线性代数—相似矩阵.pptx

1一、相似矩阵的概念和性质一、相似矩阵的概念和性质定义定义 对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆可逆方阵P，使得 则称A与B 相似相似,记为矩阵的矩阵的“相似相似”关系具有以下特性：关系具有以下特性：(1)(1)反身性：(2)(2)对称性：证证(3)(3)传递性：证证第1页/共26页2相似矩阵的性质：相似矩阵的性质：定理定理 相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.证证推论推论1 相似矩阵的行列式相等；推论推论2 相似矩阵的迹相等；推论推论3 若矩阵A与一个对角阵相似,第2页/共26页3注意注意:特征值相同的矩阵不一定相似.但它们不相似,因为对任意可逆阵P,即与 E 相似的矩阵只有它自己。相似矩阵的其它性质：相似矩阵的其它性质：相似矩阵的秩相等；若P,Q为可逆矩阵,则有第3页/共26页4A,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。只证(3)，其余证明留作练习.(1)(2)(3)(4)(5)(6)第4页/共26页5例例1解解另解另解相似矩阵有相同的特征多项式，由得第5页/共26页6计算上面两个行列式，得到比较等式两边 同次幂的系数，得第6页/共26页7 n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。二、矩阵可相似对角化的条件二、矩阵可相似对角化的条件 定理定理 如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化对角化。证证 必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆阵P,使第7页/共26页8即即即得必要性得证。上述步骤倒过来写,即得充分性证明。第8页/共26页9推论推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化.因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.注意注意:这个条件是充分的而不是必要的.如果A的特征方程有重根重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如果能找到n个线性无关的特征向量,A还是能对角化 即齐次线性方程组 的基础解系所含的向量个数等于特征根 的重数 。第9页/共26页10解解例例2设求可逆阵P，第10页/共26页11特征向量特征向量第11页/共26页12特征向量特征向量特征向量第12页/共26页13令则第13页/共26页14解解例例3判断矩阵 能否对角化，若能，特征向量求可逆阵P，第14页/共26页15特征向量可对角化,第15页/共26页16解解只有一个线性无关的特征向量,例例4判断矩阵 能否对角化，若能，所以不能对角化.求可逆阵P，第16页/共26页17例例5解解得A的特征值为 第17页/共26页18第18页/共26页19例例6解解第19页/共26页20从而A可相似对角化.秩为1，第20页/共26页21从而A不可相似对角化.秩为2，第21页/共26页22 一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵P，使得 则于是转化为对角阵求幂.第22页/共26页23例例7解解设 第23页/共26页24第24页/共26页25END第25页/共26页26感谢您的观看！第26页/共26页