线性代数—特征值问题和特征向量.pptx

1 本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题。第1页/共27页2第一节第一节 矩阵的特征值与特征向矩阵的特征值与特征向量量定义定义一、特征值与特征向量的基本概念一、特征值与特征向量的基本概念例如，第2页/共27页3一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：说明说明 1 1、特征值问题是针对方阵方阵而言的；2 2、特征向量必须是非零非零向量；3 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值 第3页/共27页4二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法 记称为矩阵A的特征多项式特征多项式，为矩阵A的特征方程特征方程。第4页/共27页5的根，即为矩阵A的特征值。特征方程即齐次线性方程组的非零解。而矩阵A属于特征根 的特征向量计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：第5页/共27页6例例1 设求A的特征值与特征向量。解解所以A的特征值为 第6页/共27页7相应齐次线性方程组的基础解系为第7页/共27页8相应齐次线性方程组的基础解系为第8页/共27页9相应齐次线性方程组的基础解系为第9页/共27页10例例2解解所以A的特征值为 设求A的特征值与特征向量。第10页/共27页11相应齐次线性方程组的基础解系为第11页/共27页12相应齐次线性方程组的基础解系为第12页/共27页13 对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为主对角元。第13页/共27页14三、特征值与特征向量的性三、特征值与特征向量的性质质 性质性质1 1证证(2)可推广到多个特征向量.第14页/共27页15 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。性质性质2 2属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况.证证(1)(2)推广推广第15页/共27页16性质性质3 3证证从而有相同的特征值.注意注意:第16页/共27页17性质性质4 4证证(2)重复这个过程,可得第17页/共27页18性质性质4 4证证(3)第18页/共27页19例例3多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则 有一个特征值 7.例例4证证幂等矩阵第19页/共27页20例例3多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,2,则 有一个特征值 7.例例4幂等矩阵练习:第20页/共27页21例例5解解由性质4,4,事实上，由可得第21页/共27页22四、特征多项式的性四、特征多项式的性质质 中出现,故有而常数项等于所以第22页/共27页23比较系数得性质性质5 5推论 方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零.第23页/共27页24例例6解解第24页/共27页25矩阵的迹的性质矩阵的迹的性质 证略。作业：习题四，1、4、6第25页/共27页26END第26页/共27页27感谢您的观看！第27页/共27页