选修 坐标系与参数方程.pptx
第1页/共25页一、一、平面直角坐标中的坐标伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点则称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.第2页/共25页二、极坐标系的建立：二、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位和再选定一个长度单位和角度单位角度单位及及它的正方向它的正方向（通常取逆时针方向）。（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XO第3页/共25页三、极坐标系内一点的极坐标的规定三、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用用 表示线段表示线段OM的长度，的长度，用用 表示从表示从OX到到OM 的的角度，角度，叫做点叫做点M的的极径极径，叫做点叫做点M的的极角极角，有序，有序数对数对（，）就叫做就叫做M的的极坐标极坐标。特别强调：特别强调：表示线段表示线段OM的长度的长度，即，即点点M到到极点极点O的距离的距离；表示从表示从OX到到OM的角度的角度，即，即以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。第4页/共25页1、负极径的定义、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是说明：一般情况下，极径都是正正值；在值；在某些必要情况下，极径也可以取某些必要情况下，极径也可以取负负值。值。对于点对于点M（，）为）为负极径时的规定：负极径时的规定：1作射线作射线OP，使，使 XOP=2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM=OXP M第5页/共25页2、正、负极径时，点的确定过程比较、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP1作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M，使，使 OM=31作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的上取一点的上取一点M，使，使 OM=3M画出点画出点（3，/4）和（和（3，/4）给定给定,在极坐标系中描点的方法：在极坐标系中描点的方法：先按极角先按极角找找到到极径所在的射线极径所在的射线，后，后按极径的正负和数值按极径的正负和数值在在这条射线或其反向延长线上描点。这条射线或其反向延长线上描点。M第6页/共25页3、负极径的实质、负极径的实质 从比较来看，负极径比从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射正极径多了一个操作，将射线线OP“反向延长反向延长”。OXPMOXPM 而反向延长也可以看成而反向延长也可以看成是旋转是旋转 ，因此，所谓因此，所谓“负负极径极径”实质是实质是管方向管方向的。这的。这与数学中通常的习惯一致，与数学中通常的习惯一致，用用“负负”表示表示“反向反向”。第7页/共25页负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为认为 0。因为负极径只在极少数情况用。因为负极径只在极少数情况用。第8页/共25页四、极坐标系下点与它的极坐标的四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况对应情况1给定（给定（,）,就可以在就可以在极坐标极坐标平面内确定唯一的平面内确定唯一的一点一点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但，但却有无数个极坐标与之对却有无数个极坐标与之对应。应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)第9页/共25页注意：注意：一般地一般地,若若(,)是一点的极是一点的极坐标坐标,则则(,+2k)、,+(2k+1)都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标.如果如果限定限定0,02或或,那么除那么除极点极点外外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就可以一一对应了可以一一对应了.第10页/共25页五五:极坐标与直角坐标的互化关系式极坐标与直角坐标的互化关系式:设点设点M的直角坐标是的直角坐标是(x,y)，极坐，极坐标是标是(,)1.极坐标极坐标转化为转化为直角坐标直角坐标公式：公式：x=cos,y=sin2.直角坐标直角坐标转化为转化为极坐标极坐标公式：公式：2=x2+y2，tan=(x0)yx第11页/共25页2.极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x轴的正半轴的正半 轴重合轴重合;3.两种坐标系的单位长度单位相同两种坐标系的单位长度单位相同.注意：互化公式的三个前提条件注意：互化公式的三个前提条件1.极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合;第12页/共25页曲线曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为 的圆圆心为(r,0),半径为 r的圆圆心为 ,半径为 r的圆六六.特殊曲线的极坐标方程特殊曲线的极坐标方程第13页/共25页过极点,倾斜角为 的直线 过点 ,与极轴垂直的直线过点 ,与极轴平行的直线第14页/共25页第15页/共25页一.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数 并且对于t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)在这 曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数 t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出的坐标间关系的方程叫做普通方程.第16页/共25页二.参数方程和普通方程的互化1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程不同形式,一般可以通过消去参数而从参方程得到普通方程.2.如果知道变数x,y 中的一个与参数t的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一.应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.。第17页/共25页三三.特殊曲线的参数方程特殊曲线的参数方程x x2 2+y+y2 2=r=r2 2注：注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。间的关系。2、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难或不可能直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。体现时，通过参数建立间接的联系。（为参数）（为参数）1.圆的参数方程圆的参数方程第18页/共25页2.椭椭圆的参数方程（圆的参数方程（ab）（为参数）（为参数）（为参数）其中其中称为称为离心角离心角,规定参数规定参数的取值范围是的取值范围是第19页/共25页3.抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)第20页/共25页 经过点 ，倾斜角为 的直线l的普通方程是 而过 ，倾斜角为 的直线l的参数方程为 。4.直线的参数方程（重点直线的参数方程（重点）第21页/共25页直线参数方程中参数的几何意义：t表示直线l上以 定点 为起点，任一点 为终点的有向线段 的数量当点 在 上方时，t0；当点 在 下方时，t0;当点 与 重合时，t=0。我们也可以把参数 t理解为以 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。4.参数参数t的几何意义的几何意义选修4-4：P36例1，P37例2第22页/共25页1.参数方程参数方程 是是椭圆的参数方程椭圆的参数方程.2.在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分分别是椭圆的长半轴长和短半轴长别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab另外另外,称为称为离心角离心角,规定参数规定参数的取值范围是的取值范围是2.椭椭圆的参数方程圆的参数方程（为参数）第23页/共25页 双曲线的参数方程 baoxy)MBA 双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换.说明：说明：这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页
