数学归纳法证明不等式.pptx
1.1.对于数学中与自然数命题有关的命题一般对于数学中与自然数命题有关的命题一般是不完全归纳法即合情推理得出结论，怎样来是不完全归纳法即合情推理得出结论，怎样来判断结论的正确性？判断结论的正确性？2.2.阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答：能阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答：能使所有的牌倒下的条件是什么？使所有的牌倒下的条件是什么？两个基本条件：两个基本条件：（1）要推倒第一块牌；）要推倒第一块牌；（2）第一块牌倒下能导致后一块牌倒下，）第一块牌倒下能导致后一块牌倒下，（连续性）（连续性）思考:第1页/共33页1数学归纳法的定义2数学归纳法适用范围是什么3数学归纳法的步骤(原理)是什么?4数学归纳法的步骤中关键及难点是什么?阅读课文，思考下列问题阅读课文，思考下列问题:第2页/共33页1.数学归纳法定义：数学归纳法定义：l证证明明一一个个与与正正整整数数n有有关关的的命命题题，可可按按下下列步骤进行：列步骤进行：l(归纳奠基归纳奠基)证明当证明当n取取 时时 命题成立命题成立l(归纳递推归纳递推)假设假设第一个值n0(n0N*)nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立 只要完成这两步骤只要完成这两步骤,就可以断定命题对从就可以断定命题对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立。都成立。第3页/共33页2.2.数学归纳法适用范围,主要用于研究与正整数有关的数学问题。3.数学归纳法的关键与难点：数学归纳法的关键与难点：在在“归纳递推归纳递推”中中,“证明当证明当n=k+1 时时命题也成立命题也成立”,必须利用归纳假设必须利用归纳假设：“当当n=k(kn0,kN*时命题成立时命题成立”,否则便不是否则便不是数学归纳法。数学归纳法。应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与 有关的命题(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可正整数n第4页/共33页第5页/共33页第6页/共33页第7页/共33页分析按照数学归纳法的步骤证明，在由nk到nk1的推证过程中应用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一第8页/共33页第9页/共33页证明证明(1)当当n1时，时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立，命题显然成立(2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设知，上式能被a2a1整除，故当nk1时命题也成立由(1)，(2)知，对一切nN*，命题都成立l例3求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*，aR.第10页/共33页例4平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2n2(nN*)个区域分析本题关键是弄清第k1个圆与前k个圆的交点个数，以及这些交点又将第k1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的第11页/共33页证明(1)当当n1时时，1个个圆圆将将平平面面分分成成2个个区域，命题显然成立区域，命题显然成立(2)假假设设当当nk(kN*)时时命命题题成成立立，即即k个个圆圆将将平平面面分分成成k2k2个个区区域域则则当当nk1时时，第第k1个个圆圆交交前前面面k个个圆圆于于2k个个点点，这这2k个个点点将将第第k1个个圆圆分分成成2k段段弧弧，每每段段弧弧将将各各自自所所经经过过的的区区域域一一分分为为二二，于于是是增增加加了了2k个个区区域域，所所以以这这k1个个圆圆将将平平面面分分成成k2k22k个个区区域域，即即(k1)2(k1)2个个区区域域，故故当当nk1时，命题也成立时，命题也成立由由(1)、(2)可可知知，对对一一切切nN*，命命题题都都成成立立第12页/共33页例5是否存在常数a，b，c使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？证明你的结论分析先取n1,2,3探求a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对一切的nN*，a，b，c所确定的等式都成立第13页/共33页第14页/共33页第15页/共33页例4、已知x 1，且x 0，n N，n 2求证：(1+x)n1+nx.（2）假设n=k时，不等式成立，即(1+x)k1+kx当n=k+1时，因为x 1，所以1+x0，于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当n=k+1时也成立根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.证明：（1）当n=2时，左(1x)2=1+2x+x2 x 0，1+2x+x21+2x=右 n=1时不等式成立第16页/共33页1用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是()A1 B13C123 D1234解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C.练习:第17页/共33页第18页/共33页第19页/共33页第20页/共33页解析当n1时，n34，所以等式左边为1234.第21页/共33页5用数学归纳法证明某个命题时，左边为12342345n(n1)(n2)(n3)，从nk到nk1左边需增加的代数式为_解析当nk时，左边12342345k(k1)(k2)(k3)当nk1时，左边12342345k(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k4)，所以从nk到nk1左式应增加(k1)(k2)(k3)(k4)第22页/共33页第23页/共33页第24页/共33页第25页/共33页第26页/共33页第27页/共33页(2)数学归纳法证明整除问题：例1、用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立.(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,有 都能被x+y整除.故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.第28页/共33页例2、用数学归纳法证明:能被8 整除.证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 是8的倍数.那么:因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n,An能被8整除.第29页/共33页例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.证:(1)当n=1时,x3n-1+x3n-2+1=x2+x+1,从而命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被 x2+x+1整除则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1)因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.即当n=k+1时,命题成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.第30页/共33页例6、平面内有n(n 2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明.当n=k+1n=k+1时：第k+1k+1条直线分别与前k k条直线各交于一点，共增加k k个点，由1 1）、2 2）可知，对一切nNnN原命题均成立。证明：1 1）n=2n=2时：两条直线交点个数为1,1,而f(2)=f(2)=2 2(2-1)=1,(2-1)=1,命题成立。k+1 k+1条直线交点个数=f(k)+k=k(k-1)+k=f(k)+k=k(k-1)+k =k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)(k+1)-1=f(k+1),=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)(k+1)-1=f(k+1),即当n=k+1n=k+1时命题仍成立。2 2）假设n=k(kNn=k(kN,k2,k2)时，k k条直线交点个数为 f(k)=k(k-1),f(k)=k(k-1),(3)数学归纳法证明几何问题：第31页/共33页练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 的条数f(n+1)=f(n)+_.n-1练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+_个区域.2k第32页/共33页谢谢您的观看！第33页/共33页
