插值、拟合与数值微积分建模案例课件.pptx
插值、拟合与数值微积分建模案例1、估计水塔的水流量估计水塔的水流量2、录像机计数器的用途录像机计数器的用途3、汽车刹车距离汽车刹车距离问问 题题估计水塔的水流量估计水塔的水流量某某地地区区用用水水管管理理机机构构需需要要对对居居民民的的用用水水速速度度（单单位位时时间间的的用用水水量量）和和日日总总用用水水量量进进行行估估计计。现现有有一一居居民民区区，其其自自来来水水是是由由一一个个圆圆柱柱形形水水塔塔提提供供，水水塔塔高高12.2m12.2m，塔塔的的直直径径为为17.4m17.4m。水水塔塔是是由由水水泵泵根根据据水水塔塔中中的的水水位位自自动动加加水水，一一般般水水泵泵每每天天工工作作两两次次，按按照照设设计计，当当水水塔塔中中的的水水位位降降至至最最低低水水位位，约约8.2m8.2m时时，水水泵泵自自动动启启动动加加水水；当当水水位位升升高到最高水位，约高到最高水位，约10.8m10.8m时，水泵停止工作。时，水泵停止工作。表表1 1给出的是某一天的测量数据，测量了给出的是某一天的测量数据，测量了2828个时刻的个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用水位（表中用表示），试建立数学模型，来估计居民表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。的用水速度和日用水量。表表1 1 水塔中水位原始数据水塔中水位原始数据 分析分析日用水量日用水量用水速度用水速度每个时刻水塔中水的体积每个时刻水塔中水的体积 每个时刻水塔中水的体积？每个时刻水塔中水的体积？居民的用水速的？居民的用水速的？日用水量？日用水量？思考思考数值微分模型假设模型假设 影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求；水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小；水泵充水速度恒定，且远大于水塔的水流速度；水塔的水流量与水泵状态独立；水流量曲线是一条连续光滑的曲线；表1数据是准确的；表表2 2 水塔中水的体积水塔中水的体积（其中d为水塔中水的高度，r为底面半径）模型建立与求解模型建立与求解 图图1 1 水塔中水体积的散点图水塔中水体积的散点图 图图2 2 水塔中水流速度的散点图水塔中水流速度的散点图 图图3 3 预测水塔中未知的流速预测水塔中未知的流速 图图4 4 样条插值得到的水流速度曲线样条插值得到的水流速度曲线结果结果模型检验模型检验返回模型稳定性分析模型稳定性分析运用数值求积公式可得问问题题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？小时的节目？要求要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。录像带转过时间的关系。思考思考计数器读数是均匀增长的吗？计数器读数是均匀增长的吗？录像机计数器的用途录像机计数器的用途经试验，一盘标明经试验，一盘标明180分钟的录像带从头分钟的录像带从头走到尾，时间用了走到尾，时间用了184分，计数器读数从分，计数器读数从0000变到变到6061。录像机计数器的工作原理录像机计数器的工作原理主动轮主动轮压轮压轮0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头计数器计数器录像带录像带录像带运动方向录像带运动方向录像带运动录像带运动右轮盘半径增大右轮盘半径增大;问题分析问题分析观察观察 计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长变慢计数器读数增长变慢;右轮转速右轮转速(角速度角速度)不是常数不是常数;录像带运动速度录像带运动速度(线速度线速度)是常数是常数.录像带的运动速度是常数录像带的运动速度是常数 v；计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn；录像带厚度（加两圈间空隙）为常数录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r；时间时间 t=0 时读数时读数 n=0.建模目的建模目的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系（设（设v,k,w,r为已知参数）为已知参数）模型假设模型假设模型建立模型建立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法1.右轮盘转第右轮盘转第 i 圈的半径为圈的半径为r+wi,m圈的总长度圈的总长度等于录像带在时间等于录像带在时间t内移动的长度内移动的长度vt,所以所以请解释?2.考察右轮盘面积的考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即乘以转过的长度，即3.考察考察t到到t+dt录像带在录像带在右轮盘缠绕的长度，有右轮盘缠绕的长度，有模型建立模型建立思思 考考3 3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果模型中有待定参数模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。思思 考考参数估计参数估计另一种确定参数的方法另一种确定参数的方法测试分析测试分析将模型改记作将模型改记作只需估计只需估计 a,b理论上，已知理论上，已知t=184,n=6061,再有一组再有一组(t,n)数据即可数据即可!实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：现有一批测试数据：t 0 20 40 60 80n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184n 4004 4545 5051 5525 6061用最小二乘法可得用最小二乘法可得模模 型型 检检 验验应该另外测试一批数据检验模型：应该另外测试一批数据检验模型：模模 型型 应应 用用回答提出的问题：由模型算得回答提出的问题：由模型算得 n=4450 时时 t=116.4分，分，剩下的录像带能录剩下的录像带能录 184-116.4=67.6分钟的节目。分钟的节目。揭示了揭示了“t 与与 n 之间呈二次函数关系之间呈二次函数关系”这一普遍规律，这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。即可。返回返回 汽车刹车距离汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背背景景与与问问题题 正常驾驶条件下正常驾驶条件下,车速每增车速每增10英里英里/小时，小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是实现这个规则的简便办法是“2秒准则秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断判断“2秒准则秒准则”与与“车身车身”规则是否一规则是否一样样?并建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。并建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问问题题分分析析常识：刹车距离与车速有关常识：刹车距离与车速有关10英里英里/小时小时(16公里公里/小时小时)车速下车速下2秒钟行秒钟行驶驶29英尺英尺(9米米)车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则规则不同不同刹刹车车距距离离反应时间反应时间司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作使汽车作匀减速匀减速运动。运动。车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离常数常数假假 设设 与与 建建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;F d2=m v2/2F mt1为反应时间为反应时间且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.0255（用用2、3列数据列数据）计算刹车距离、计算刹车距离、刹车时间刹车时间其中s为刹车距离刹车时间计算：车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际实际(最大最大)刹车刹车距离（英尺）距离（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）1014.7-16.51.52029.342（44）442.253044.073.5（78）82.534058.7116（124）131.93.755073.3173（186）192.44.56088.0248（268）263.85.2570102.7343（372）346.3680117.3464（506）439.76.790132.0 -544.17.5100146.7-659.68.2计算结果计算结果“2秒准则秒准则”应修正为应修正为“t 秒秒准则准则”模模 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）101.5202.25303403.75504.5605.25706806.7车速（英里车速（英里/小时）小时）010103030606080t（秒）（秒）2357思考：（1）在不同量纲下得到的拟合系数k是否相同。（2）可以将反应时间作为拟合系数，并将计算结果和经验结果比较。结论：在英里/秒下得到k=1.0407e-005。结论：t1=0.0883,k=0.0322。作图比较可知，与实测数据拟合效果更好！返回 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
