第01讲 二次函数与动点问题（一）(教师版)A4-精品文档整理-精品文档资料.docx

高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 二次函数与动点问题（一）知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数与动点问题（一）知识精讲二次函数与三角形综合1二次函数与等腰三角形存在性问题：解题思路：先找后求 （1）找法：已知三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下：（2）求法：分类讨论；设出点坐标，利用两腰长相等，列方程求解2二次函数与直角三角形综合二次函数与直角三角形存在性问题：解题思路：先找后求（1）找法：已知直角三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下： （2）求法：分类讨论；设出点坐标，利用勾股定理，列方程求解二二次函数与四边形综合动点与平行四边形存在性问题常见模型： 1两固两动型：两个固定点，两个动点构成平行四边形（1）分类讨论，分成两个固定点连线为平行四边形对边和对角线来讨论，利用对边平行且相等找出所有的存在的情况（2）设出一个动点坐标，利用中点公式法算出另外一个点的表达式，代入另一个点所在函数关系式2三固一动型：三个固定点，一个动线构成平行四边形（1）分类讨论，可以利用大三角的方法来找出所有的点大三角：连接三个固定点形成一个三角形，过每个顶点做对边的平行线，三个平行线交点即为要找的点（2）利用中点公式法，求出点坐标中点坐标公式：若，为坐标系内任意两点，则中点的坐标为中点公式法：设出点坐标，利用线段的中点都为点，即可求出点坐标总结：二次函数与四边形综合问题常用的解题方法是：设出动点坐标，然后用点的坐标表示线段长度，进而建立方程求出动点坐标三点剖析一 考点：二次函数与三角形，二次函数与四边形二重难点：二次函数与三角形，二次函数与四边形三易错点：二次函数与四边形综合问题最容易出现的问题就是分类讨论不彻底导致漏解，解题时务必审清题意，按照模型分类讨论二次函数与三角形，四边形综合题模精讲题模一：三角形存在性问题例1.1.1如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B抛物线y=a（x2）2+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，（1）求a，k的值；（2）在图中求一点Q，A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使ABM的周长最小？若存在，求ABM的周长；若不存在，请说明理由；（4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）1（2）Q点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）（3）ABM的周长的最小值为3+（4）存在满足条件的N点，其坐标为（2，1）或（2，2）【解析】（1）在y=3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，可求得y=3，A（1，0），B（0，3），分别代入y=a（x2）2+k，可得，解得，即a为1，k为1；（2）由（1）可知抛物线解析式为y=（x2）21，令y=0，可求得x=1或x=3，C（3，0），AC=31=2，AB=，过B作平行x轴的直线，在B点两侧分别截取线段BQ1=BQ2=AC=2，如图1，B（0，3），Q1（2，3），Q2（2，3）；过C作AB的平行线，在C点分别两侧截取CQ3=CQ4=AB=，如图2，B（0，3），Q3、Q4到x轴的距离都等于B点到x轴的距离也为3，且到直线x=3的距离为1，Q3（2，3）、Q4（4，3）；综上可知满足条件的Q点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）；（3）由条件可知对称轴方程为x=2，连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图3，A、C两点关于对称轴对称，AM=MC，BM+AM最小，ABM周长最小，B（0，3），C（3，0），可设直线BC解析式为y=mx+3，把C点坐标代入可求得m=1，直线BC解析式为y=x+3，当x=2时，可得y=1，M（2，1）；存在满足条件的M点，此时BC=3，且AB=，ABM的周长的最小值为3+；（4）由条件可设N点坐标为（2，n），则NB2=22+（n3）2=n26n+13，NA2=（21）2+n2=1+n2，且AB2=10，当ABN为以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得NB2+NA2=AB2，n26n+13+1+n2=10，解得n=1或n=2，即N点坐标为（2，1）或（2，2），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（2，1）或（2，2）例1.1.2如图，已知抛物线y=x2x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）点A坐标（2，0），点B坐标（4，0），点C坐标（0，2）（2）（3）M坐标为（1，1）或（1，2+）或（1，2）【解析】（1）令y=0得x2x+2=0，x2+2x8=0，x=4或2，点A坐标（2，0），点B坐标（4，0），令x=0，得y=2，点C坐标（0，2）（2）由图象AB为平行四边形的边时，AB=EF=6，对称轴x=1，点E的横坐标为7或5，点E坐标（7，）或（5，），此时点F（1，），以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=当点E在抛物线顶点时，点E（1，），设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=×6×=（3）如图所示，当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1NOC于N，在RTCM1N中，CN=，点M1坐标（1，2+），点M2坐标（1，2）当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，直线AC解析式为y=x+2，线段AC的垂直平分线为y=x与对称轴的交点为M3（11），点M3坐标为（1，1）当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在综上所述点M坐标为（1，1）或（1，2+）或（1，2）例1.1.3如图1在平面直角坐标系中等腰RtOAB的斜边OA在x轴上P为线段OB上动点（不与O，B重合）过P点向x轴作垂线垂足为C以PC为边在PC的右侧作正方形PCDMOP=t、OA=3设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx其顶点N（m，n）（1）写出t的取值范围 ，写出M的坐标：（ ， ）；（2）用含a，t的代数式表示b；（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）求t的值；若N在OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围【答案】（1）0t；M（2t，t）（2）b=（3）t=1；a，m2【解析】（1）如图1，OAB为等腰直角三角形，OA=3，OB=AB=，P为线段OB上动点（不与O，B重合），0t，0t，四边形PCDM为正方形，PCO=90°，POC=45°，POC为等腰直角三角形，OP=t，PC=OC=t，OD=t+t=2t，M（2t，t）；（2）把M（2t，t）代入到y=ax2+bx中得：t=4at2+2tb，1=4at+2b，b=；（3）如图2，OB=，OP=t，PB=t，PMOA，t=1；由（2）得：b=2a，即4a=12b，顶点N（，）（a0，b0），i）当0时，即a时，解得a，a，ii）当3时，即a，3（），b24b+30，1b3，12a3，a，则a，综上所述：a的取值为：a，m=1，得：4am=4a1，a=，m2题模二：四边形存在性问题例1.2.1已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧点B的坐标为（1，0），OC=3OB（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2+x3；（2）12；（3）存在，P1（3，3），P2（，3），P3（，3）【解析】（1）B的坐标为（1，0），OB=1OC=3OB=3，点C在x轴下方，C（0，3）将B（1，0），C（0，3）代入抛物线的解析式得：，解得：a=，C=3，抛物线的解析式为y=x2+x3（2）如图1所示：过点D作DEy，交AC于点Ex=，B（1，0），A（4，0）AB=5SABC=ABOC=×5×3=7.5设AC的解析式为y=kx+b将A（4，0）、C（0，3）代入得：，解得：k=，b=3，直线AC的解析式为y=x3设D（a，a2+a3），则E（a，a3）DE=a3（a2+a3）=（a+2）2+3，当a=2时，DE有最大值，最大值为3ADC的最大面积=DEAO=×3×4=6四边形ABCD的面积的最大值为12（3）存在如图2，过点C作CP1x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形C（0，3），令x2+x3=3，x1=0，x2=3P1（3，3）平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC=P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC=P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形C（0，3），P2，P3的纵坐标均为3令y=3得：x2+x3=3，解得；x1=，x2=P2（，3），P3（，3）综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（3，3），P2（，3），P3（，3）例1.2.2边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点 E在第一象限，且DEDC，DE=DC以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点（1）求E点坐标；（2）设抛物线的解析式为y=a（xh）2+k，求a，h，k；（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点M，N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（3，1）（2）a=；h=2；k=（3）存在；N（2，），M（2，）；N（0，2），M（2，3）；M（2，1），N（4，2）【解析】（1）过点E作EFx轴于点F，如图1，DEDC，CDO+EDF=90°，CDO+OCD=90°，OCD=EDF，在COD和DFE中CODDFE（AAS），OD=EF，DF=CO，CO=OA=2，D为OA中点，EF=OD=DA=1，DF=OC=2，E（3，1）；（2）抛物线y=a（xh）2+k以AB为对称轴，h=2，y=a（xh）2+k经过C（0，2）和E（3，1）两点，解得：；（3）若以DE为平行四边形的对角线，如图2，此时，N点就是抛物线的顶点（2，），由N、E两点坐标可求得直线NE的解析式为：y=x；DMEN，设DM的解析式为：y=，将D（1，0）代入可求得b=，DM的解析式为：y=，令x=2，则y=，M（2，）；过点C作CMDE交抛物线对称轴于点M，连接ME，如图3，CMDE，DECD，CMCD，OCCB，OCD=BCM，在OCD和BCM中，OCDBCM（ASA），CM=CD=DE，BM=OD=1，CDEM是平行四边形，即N点与C占重合，N（0，2），M（2，3）；N点在抛物线对称轴右侧，MNDE，如图4，作NGBA于点G，延长DM交BN于点H，MNED是平行四边形，MDE=MNE，ENH=DHB，BNDF，ADH=DHB=ENH，MNB=EDF，在BMN和FED中BMNFED（AAS），BM=EF=1，BN=DF=2，M（2，1），N（4，2）；综上所述，N、M分别以下组合时，以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形N（2，），M（2，）；N（0，2），M（2，3）；M（2，1），N（4，2）随堂练习随练1.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求ABM的面积（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】（1）把A（3，0）B（0，3）代入y=x2+mx+n，得，解得：，所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，3）代入y=kx+b，得：，解得：，所以直线AB的解析式是y=x3；（2）设点P的坐标是（t，t3），则M（t，t22t3），p在第四象限，PM=（t3）（t22t3）=t2+3t=（t）2+，当t=时，二次函数取得最大值，即PM最长值为，则SABM=SBPM+SAPM=××3=（3）存在，理由如下：PMOB，当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3当P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；当P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是所以P点的横坐标是或随练1.2如图，抛物线y=ax2+bx5与x轴相交于A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点MP是抛物线上一个动点（点P、M、C不在同一条直线上），分别过点A、B作ADCP，BECP，垂足分别为点D、E，连接MD、ME（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限内，使SPAB=SPAC，求点P的坐标；（3）点P在运动过程中，MDE能否为等腰直角三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由【答案】（1）y=x2+6x5（2）（4，3）（3）MDE能成为等腰直角三角形，（，）【解析】（1）将点A、B的坐标代入得：，解得：a=1，b=6，抛物线的解析式为y=x2+6x5（2）如图1所示：记PC与x轴的交点为F令x=0，得y=5，C（0，5）设直线PC的解析式为y=kx5，点P的坐标为（a，a2+6a5）将点P的坐标代入PC的解析式得：ka=a2+6a5解得：a=0（舍去），k=6a直线PC的解析式为y=（6a）x5令y=0得：（6a）x5=0解得：x=点F的坐标（，0）SPAB=SPAC，（1）（a2+6a5+5）=×（a2+6a5）解得：整理得：a25a+4=0解得：a=1（舍去），a=4当a=4时，a2+6a5=16+245=3点P的坐标为（4，3）（3）抛物线解析式为y=x2+6x5，对称轴是直线x=3M（3，0）当MED=90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；同理：当MDE=90°时，不成立；当DME=90°时，如图2所示：设直线PC与对称轴交于点N，EMDM，MNAM，EMN=DMAMDE=45°，EDA=90°，MDA=135°MED=45°，NEM=135°ADM=NEM=135°在ADM与NEM中， ，ADMNEM（ASA）MN=MAMN=MA=2，N（3，2）设直线PC解析式为y=kx+b，将点N（3，2），C（0，5）代入直线的解析式得；，解得： 直线PC的解析式为y=x5将y=x5代入抛物线解析式得：x5=x2+6x5，解得：x=0或x=，当x=0时，交点为点C；当x=时，y=x5=P（，）综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）随练1.3如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线为y=x+3（1）求该二次函数的关系式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）二次函数解析式为y=x24x+3（2）M1（2，7），M2（2，21），M3（2，），M4（2，21）（3）点Q坐标（0，0）或（，0）【解析】（1）直线y=x+3经过B、C两点，B（3，0），C（0，3），二次函数y=x2+bx+c图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，解得，二次函数解析式为y=x24x+3（2）y=x24x+3=（x2）21，该抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为P（2，1），如图1所示，满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，21），M3（2，），M4（2，21）（3）由（1）（2）得A（1，0），BP=，BC=3，AB=2，如图2所示，连接BP，CBA=ABP=45°，时，ABCPBQ1，此时，BQ1=3，Q1（0，0）当时，ABCQ2BP，此时，BQ2=，Q2（，0），综上所述，存在点Q使得以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似点Q坐标（0，0）或（，0）随练1.4如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+2x；C的坐标（1，3）（2）见解析（3）存在点N；满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（5，0）【解析】（1）顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为y=a（x1）2+1，又抛物线过原点，0=a（01）2+1，得a=1，抛物线解析式为y=（x1）2+1，即y=x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得 ，得 或 ，B（2，0），C（1，3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45°，即ABC=90°，ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，x2+2x），ON=|x|，MN=|x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分别求得AB=，BC=3，MNx轴于点NABC=MNO=90°，当ABC和MNO相似时有= 或=，当=时，则有 = ，即|x|x+2|=|x|，当x=0时M、O、N不能构成三角形，x0，|x+2|=，即x+2=±，得x= 或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；当=时，则有=，即|x|x+2|=3|x|，|x+2|=3，即x+2=±3，得x=5或x=1，此时N点坐标为（1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（5，0）随练1.5如图，抛物线过点，且经过直线与x轴的交点B及与y轴的交点C（1）求点B、C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）求抛物线的顶点M的坐标；（4）在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由yxO11【答案】（1）；（2）（3）（4）；【解析】该题考查的是代几综合（1）在中，分别令和，得和， ， 2分（2） 抛物线过点、， 设抛物线的解析式为：， 抛物线过点， ， ， 抛物线的解析式为：， 4分即（3）由，得， 抛物线的顶点 5分（4）如图，存在满足条件的和 作MNy轴于点N，则CNM=90° ， MN=NC=1 MCN=45°COB=90°， OCB=45° BCM=90° 6分 要使点P在直线y =x-3上，必有PC=MC.MPC=CMP=45°则过点M分别作轴和轴的垂线，交直线于点和.在中，分别令，得，则 和 8分随练1.6如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由【答案】（1）y=x2+2x+3， y=x+1（2）（3）能；（0，1）或（，）或（，）【解析】（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3），可得：，解得：，故抛物线为y=x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（1，0）、C（2，3）代入得：，解得：，故直线AC为y=x+1（2）作N点关于直线x=3的对称点N，则N（6，3），由（1）得D（1，4），可求出直线DN的函数关系式为y=x+，当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，则m=×3+=（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）点E在直线AC上，设E（x，x+1），当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），F在抛物线上，x+3=x2+2x+3解得，x=0或x=1（舍去），则点E的坐标为：（0，1）当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x1），点F在抛物线上，x1=x2+2x+3，解得x=或x=，即点E的坐标为：（，）或（，）综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（，）或（，）随练1.7如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2+3x（2）D坐标为（1，）（3）满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（1，0），N4（1，0）【解析】（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=，则抛物线解析式为y=（x2）2+3=x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DMAN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，N1（2，0），N2（6，0）；当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQx轴于点Q，过点M作MPx轴于点P，可得ADQNMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将yM=代入抛物线解析式得：=x2+3x，解得：xM=2或xM=2+，xN=xM3=1或1，N3（1，0），N4（1，0）综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（1，0），N4（1，0）随练1.8已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、B点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP（1）求此二次函数的解析式；（2）如图，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；（3）如图，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y=x2+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2+x+4（2）P（2，0）时，GC的最大值是1（3）存在点Q（6，6）或（6，2），使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形【解析】（1）B（4，4），AB=BC=4，四边形ABCO是正方形，OA=4，A（0，4），将点A（0，4），B（4，4）代入y=x2+bx+c得，解得二次函数解析式为y=x2+x+4；（2）P（t，0），OP=t，PC=4t，APPG，APO+CPG=180°90°=90°，OAP+APO=90°，OAP=CPG，又AOP=PCG=90°，AOPPCG，即，整理得，GC=（t2）2+1，当t=2时，GC有最大值是1，即P（2，0）时，GC的最大值是1；（3）存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形理由如下：如图1、2，易得OAP=COD，在AOP和OCD中，AOPOCD（ASA），OP=CD由P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形得，PCDQ且PC=DQ，P（t，0），D（4，t），PC=DQ=|t4|，点Q的坐标为（t，t）或（8t，t），当Q（t，t）时，t2+t+4=t，整理得，t2+2t24=0，解得t1=4（舍去），t2=6，当Q（8t，t）时，（8t）2+（8t）+4=t，整理得，t26t+8=0，解得t1=2，t2=4（舍去），综上所述，存在点Q（6，6）或（6，2），使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形自我总结 课后作业作业1已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧点B的坐标为，（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）对称轴，又，方法一：把、代入得：，解得：方法二：，可令，把代入得：（2）方法一：过点D作DMy轴分别交线段AC和x轴于点M、N，设直线AC的解析式为代入求得：，令，当时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值方法二：过点D作DQy轴于Q，过点C作x轴交抛物线于，从图象中可判断当嗲D在下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值则 令则 当时，四边形ABCD面积有最大值（3）如图所示，讨论：过点C作x轴交抛物线于点，过点作AC交x轴于点，此时四边形为平行四边形，令，得：作业2如图，抛物线y=（x2）2+4交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），其顶点为C，将抛物线沿x轴向左平移m（m0）个单位，点B、C平移后的对应点为D、E，且两抛物线在x轴的上方交于点P，连接PA、PD（1）判断PAD能否为直角三角形？若能，求m的值；若不能，说明理由；（2）若点F在射线CE上，当以A、C、F为顶点的三角形与PAD相似时，求m的值【答案】（1）PAD不能成为直角三角形（2）m=3【解析】（1）令x=0，则（x2）2+4=0，解得x=1或5，A（1，0），B（5，0），C（2，4），如图1中，过点P作PQAD于Q，根据对称性可知PA=PD，PAD是等腰三角形，设D（5m，0），则Q（，0），P（，），若PAD是直角三角形，则PAD是等腰直角三角形，APD=90°，AD=2PQ，（5m）+1=2（），整理得2m29m18=0，解得m=6或m=，m0，m=6，当m=6时，P（1，0）与点A重合，故舍弃PAD不能成为直角三角形（2）由（1）可知，PAD是等腰三角形，连接AC，则CADPAD=PDA，CEAD，FCA=CADPAD=PDA，以A、C、F为顶点的三角形与PAD相似，只存在CAFPAD这种情形，CA=CF，如图2中，过点C作CMx轴于点M，则点M（2，0），AC=5，CF=5，F（3，4），过点A作ANCF于点N，则点N（1，0）过点A作AGPD于点G，则APG=ACN，tanAPG=tanACN=，设PG=3x，则AG=4x，AP=5x，DG=5x3x=2x，AD=2x，ADPQ=PDAG，PQ=2x=AD，=5m+1，整理得m29m+18=0，解得m=3或m=6当m=6时，P（1，0）与点A重合，故舍弃，m=3作业3如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由（3）如图，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a（x1）（x4），代入C（0，3）得3=4a，解得a=，y=（x1）（x4）=x2x+3，所以，抛物线的解析式为y=x2x+3（2）A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），OA=1，OC=3，BC=5，OC+OA+BC=1+3+5=9；在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9（3）B（4，0）、C（0，3），直线BC的解析式为y=x+3，当BQM=90°时，如图2，设M（a，b），CMQ90°，只能CM=MQ=b，MQy轴，MQBCOB，即，解得b=，代入y=x+3得，=a+3，解得a=，M（，）；当QMB=90°时，如图3，CMQ=90°，只能CM=MQ，设CM=MQ=m，BM=5m，BMQ=COB=90°，MBQ=OBC，BMQBOC，解得m=，作MNOB，即，MN=，CN=，ON=OCCN=3=，M（，），综上，在线段BC上存在这样的点M，使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形，点M的坐标