线性代数B 矩阵秩习题s.pptx
秩(rank)是矩阵更深层的性质，是矩阵理论的核心概念秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在1879年首先提出的矩阵的秩是讨论线性方程组解的存在性、向量组的线性相关性等问题的重要工具矩阵的秩第1页/共49页课本2.6 矩阵的秩 一、矩阵的一、矩阵的秩的概念秩的概念二、矩阵的二、矩阵的秩的求法秩的求法第2页/共49页r行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵r行最简形矩阵行最简形矩阵c标准形标准形(形式不唯一形式不唯一)(形式唯一形式唯一)矩阵常用的三种特殊的等价形式：矩阵常用的三种特殊的等价形式：标准形由数r r完全确定，r r也就是A A的行阶梯形中非零行的行数 这个数便是矩阵A A的秩 一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念第3页/共49页r行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵r行最简形矩阵行最简形矩阵c标准形标准形(形式不唯一形式不唯一)(形式唯一形式唯一)矩阵常用的三种特殊的等价形式：矩阵常用的三种特殊的等价形式：由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可以借助行列式来定义矩阵的秩一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念第4页/共49页1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 1 1、k k 阶子式阶子式 例如 1 13 1是 A的一个二阶子式 说明 m n矩阵的k阶子式有 个.CknCkm定义1 在m n矩阵A中 任取 k 行 k 列位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式 第5页/共49页故r(A)=0 A=O规定 等于0 零矩阵的秩矩阵A的秩，记作 r(A)或 R(A)或 rank(A)或 秩(A)定义2 设在m n矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r 1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式 2 2、矩阵的秩、矩阵的秩第6页/共49页提示提示 例例1和例和例2综合综合 求矩阵求矩阵A和和B的秩的秩 其中其中 在在A中中 容易看出一容易看出一个个2阶子式阶子式 A的的3阶阶子子式式只只有有一一个个|A|经经计计算算可可知知|A|0 因因此此r(A)2 解解 以以3个个非非零零行行的的首首非零元为对角元的非零元为对角元的3阶子式阶子式是一个上三角行列式是一个上三角行列式 它显然它显然=24不等于不等于0 因此因此r(B)3 B是是一一个个有有3个个非非零零行行的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵 其其所所有有4阶阶子子式全为零式全为零 对于对于行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 它它的的秩秩就等于就等于非零行的行数非零行的行数 第7页/共49页3 3、矩阵的秩的性质、矩阵的秩的性质 (1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A)s 若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t (2)若A为m n矩阵 则 0 r(A)minm n r(Amn)minm n (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n 当|A|0时 r(A)n 可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。(3)r(A)r(AT)，第8页/共49页 在秩是在秩是r 的矩阵中的矩阵中,有没有等于有没有等于0的的r 1阶子式阶子式?有没有等于有没有等于0的的 r 阶子式阶子式?解答：解答：可能有可能有.例如例如 r(A)3 是等于是等于0的的2阶子式阶子式 是等于是等于0的的3阶子式阶子式 补充例补充例3第9页/共49页v定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B)根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩 二、矩阵的秩的求法二、矩阵的秩的求法问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。即初等变换不改变矩阵的秩.第10页/共49页因为 解 例4 求矩阵A的秩 并求A的一个最高阶非零子式 其中 所以r(A)3 为求A的最高阶非零子式 考虑由A的 1、2、4 列构成的矩阵 又因A0的子式所以这个子式是A的最高阶非零子式 行变换可见r(A0)3,行阶梯形矩阵第11页/共49页 例5即AB与B等价第12页/共49页 例6第13页/共49页小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.1.矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念2.2.求矩阵的秩的方法求矩阵的秩的方法(1)(1)定义法定义法把矩阵用把矩阵用初等行变换初等行变换化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵中中非零行的行数非零行的行数就是矩阵的秩就是矩阵的秩.寻找矩阵中非零子式的最高阶数寻找矩阵中非零子式的最高阶数;第14页/共49页P67:31练习题 P67:31,32 第15页/共49页P67:31练习题 P67:31,32 第16页/共49页P67:31练习题 P67:31,32 继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。第17页/共49页P67:32 练习题 P67:31,32 第18页/共49页P67:32 练习题 P67:31,32 第19页/共49页P21,2第20页/共49页P21,5(3)第21页/共49页P21,5(3)第22页/共49页习题习题1-5,P25:51-5,P25:5第23页/共49页第24页/共49页(4)P40:3(3)、(4),(3)第25页/共49页4P40-4第26页/共49页6P40-6第27页/共49页作业：作业：P46:1(1),7(1)P46:1(1),7(1)；P66:18P66:18 P46:1(1),第28页/共49页7(1)容易出错第29页/共49页P66:18第30页/共49页P66:22第31页/共49页P60:4(4),第32页/共49页P60:4(4),第33页/共49页P60 5(2)第34页/共49页第35页/共49页第36页/共49页第37页/共49页第38页/共49页第39页/共49页第40页/共49页第41页/共49页第42页/共49页第43页/共49页第44页/共49页第45页/共49页第46页/共49页第47页/共49页第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页
