《高等数学教学课件》05导数应用.ppt

高等数学高等数学西南财经大学西南财经大学经济数学学院经济数学学院孙疆明孙疆明精国保第十讲第十讲 微分中值定理微分中值定理一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理（一）极值的定义：（一）极值的定义：极值的研究是微积分产生的主要动力之一极值的研究是微积分产生的主要动力之一（二）费尔马定理（二）费尔马定理 (极值必要条件极值必要条件)证证微分中值定理的引入微分中值定理的引入二、罗尔二、罗尔 (Rolle)(Rolle)定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理怎样证明罗尔定理怎样证明罗尔定理？最大最小值在区间内就是极值最大最小值在区间内就是极值罗尔定理的证明：罗尔定理的证明：怎样证明拉格朗日定理、柯西定理怎样证明拉格朗日定理、柯西定理？拉格朗日定理的证明：拉格朗日定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式柯西中值定理的证明：柯西中值定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式推论推论1：证证推论推论2：推论推论4：推论推论3：费尔马定理费尔马定理罗尔定理罗尔定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理直观观察可直观观察可以启发思路以启发思路在第一种情形在第一种情形,都不是最小值都不是最小值所以最小值一定在区间内部达到所以最小值一定在区间内部达到证证证明思路直观分析证明思路直观分析例例证证根据连续函数的根据连续函数的最大最小值定理最大最小值定理零点问题零点问题以下证明恰好以下证明恰好有三个根有三个根该方程实根个数该方程实根个数就是两条曲线就是两条曲线首先证明至少有三个根首先证明至少有三个根根据介值定理根据介值定理因此方程至少有三个相异根因此方程至少有三个相异根然后证明方程最多有三个相异根然后证明方程最多有三个相异根用反证法用反证法 根据洛尔定理根据洛尔定理矛盾！矛盾！综上所述，方程恰好有三个相异实根综上所述，方程恰好有三个相异实根证证证证证证证证x(,0)0(0,2)2(2,)y+0-0+y极大极小证证证证极值、凸性、渐近线极值、凸性、渐近线函数的极值函数的极值函数的凸性函数的凸性渐近线渐近线函数的作图函数的作图最值最值曲率曲率一、极值与最值一、极值与最值极值的第一充分条件极值的第一充分条件(导数形式导数形式)定理定理1：（二）极值的第二充分条件（二）极值的第二充分条件定理定理2：证证 (1)（二）函数的最大、最小值（二）函数的最大、最小值(B)(B)最大、最小值应用问题最大、最小值应用问题解解 一个可口可乐饮料罐具体测量一一个可口可乐饮料罐具体测量一下下:它顶盖的直径和从顶盖到底它顶盖的直径和从顶盖到底部的高部的高(约为约为6厘米和厘米和12厘米厘米),粗的粗的部分的直径约为部分的直径约为6.6厘米厘米,粗的部分粗的部分高约为高约为10.2厘米厘米(怎样测量比较简怎样测量比较简捷？捷？).可口可乐饮料罐上标明净可口可乐饮料罐上标明净含量为含量为355 毫升毫升(即即355 立方厘米立方厘米)。饮料罐中的数学饮料罐中的数学唯一驻点唯一驻点返回返回返回 解解 解解 曲线凸性的定义曲线凸性的定义返回定理：定理：(用二阶导数判定函数的凸性用二阶导数判定函数的凸性)（三）（三）拐点拐点定理：定理：（拐点必要条件）（拐点必要条件）x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)-0+0-y拐点拐点曲线的渐近线曲线的渐近线 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法定理：定理：证证 必要性必要性 证证 充分性充分性 假设下列两个条件同时成立假设下列两个条件同时成立函数作图函数作图解解 拐点拐点拐点拐点极大极大x(-,0)0(0,1)1(1,+)y+-0+y”-+y无定无定义义极小极小值值 ex(-,-1)-1(-1,0)(0,1)1(-,-1)y+0-0+y极极大大极极小小y”-+返回x(-,-1)-1(-1,0)(0,1)1(-,-1)y+0-0+y极大极小返回x(-,0)(0,1)1(1,+)y+-0+y极小返回返回解解返回返回解解返回返回返回返回返回返回返回二、函数的凸性二、函数的凸性（一）（一）凸性定义：凸性定义：（二）（二）凸性的判定凸性的判定定理定理1：(用一阶导数判定函数的凸性用一阶导数判定函数的凸性)证证 必要性必要性返回返回定理定理2：(用二阶导数判定函数的凸性用二阶导数判定函数的凸性)定理定理3：(用切线位置判定函数的凸性用切线位置判定函数的凸性)切线位于切线位于曲线下方曲线下方