相似三角形模型专题.pptx
ABC A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么A/B/C/与 ABC的相似比为_.1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。做相似三角形。2.相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似比。第1页/共71页两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形的传递性。3.相似三角形的性质：第2页/共71页4.相似三角形的判定：相似三角形的判定：如果一个三角形的如果一个三角形的两角两角分别与另一个分别与另一个三角形的三角形的两角两角对应相等，那么这两个三角形对应相等，那么这两个三角形相似相似第3页/共71页如果一个三角形的如果一个三角形的两条边两条边分别与另分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且一个三角形的两条边对应成比例，并且夹夹角角相等，那么这两个三角形相似相等，那么这两个三角形相似第4页/共71页如果一个三角形的如果一个三角形的三条边三条边分别与另分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似两个三角形相似第5页/共71页已知：在ABC中，DEBC，点F是线段DE上一点，连接AF并延长与BC相交于点G.求证：DFGC=FEBG例1.第6页/共71页相似三角形判定的基本模型一A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）第7页/共71页MN 例例2.2.若若G G为为BCBC中点中点,EG,EG交交ABAB于点于点F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,试求试求AF:FBAF:FB的值的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。添平行线构造相似三角形的基本图形。DEHGFEGFMN12第8页/共71页 若若G G为为BCBC中点中点,EG,EG交交ABAB于点于点F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,试求试求AF:FBAF:FB的值的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。添平行线构造相似三角形的基本图形。EGFEGFMN第9页/共71页1 1、如图，点D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且DEBC，BD2AD，那么ADE的周长ABC的周长。ABCDE1:32.右图中,若D,E分别是AB,AC边上的中点,且DE=4则BC=83.右图中,DE BC，S ADE:S四边形DBCE=1:8,则AE:AC=1:3课堂训练:第10页/共71页EBDC4.在ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且ADE=B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.A解:A=A ADE=B ADEABC()AD:AB=AE:AC x:5=y:4 y=0.8x(0 x4)第11页/共71页ABCDEF5.如图：DEBC，EF AB,AE：EC=2：3，S ABC=25，求S四边形BDEF解：DEBCADEABCSADESABCAEAC（）2425SABC=25SADE 4 AE：EC=2:3AE:AC=2:5第12页/共71页6.过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：AE：ED=2AF：FB。CABFDEG第13页/共71页7.已知：ABCD,连接AD,CB相交于点E.过E点作EF平行于线段AB，与线段AC相交于点F。求：的值。第14页/共71页 相似三角形判定的基本模型二 （平行）（不平行）8字型 反8字型（蝴蝶型）第15页/共71页例1.已知ABCD，连结对角线BD，E.F是边BC的三等分点，连结AE、AF，与BD分别交于点G、H，则BG:GH:HD的值为_.5:3:12第16页/共71页EFBGDCA练1.如图，ABCD中，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有_对。（全等除外）5第17页/共71页AEBFDC练2.如图在 ABCD中，E是BC上一点，BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则 BF：FD=_，S ADF:S EBF=_ 1:31:99:1第18页/共71页练3.如图,在ABCD中，AB=4,BC=6,ABC,BCD的角平分线分别交AD于E和F,BE与CF交于点G,则EFG与BCG面积之比是()A.2:3B.4:9C.1:4D.1:9D第19页/共71页练4.如图,已知点D是AB边的中点,AFBC，CG:GA=3:1，BC=8，则AF=_.4第20页/共71页练5.如图,直角梯形ABCD中,BCD=90,ADBC,BC=CD,E为梯形内一点,且BEC=90,将BEC绕C点旋转90使B与D重合，得到DCF，连EF交CD于M.已知BC=5，CF=3，则DM:MC的值为_.4:3第21页/共71页相似三角形判定的基本模型一A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）第22页/共71页 相似三角形判定的基本模型二 （平行）（不平行）8字型 反8字型（蝴蝶型）第23页/共71页给你一个锐角给你一个锐角ABCABC和一条直线和一条直线MNMN；问题问题 你能你能用直线用直线MNMN去截去截ABCABC，使截得的三角形，使截得的三角形与原三角形相似吗？与原三角形相似吗？第24页/共71页 相似三角形相似三角形DE BC ADE ABC DAE=CAB ADE ABC基本图形基本图形判定方法判定方法 AED=B DAE=BAC ADE ABC 三边对应成比例的三边对应成比例的两个三角形相似两个三角形相似.第25页/共71页 相似三角形相似三角形DE BC ADE ABC DAE=CAB ADE ABC基本图形基本图形判定方法判定方法 AED=B DAE=BAC ADE ABC对应角相等；对应角相等；性质定理性质定理对应边成比例；对应边成比例；周长的比周长的比等于相似比；等于相似比；面积的比等于面积的比等于相似比的相似比的平方平方；三边对应成比例的三边对应成比例的两个三角形相似两个三角形相似.第26页/共71页 练一练练一练基本图形基本图形DEMNH过过D D作作DHECDHEC交交BCBC延长线于点延长线于点H H(1)(1)试找出图中的相似三角形试找出图中的相似三角形?(2)(2)若若AE:AC=1:2,AE:AC=1:2,则则AC:DH=_;AC:DH=_;(3)(3)若若ABCABC的周长为的周长为4,4,则则BDHBDH的周长为的周长为_._.(4)(4)若若ABCABC的面积为的面积为4,4,则则BDHBDH的面积为的面积为_._.ADE ABC DBH2：369DEMN第27页/共71页三、基本图形的形成、变化及发展过程：平行型 斜交型.旋转平移垂直型特殊特殊平移第28页/共71页ABOCD1.添加一个条件，使AOB DOC 四、运用运用角：B=C或 A=D边：AB CD AO：OD=BO：CO“X X”型型解：第29页/共71页ABCDE2.若ABCADE，你可以得出什么结论？四、运用角：ADE=B AED=C 边：DE BC面积：“A A”型型第30页/共71页3、D、E分别是ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使ADE与ABC相似。斜交型角：B=2或 1=C边：AD：AC=AE：AB解：第31页/共71页4、已知CD是RtACB斜边AB上的高，且CD=6，BD=12，则AD=_,AC=_。36123垂直型第32页/共71页ABCDE1.如图，DEBC，D是AB的中点，DC、BE相交于点G。求G知识源于悟=1:2=1:2第33页/共71页BACO如图:写出其中的几个等积式AC2=BC2=OC2=AOABBOABAOBO若AC=3,AO=1.写出A.B.C三点的坐标.(-1,0)(8,0)(0,2 )第34页/共71页已知,如图,梯形ABCD中,AD BC,A=900,对角线BD CD求证:(1)ABDDCB;(2)BD2=ADBCABCD证明:(1)AD BC,ADB=DBC A=BDC=90,ABDDCB(2)ABDDCB AD =BD BD BC即:BD2=ADBC第35页/共71页 如图,在直角梯形ABCDABCD中,AB,AB CD,CD,A=90A=900 0,AB=2,AD=5,P,AB=2,AD=5,P是ADAD上一动点(不与A A、D D重合),),，交于点（）ABPABP与与DPEDPE是否相似？请说明理由是否相似？请说明理由；（）设（）设x x=y=y，求，求y y与与x x之间的之间的函数关系式函数关系式,并指出自变量并指出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，四边形运动的过程中，四边形ABEDABED能能否构成矩形？如果能，求出否构成矩形？如果能，求出APAP的长；如果不能，的长；如果不能，请说明理由；请说明理由；（4 4）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，运动的过程中，BPEBPE能否成为等腰三角能否成为等腰三角形？如果能，求出形？如果能，求出APAP的长，如果不能，请说明理由。的长，如果不能，请说明理由。CABDPE25xy5-x第36页/共71页学以致用学以致用3、如图，在ABC中，ABC=90，AB=6，BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后 PBQ与原三角形相似？ABCQPQP第37页/共71页例：如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，PQAB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。灵感 智慧M1ABCPQABCPQM2第38页/共71页例：如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，PQAB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。灵感 智慧PQM3ABCN第39页/共71页ABCEF如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）AEF=90.观察图形：DABCEFD（2）若E为BC的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？（1）ABE 与ECF 是否相似？并证明你的结论。ABE ECF AEF问题问题1 1：第40页/共71页（1）点E为BC上任意一点，若 B=C=60,AEF=C,则ABE与 ECF的关系还成立吗？说明理由（2）点E为BC上任意一点若 B=C=,AEF=C,则ABE 与 ECF的关系还成立吗？C 60 60 60ABEFABCEFA BFCE606060CABEF ABE ECF第41页/共71页ABCEFDAFBCEDG（1）延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点，若 B=C=,AEF=C,连结AF.找出图中的相似三角形说出图中相等的角及边之间的关系（2）延长BA、CF相交于点D,且E为BC的中点，若 B=C=,AEF=C,当AEF旋转到如图位置时，上述关系还成立吗？问题问题2 2：善于运用类比、迁移的数学方法解决问题第42页/共71页CABEFABCEFABCEFABCEFDE为中点第43页/共71页变式：变式：.在直角梯形ABCF中，CB=14，CF=4,AB=6,CFAB,在边CB上找一点E,使以E、A、B为顶点的三角形和以E、C、F为顶点的三角形相似，则CE=_1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10,AB=8,则EF=_善于在复杂图形中寻找基本型5ADBCEFABCFEEE5.6或2或12注意分类讨论的数学思想第44页/共71页EBC DF2.已知：D为BC上一点，B=C=EDF=60,BE=6,CD=3,CF=4,则AF=_7A第45页/共71页EBCDFA变式：变式：已知：ABC中，AB=AC,BAC=120,D为BC的中点，且EDF=C,（1）若BECF=48,则AB=_（2）在（1）的条件下，若EF=m,则S DEF=_利用转化的数学思想HP8第46页/共71页（1 1）连接APAP、AQAQ、PQPQ，试判断APQAPQ的形状，并说明理由。（2 2）当t=1t=1秒时，连接ACAC，与PQPQ相交于点K.K.求AKAK的长。QPABCDK善于在复杂善于在复杂图形中寻找图形中寻找基本型基本型已知：菱形ABCD,AB=4m,B=60,ABCD,AB=4m,B=60,点P P、Q Q分别从点B B、C C出发，沿线段BCBC、CDCD以1m/s1m/s的速度向终点C C、D D运动,运动时间为t t秒.第47页/共71页EQABCDPNF（3 3）当t=2t=2秒时，连接APAP、PQ,PQ,将APQAPQ逆时针旋转，使角的两边与ABAB、ADAD、ACAC分别交于点E E、N N、F F，连接EF.EF.若AN=1,AN=1,求S SEPF.EPF.注意运用转注意运用转化的数学思化的数学思想想第48页/共71页（4 4）以OSOS为一边在SOCSOC内作SOT,SOT,使SOTSOT=BDC,OTBDC,OT边交BCBC的延长线于点T,T,若BT=4.8,BT=4.8,求AKAK的长。ASKDCBoT30 30 30(P)(Q)PQ第49页/共71页CABEDCABEDCABEDABCEDABCEDF OABCDP第50页/共71页1、已知：等边ABC 中，P为直线AC上一动点，连结BP,作BPQ=60,交直线BC于点N.(1)当P在线段AC上时，证明PAPC=AB CN(2)若P在AC的延长线上，上述关系是否成立？(3)若P在CA的延长线上，CN=1.5,BC=2,求AP、BP的长 NBCAQ NBCAQ NBCAQP606060PP第51页/共71页2、在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，OABC,OA=7,BC=3,COA=60,点P为线段OA上的一个动点，点P不与O、A重合，连结CP.（1）求点B的坐标。（2）点D为AB上一点，且AD:BD=3:5,连结PD,在OA上是否存在这样的点P,使CPD=BAO?若存在，求出直线PB的解析式，若不存在，请说明理由。OxyABCDP第52页/共71页FBCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tan ABC=（1 1）请在请在x x轴上找一点轴上找一点D D，使得，使得BDABDA与与BACBAC相似相似 （不包含全等），并求出点（不包含全等），并求出点D D的坐标；的坐标；（2 2）在（在（1 1）的条件下，如果）的条件下，如果P P、Q Q分别是分别是BABA、BDBD上上 的动点，连结的动点，连结PQPQ，设，设BPBPDQDQm m，问：问：是否存在这样的是否存在这样的m m，使得，使得BPQBPQ与与BDABDA相似？相似？如存在，请求出如存在，请求出m m的值；若不存在，请说明理由。的值；若不存在，请说明理由。用一用用一用OD（1）BDA BACCADABC tan CADABC=BC=4 AC=BCtan ABC=3 CD=ACtan CAD=3 =OD=OC+CD=1+=D(,0)第53页/共71页 用一用用一用BCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tan ABC=OD第54页/共71页 用一用用一用PQPQ(1)(1)当当PQADPQAD时，时，BPQ BPQ BADBAD则则即：即：解得：解得：(2)(2)当当PQPQ BDBD时，时，BPQ BPQ BDABDA则则即：即：解得：解得：BCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tan ABC=ODBCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tan ABC=OD第55页/共71页例2 如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，加工成正方形零件的边长为多少毫米？ABCDEPQMN第56页/共71页如果把正方形的零件改变为加工矩形零件,设DP=x，DE=y，写出y与x之间的函数关系式，试确定x的取值范围。PBACDEFMN如图，ABC是一 块余料，边AB=90厘米，高CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形 的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC、AC上 这个正方形零件的边长是多少？当DE是DP的1.5倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少?在问题3中，具体操作时，发现在AB线段上离B点34cm处有一蛀虫洞，请你确定一下，它是否影响余料的使用，说明理由。（量得BN=70cm）第57页/共71页PBACDEFMNBACDEF图一图二课外拓展:右图中，在一直角三角形余料中截出一个面积最大的正方形零件，应如何截取？（设正方形的三边分别是3、4、5、那么最大的面积是多少？）BAC第58页/共71页解：设正方形DEFP的边长为x厘米。因为DEAB，所以CDE CBA所以CMCN=DEAB因此 ，得 x=36（毫米）。答：-。60 x60=x90问题解答:PBACDEFMN第59页/共71页演变1：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=a，高AD=h，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。求（1）设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围。（2）当h=6，a=8时，请你求出面积等于9的矩形PQMN的边长PN。（3）按题设要求得到的无数个矩形中，是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于ABC的面积？如果能找到，请求出它们的边长，如果找不到，请你说明理由。第60页/共71页求（1）设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围。ABCDEPQMN(2)当h=6，a=8时，请你求出面积等于9的矩形PQMN的边长PN。（3）按题设要求得到的无数个矩形中，是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于ABC的面积？如果能找到，请求出它们的边长，如果找不到，请你说明理由。第61页/共71页演变2：把正方形PQMN换成等腰直角三角形PMN，直角顶点P在BC上,斜边MN的两个端点分别在AB,AC上,且斜边MNBC,结论改为“求等腰直角三角形PMN的面积”。CABPMNE第62页/共71页N120ABCPQ80第63页/共71页NABCDPQM12080第64页/共71页CAB6080变式3：第65页/共71页变式4：把正方形PQMN换成矩形PQMN，并增加条件矩形PQMN的周长为200mm，结果改为“求矩形PQMN的长和宽”ABCPQMND12080第66页/共71页变式5：把正方形PQMN改为矩形PQMN，并把“AD=80，BC=120”改为AD=6mm，BC=8mm”，把结果改为求设PN=x，矩形PQMN的面积为y，求y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围.当为PQ何值时，矩形PQMN的面积最大ABCPQMND86x第67页/共71页变式6：把正方形PQMN换成等腰直角三角形PMN，直角顶点P在BC上，斜边MN的两个端点分别在AB，AC上，且MN/BC，结论改为“求等腰直角三角形PMN的面积”ABCMNPDE12080第68页/共71页探索：如图梯形ABCD中，ABCD。已知。已知AB=25，AD=DC=16，问对角线，问对角线BD能否把梯形能否把梯形分成两个相似的三角形。若不能，请给出证明；分成两个相似的三角形。若不能，请给出证明；若能，求出的若能，求出的BC，BD长。长。BDCA161625第69页/共71页 再见第70页/共71页感谢您的观看！第71页/共71页
