都恒等于常数任取一点任取一点 ，在区域，在区域 中作联结中作联结 及及 两点两点的折线的折线 。因为因为 具有有限长度，故可用完全落在具有有限长度，故可用完全落在传递性传递性中的有限个球中的有限个球 盖住盖住 ，使得，使得 的球心为的球心为,的球心落在的球心落在 中，中，的球心落在的球心落在 中，中，,的球心落在的球心落在 中。根据中。根据上面证明的方法，可以依次上面证明的方法，可以依次证明在所有这些球所包围的证明在所有这些球所包围的区域上区域上 因此，特别有因此，特别有 由由 的任意性，就得到在整个区域上的任意性，就得到在整个区域上因为因为 也是调和函数，从而它在于的内部也是调和函数，从而它在于的内部 这和这和 不恒等于常数相矛盾。因此不恒等于常数相矛盾。因此 不能在不能在 内部取内部取到其上界。到其上界。不能取到它的上界，就得出不能取到它的上界，就得出 也不能在也不能在 内部取到其内部取到其下界。这就证明了极值原理！下界。这就证明了极值原理！推论推论1 1 在有限区域在有限区域 内调和、在内调和、在 上连续的函数上连续的函数必在边界必在边界 上取得其最大值和最小值。上取得其最大值和最小值。推论推论2 2 设设 及及 都是区域都是区域 内的调和函数，且在内的调和函数，且在上连续。如果在上连续。如果在 的边界的边界 上成立着不等式上成立着不等式 ，那么在那么在 内上述不等式也成立；并且只有在内上述不等式也成立；并且只有在 时，时，在在 内才会有等号成立的可能。内才会有等号成立的可能。4.4.第一边值问题解的唯一性及稳定性第一边值问题解的唯一性及稳定性定理定理2.4 2.4 狄利克雷内问题狄利克雷内问题 的解如果存在，的解如果存在，必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件 。在有界区域在有界区域 的边界的边界 上的值完全相同，则上的值完全相同，则 证证 假设有两个调和函数假设有两个调和函数 和和 ，它们，它们满足满足由定理由定理2.32.3的推论的推论1 1知知即即下证稳定性：令下证稳定性：令 满足满足则则由定理由定理2.32.3的推论的推论1 1知知因此因此,在在 上各点有上各点有即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。4.4.第一边值问题解的唯一性及稳定性第一边值问题解的唯一性及稳定性定理定理2.5 2.5 狄利克雷外问题狄利克雷外问题的解如果存在，则必是唯一的。的解如果存在，则必是唯一的。满足满足证证 设设其中其中则则 满足满足如果如果 ，则存在一点，则存在一点 ，使得，使得 。不妨设不妨设 。以。以 表示半径为表示半径为 的球面，当的球面，当取得足够大，可使得点取得足够大，可使得点 落在由落在由 及及 所围成的所围成的区域区域 中，且由条件中，且由条件可得在可得在 上有上有 。因此调和函数。因此调和函数 在在相矛盾，因此只能恒为零。相矛盾，因此只能恒为零。的边界的边界 及及 上都取不到最大值，这与极值原理上都取不到最大值，这与极值原理P83:2.3.4.5.P83:2.3.4.5.