《线性代数期末复习》吕线代1-3,4及习题.ppt

CH1 行行 列列 式式例例 计算计算 解解:第一行的第一行的-1倍加到以下各行倍加到以下各行,可得爪形行列式可得爪形行列式CH1 行行 列列 式式称称 为元素为元素 aij 的的代数余子式代数余子式余子式余子式 :在在n 阶阶行列式中，划去元素行列式中，划去元素 所在的第所在的第i行与行与第第j列，剩下的元素按原来的相列，剩下的元素按原来的相对对位置所排成的位置所排成的n-1 阶阶行列式，叫做原行列式中元素行列式，叫做原行列式中元素 的的余子式余子式，记记作作 Mij ；例如例如:的元素的元素x 的的余子式余子式为为代数余子式为代数余子式为代数余子式代数余子式:行列式按行行列式按行行列式按行行列式按行(列列列列)展开展开展开展开CH1 行行 列列 式式 证明证明 由性质由性质1.1.4与行列式定义可以证明该性质与行列式定义可以证明该性质.行列式定义行列式定义定理定理 行列式等于它的任一行的各元素与其代数余子式的乘积行列式等于它的任一行的各元素与其代数余子式的乘积之和，即之和，即:CH1 行行 列列 式式说明说明 ：该性质又称为行列式的该性质又称为行列式的按按行行展开定理展开定理；同理也有同理也有按按列列展开定理：展开定理：在实际应用中在实际应用中,常常选取常常选取零元素较多零元素较多的一行或列的一行或列,按该按该行或列施行展开行或列施行展开,达到降阶、简化计算的目的。达到降阶、简化计算的目的。意义意义 ：实现了实现了n 阶行列式到阶行列式到n-1阶行列式的阶行列式的降阶降阶变换；变换；CH1 行行 列列 式式例例解解:按第二行展开按第二行展开但是但是,CH1 行行 列列 式式推论推论 行列式的行列式的任一行任一行（列）的各元素与（列）的各元素与另一行另一行（列）对应元（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于素的代数余子式的乘积之和等于0 0，即，即说明：说明：该性质与按行展开定理合并可得公式：该性质与按行展开定理合并可得公式：CH1 行行 列列 式式将行列式的第将行列式的第j行元素换成第行元素换成第i行元素行元素,再按照第再按照第j行展开行展开:证明证明:CH1 行行 列列 式式1.1.第一节中关于二元、三元线性方程组的解法，可否第一节中关于二元、三元线性方程组的解法，可否推广至四元、五元推广至四元、五元乃至乃至n元的线性方程组的求解？元的线性方程组的求解？一、问题的提出：一、问题的提出：根据此模式可否推出根据此模式可否推出n个个未知数未知数n个方程的线性方个方程的线性方程组解的情形程组解的情形?2 2、由三元线性方程组所作的讨论可知、由三元线性方程组所作的讨论可知,若线性方程若线性方程 组的系数行列式组的系数行列式 则解可表示为则解可表示为1.4 1.4 1.4 1.4 克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)法则法则CH1 行行 列列 式式二、二、含有含有n个未知量个未知量n个方程的个方程的线线性方程性方程组组(1)系数行列式记为系数行列式记为D 是是D中第中第j列元素换列元素换成常数项所得成常数项所得.CH1 行行 列列 式式【定理定理】（克拉默法则）克拉默法则）若线性方程组若线性方程组(1)(1)的系数行列的系数行列式式 ，则存在，则存在唯一解唯一解.注意注意:克莱姆法克莱姆法则则只适用于包含只适用于包含n个未知量个未知量n个方程个方程,并且系数行列式不并且系数行列式不为为零的零的线线性方程性方程组组.用克莱姆法用克莱姆法则则求解求解线线性方程性方程组组,在一般情在一般情况下况下,要要计计算算n+1个个n阶阶行列式行列式,计计算量很大算量很大.CH1 行行 列列 式式例例1 1 解线性方程组解线性方程组解解:=27利用公式利用公式 同理可求同理可求:CH1 行行 列列 式式三三 关于齐次线性方程组的结论关于齐次线性方程组的结论:当线性方程组右端的常数项当线性方程组右端的常数项 不全为不全为0 0时时,线性方程组线性方程组(1)(1)叫做叫做非齐次线性方程组非齐次线性方程组.(1)当线性方程组右端的常数项当线性方程组右端的常数项 全为全为0 0时时,线性方程组线性方程组(2)(2)叫做叫做齐次线性方程组齐次线性方程组.(2)一定是一定是(2)(2)的解的解,这个解叫做这个解叫做齐次线性方程组齐次线性方程组(2)(2)的的零解零解.如果一组不全为零的数是如果一组不全为零的数是(2)(2)的解的解,则这个解则这个解叫做齐次线性方程组叫做齐次线性方程组(2)(2)的的非零解非零解.CH1 行行 列列 式式【定理定理】若齐次线性方程组若齐次线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 则该齐次线性方程组则该齐次线性方程组(2)(2)没有非零解，没有非零解，即即只有零解只有零解.等价命题等价命题:如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)(2)有非零解有非零解，则该齐次，则该齐次线性方程组的系数行列式线性方程组的系数行列式必为零必为零。CH1 行行 列列 式式例例2 2 问问 为何值时，齐次线性方程组为何值时，齐次线性方程组有非零解有非零解?分析分析:如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组有非零解，有非零解，则系数行列式则系数行列式D=0=0.由由D=0=0线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何CH1 行行 列列 式式知识结构知识结构一一行列式的行列式的定义定义二二行列式的行列式的性质性质三三行列式的行列式的展开展开四四 行列式的行列式的计算计算五五 行列式的行列式的应用应用CH1 行行 列列 式式（一）（一）n阶行列式的定义阶行列式的定义 （二）逆序数（二）逆序数 2、定理：、定理：A、对换对换改改变变排列的奇偶性。排列的奇偶性。1、定、定义义：排列的逆序：排列的逆序总总和称和称为该为该排列的逆序数。排列的逆序数。C、任意一个、任意一个n级级排列排列经过经过一系列一系列对换对换 变变成自然排列，并且所作成自然排列，并且所作对换对换次数的次数的 奇偶性与奇偶性与这这个排列的奇偶性相同。个排列的奇偶性相同。B、n级级全排列中（全排列中（n 2），奇偶各占一半），奇偶各占一半 一一 行列式的定义行列式的定义CH1 行行 列列 式式例例:写出四阶行列式中含有写出四阶行列式中含有a11 a23的项的项.解解:四阶行列式中含有四阶行列式中含有a11 a23的项形如的项形如:a11 a23 a3i a4j当当i=2，j=4时时,(-1)(1324)a11 a23 a32 a44 =-a11 a23 a32 a44当当i=4，j=2时时,(-1)(1342)a11 a23 a34 a42 =a11 a23 a34 a42CH1 行行 列列 式式例例:解解:CH1 行行 列列 式式性质性质1 1：行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。推论：推论：如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。性质性质2 2：互换行列式的两行（列），行列式变号。互换行列式的两行（列），行列式变号。推论推论：若行列式中某一行若行列式中某一行(列列)的元素全为零，则此行的元素全为零，则此行 列式等于零。列式等于零。性质性质5 5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和之和,则则 此行列式等于两个行列式之和。此行列式等于两个行列式之和。性质性质3 3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式。乘此行列式。性质性质4 4：若行列式中有两行若行列式中有两行(列列)成比例成比例,则此行列式等于零。则此行列式等于零。推论：推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外边。以提到行列式符号的外边。性质性质6 6：把行列式的某一行把行列式的某一行 （列）的各元素乘以同一数，（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变行列式不变.二二 行列式的性质行列式的性质CH1 行行 列列 式式定理定理三三 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开CH1 行行 列列 式式四四 行列式的计算行列式的计算思路一思路一:利用定义利用定义例例CH1 行行 列列 式式解：解：分析分析:当行列式的各行当行列式的各行(列列)的所有元素之和相等时的所有元素之和相等时,可将可将各列各列(行行)的元素都加到第一列的元素都加到第一列(行行)的元素上去的元素上去.思路二思路二:利用性利用性质质例例CH1 行行 列列 式式上三角形上三角形思考思考:CH1 行行 列列 式式例例解解:将第一行的将第一行的-1倍分别加到其余各行倍分别加到其余各行CH1 行行 列列 式式思考思考:CH1 行行 列列 式式例例解解:按第二行展开按第二行展开但是但是,思路三思路三:利用行列展开利用行列展开CH1 行行 列列 式式1 1、三角行列式（上三角、下三角、对角行列式）、三角行列式（上三角、下三角、对角行列式）2 2、范德蒙行列式、范德蒙行列式 重要行列式重要行列式 :思路四思路四:利用重要行列式利用重要行列式CH1 行行 列列 式式例例:解解:将第一行的将第一行的3倍加到最后一行倍加到最后一行CH1 行行 列列 式式五五 行列式的应用行列式的应用 【1】若线性方程组的系数行列式若线性方程组的系数行列式 ,则存在则存在唯一解唯一解.【2】若线性方程组无解或有多个不同的解，若线性方程组无解或有多个不同的解，则系数行列式则系数行列式 【3】若齐次线性方程组的系数行列式若齐次线性方程组的系数行列式 ,则存在则存在唯一零解唯一零解.【4】若齐次线性方程组若齐次线性方程组有非零解有非零解，则系数行列式则系数行列式 克拉默法则克拉默法则CH1 行行 列列 式式作业作业 P20 6,7（1）