第01讲 圆的综合（一）(教师版)A4-精品文档整理.docx

高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 圆的综合（一）知识图谱错题回顾顾题回顾圆的综合（一）知识精讲一 圆与函数1垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧2切线的性质性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心注意事项：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心，垂直于切线过切点过圆心，则过切点过切点，垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心3切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线二 圆的新定义所谓“圆的新定义问题”，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已学的圆的知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型. “新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点. 在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力.三点剖析一 考点：圆与函数，圆的新定义二重难点：圆与函数，圆的新定义三易错点：1圆与一次函数：圆与一次函数的结合主要考虑到相切的情况求取值范围，利用垂径定理或者切线的性质和定理进行求解；2圆与二次函数：圆与二次函数基本上结合了二次函数和圆的性质，需要借助图像来进行分析；3圆与反比例函数：圆与反比例函数出现的较少，要注意到反比例函数的对称性，再结合圆的条件来进行分析解答圆与函数题模精讲题模一：圆与函数例1.1.1如图，P为正比例函数y=x图象上的一个动点，P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）（1）求P与直线x=2相切时点P的坐标（2）请直接写出P与直线x=2相交、相离时x的取值范围【答案】（1）点P的坐标为（5，）或（1，）；（2）当1x5时，P与直线x=2相交，当x1或x5时，P与直线x=2相离【解析】（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A；当点P在直线x=2右侧时，AP=x2=3，得x=5；P（5，）；当点P在直线x=2左侧时，PA=2x=3，得x=1，P（1，），当P与直线x=2相切时，点P的坐标为（5，）或（1，）；（2）当1x5时，P与直线x=2相交当x1或x5时，P与直线x=2相离例1.1.2如图所示，扇形OAB的半径OA=r，圆心角AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，点M在DE上，DM=2EM，过点C的直线PC交OA的延长线于点P，且CPD=CDE（1）求证：DM=r；（2）求证：直线PC是扇形OAB所在圆的切线；（3）设y=CD2+3CM2，当CPO=60°时，请求出y关于r的函数关系式【答案】（1）见解析（2）见解析（3）y=r2【解析】（1） 证明：连接OC，点C是上异于A、B的点，又CDOA于点D，CEOB于点E，ODC=OEC=AOB=90°，四边形ODCE是矩形，DE=OCOC=OA=r，DE=r又DM=2EM，DM=DE=r；（2）证明：设OC与DE交于点F，则在矩形ODCE中，FC=FD，CDE=DCO，又CPD+PCD=90°，CPD=CDE，DCO+PCD=90°，即PCOC于点C，又OC为扇形OAB的半径，PC是扇形OAB所在圆的切线；（3）过C作CHDE于点HOCD=CDH=CPO=60°，在RtOCD和RtCDH中，得CD=OC=r，DH=CD=r，CH=r又MH=DM-DH=r-r=r，在RtCMH中，得CM2=MH2+CH2=(r)2+(r)2=r2，则y=CD2+3CM2，=(r)2+3×r2=r2例1.1.3如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点（1）求出A，B两点的坐标；（2）有一开口向下的抛物线y=a（x-h）2+k经过点A，B，且其顶点在C上试确定此抛物线的表达式【答案】（1）A（1-，0），点B（+1，0）（2）y=-（x-1）2+3=-x2+2x+2【解析】（1）过点C作CDAB，垂足为D，则CD=1，CA=CB=2，DB=DA=点A（1-，0），点B（+1，0）；（2）延长DC，交C于点P由题意可知，P为抛物线的顶点，并可求得点P（1，3），h=1，k=3，设此抛物线的表达式为y=a（x-1）2+3，又抛物线过点B（+1，0），则0=a(+1-1)2+3，得a=-1，所以此抛物线的解析式为y=-（x-1）2+3=-x2+2x+2例1.1.4如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A（0，2）（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交；（3）设P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1x2）两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标【答案】（1）a=，b=c=0（2）见解析（3）0或4+2或4-2【解析】（1）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，抛物线的一般式为：y=ax2，=a（）2，解得：a=±，图象开口向上，a=，抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；（2）设P（x，y），P的半径r=，又y=x2，则r=，化简得：r=x2，点P在运动过程中，P始终与x轴相交；（3）设P（a，a2），PA=，作PHMN于H，则PM=PN=，又PH=a2，则MH=NH=2，故MN=4，M（a-2，0），N（a+2，0），又A（0，2），AM=，AN=，当AM=AN时，=，解得：a=0，当AM=MN时，=4，解得：a=2±2，则a2=4±2；当AN=MN时，=4，解得：a=-2±2，则a2=4±2；综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4-2题模二：圆与新定义例1.2.1我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点CyCMAO B xD第25题图（1）求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式；（2）求经过点D的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E是“蛋圆”上一点（不与点A、点B重合），点E关于x轴的对称点是F，若点F也在“蛋圆”上，求点E的坐标【答案】（1）（2）（3）或或或【解析】本题考察的是圆和二次函数的综合题解：（1）由题意得：，GC是M的切线，cos，直线GC的表达式为（2）设过点D的直线表达式为，或，或，过点D的“蛋圆”的切线的表达式为（3）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设，则点F的坐标为EF与x轴交于点H，连接EM，点F在二次函数的图象上，解由组成的方程组得：；(舍去)由对称性可得：；或或或例1.2.2在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P（x+y，xy）（1）如图1，如果O的半径为2，请你判断M（2，0），N（2，1）两个点的变换点与O的位置关系；若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P在O的内，求点P横坐标的取值范围（2）如图2，如果O的半径为1，且P的变换点P在直线y=2x+6上，求点P与O上任意一点距离的最小值【答案】（1）变换点在O上；变换点在O外；P横坐标的取值范围为2x0；2x0（2）1【解析】（1）M（2，0）的变换点M的坐标为（2，2），则OM=2，所以点M（2，0）的变换点在O上；N（2，1）的变换点N的坐标为（3，1），则ON=2，所以点N（2，1）的变换点在O外；设P点坐标为（x，x+2），则P点的变换点为P的坐标为（2x+2，2），则OP=，点P在O的内，2，（2x+2）24，即（x+1）21，1x+11，解得2x0，即点P横坐标的取值范围为2x0；（2）设点P的坐标为（x，2x+6），P（m，n），根据题意得m+n=x，mn=2x+6，3m+n=6，即n=3m+6，P点坐标为（m，3m+6），点P在直线y=3x+6上，设直线y=3x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OHAB于H，交O于C，如图2，则A（2，0），B（0，6），AB=2，OHAB=OAOB，OH=，CH=1，即点P与O上任意一点距离的最小值为1例1.2.3在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r（r1），P是圆内与圆心C不重合的点，C的“完美点”的定义如下：若直线CP与C交于点A，B，满足|PAPB|=2，则称点P为C的“完美点”，如图为C及其“完美点”P的示意图（1）当O的半径为2时，在点M（，0），N（0，1），T（，）中，O的“完美点”是_；若O的“完美点”P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标；（2）C的圆心在直线y=x+1上，半径为2，若y轴上存在C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围【答案】（1）N，T（，）或（，）（2）12t1+2【解析】（1）点M（，0），设O与x轴的交点为A，B，O的半径为2，取A（2，0），B（2，0），|MAMB|=|（+2）（2）|=42，点M不是O的“完美点”，同理：点N，T是O的“完美点”故答案为N，T；如图1，根据题意，|PAPB|=2，|OP+2（2OP）|=2，OP=1若点P在第一象限内，作PQx轴于点Q，点P在直线上，OP=1，OQ=，PQ=P（，）若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为（，）综上所述，PO的长为1，点P的坐标为（，）或（，）（2）对于C的任意一个“完美点”P都有|PAPB|=2，|CP+2（2CP）|=2CP=1对于任意的点P，满足CP=1，都有|CP+2（2CP）|=2，|PAPB|=2，故此时点P为C的“完美点”因此，C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆设直线与y轴交于点D，如图2，当C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小设切点为E，连接CE，C的圆心在直线y=x+1上，此直线和x轴，y轴的交点C（0，1），F（，0），OF=，OD=1，CEOF，DOFDEC，DE=2t的最小值为12当C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大同理可得t的最大值为1+2综上所述，t的取值范围为12t1+2随堂练习随练1.1在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的O上，连接OC，过O点作ODOC，OD与O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB（1）当OCAB时，BOC的度数为_；（2）连接AC，BC，当点C在O上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的面积的最大值（3）连接AD，当OCAD时，求出点C的坐标；直线BC是否为O的切线？请作出判断，并说明理由【答案】（1）45°或135°；（2）第三象限的角平分线与圆的交点位置，9+18；（3）（-，）；（4）相切【解析】（1）点A（6，0），点B（0，6），OA=OB=6，OAB为等腰直角三角形，OBA=45°，OCAB，当C点在y轴左侧时，BOC=OBA=45°；当C点在y轴右侧时，BOC=90°+OBA=135°；（2）OAB为等腰直角三角形，AB=OA=6，当点C到AB的距离最大时，ABC的面积最大，过O点作OEAB于E，OE的反向延长线交O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，OE=AB=3，CE=OC+OE=3+3，ABC的面积=CEAB=×（3+3）×6=9+18当点C在O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，ABC的面积最大，最大值为9+18（3）如图，过C点作CFx轴于F，OCAD，COF=DAO，又ADO=CFO=90°RtOCFRtAOD，=，即=，解得CF=，在RtOCF中，OF=，C点坐标为（-，）；故所求点C的坐标为（-，）当C点坐标为（-，）时，直线BC是O的切线理由如下：在RtOCF中，OC=3，CF=，COF=30°，OAD=30°，BOC=60°，AOD=60°，在BOC和AOD中，BOCAOD（SAS），BCO=ADO=90°，OCBC，直线BC为O的切线；随练1.2如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D（1）求直线l的解析式；（2）将O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当O2第一次与O1外切时，求O2平移的时间【答案】（1）y=-x-12（2）5秒【解析】（1）由题意得OA=|-4|+|8|=12，A点坐标为（-12，0）在RtAOC中，OAC=60°，OC=OAtanOAC=12×tan60°=12C点的坐标为（0，-12）设直线l的解析式为y=kx+b，由l过A、C两点，得，解得直线l的解析式为：y=-x-12（2）如图，设O2平移t秒后到O3处与O1第一次外切于点P，O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1则O1O3=O1P+PO3=8+5=13O3D1x轴，O3D1=5，在RtO1O3D1中，O1D1=12O1D=O1O+OD=4+13=17，D1D=O1D-O1D1=17-12=5，t=5（秒）O2平移的时间为5秒随练1.3如图，O是O为圆心，半径为的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点（1）若OA=OB求k；若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作O的两条切线，切点分别为C、D，若CPD=90°，求点P的坐标；（2）若k=-，且直线y=kx+b分O的圆周为1：2两部分，求b【答案】（1）k=-1P（1，3）或（3，1）（2）b=±【解析】（1）由OA=OB，设A点坐标（a，0），则点B的坐标（0，a），把这两点代入直线的解析式y=kx+b得：，解得：k=-1由题意得，RtPOCRtPOD，CPO=DPO=CPD=45°，OP=OC=R=，又直线的函数解析式y=-x+4，故设P点坐标（x，-x+4）OP=，解得：x=1或3P（1，3）或（3，1）（2）由题意得，当直线被切割的弦所对的圆周角为120°时，弦长为2Rsin60°=R时，弦分圆周为1：2，符合题意，联立直线和圆的方程得，将代入消去y得x2+（-x+b）2=5，即x2-bx+b2-5=0利用根与系数的关系可得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=b2-b2+16=-b2+16，将代入消去x得 （2b-2y）2+y2=5，即5y2-8by+4b2-5=0利用根与系数的关系可得（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=b2-b2+16=-b2+16，将解得的两交点坐标用两点间距离公式得=R解得：b=±随练1.4如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4，-），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式【答案】（1）y=x2-x+2，A（2，0），B（6，0）（2）最小值为2（3）y=-x+2【解析】（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-4）2-（a0）抛物线经过（0，2）a（0-4）2-=2解得：a=y=（x-4）2-即：y=x2-x+2当y=0时，x2-x+2=0解得：x=2或x=6A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小B（6，0），C（0，2）OB=6，OC=2BC=2，AP+CP=BC=2AP+CP的最小值为2；（3）如图3，连接MECE是M的切线MECE，CEM=90°由题意，得OC=ME=2，ODC=MDE在COD与MED中CODMED（AAS），OD=DE，DC=DM设OD=x则CD=DM=OM-OD=4-x则RtCOD中，OD2+OC2=CD2，x2+22=（4-x）2x=D（，0）设直线CE的解析式为y=kx+b（k0），直线CE过C（0，2），D（，0）两点，则解得：直线CE的解析式为y=-x+2；随练1.5在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作M使M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM点P是上的动点（1）写出AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OPOQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E当动点P与点B重合时，求点E的坐标；连接QD，设点Q的纵坐标为t，QOD的面积为S求S与t的函数关系式及S的取值范围【答案】（1）90°（2）（5，0）；5S10【解析】（1）过点M作MHOD于点H，点M（，），OH=MH=，MOD=45°，AOD=90°，AOM=45°，OM=AM，OAM=AOM=45°，AMO=90°，AMB=90°；（2）OH=MH=，MHOD，OM=2，OD=2OH=2，OB=4，动点P与点B重合时，OPOQ=20，OQ=5，OQE=90°，POE=45°，OE=5，E点坐标为（5，0）OD=2，Q的纵坐标为t，S=×2t=t如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QFx轴，垂足为F点，OP=4，OPOQ=20，OQ=5，OFC=90°，QOD=45°，t=QF=，此时S=×=5；如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，OP=2，OPOQ=20，t=OQ=5，此时S=×5=10；S的取值范围为5S10随练1.6对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使PMN为正三角形，则称图形G为点P的型线，点P为图形G的型点，PMN为图形G关于点P的型三角形（1）如图1，已知点，以原点O为圆心的O的半径为1在A，B两点中，O的型点是_，画出并回答O关于该型点的型三角形；（画出一个即可）（2）如图2，已知点，点（其中m0）若线段EF为原点O的型线，且线段EF关于原点O的型三角形的面积为，求m的值；（3）若是抛物线的型点，直接写出n的取值范围【答案】（1）A，图形见解析（2）（3）【解析】（1）点A1分画图见图（画出一个即可） 2分AMN（或AJK）. 3分（2）如图，作OLEF于点L. 线段EF为点O的型线， OL即为线段EF关于点O的型三角形的高.线段EF关于点O的型三角形的面积为，. 4分 ， . . .6分（3）.8分随练1.7在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P，满足CP+CP=2r，则称P为点P关于C的反称点，如图为点P及其关于C的反称点P的示意图特别地，当点P与圆心C重合时，规定CP=0（1）当O的半径为1时分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；点P在直线y=x+2上，若点P关于O的反称点P存在，且点P不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于C的反称点P在C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围【答案】（1）点M（2，1）关于O的反称点不存在；N（，0）关于O的反称点存在，反称点N（，0）；T（1，）关于O的反称点存在，反称点T（0，0）；0x2；（2）圆心C的横坐标的取值范围是2x8【解析】（1）当O的半径为1时点M（2，1）关于O的反称点不存在；N（，0）关于O的反称点存在，反称点N（，0）；T（1，）关于O的反称点存在，反称点T（0，0）；OP2r=2，OP24，设P（x，x+2），OP2=x2+（x+2）2=2x24x+44，2x24x0，x（x2）0，0x2当x=2时，P（2，0），P（0，0）不符合题意；当x=0时，P（0，2），P（0，0）不符合题意；0x2；（2）直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，A（6，0），B（0，2），=，OBA=60°，OAB=30°设C（x，0）当C在OA上时，作CHAB于H，则CHCP2r=2，所以AC4，C点横坐标x2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H（2，0）在圆的内部）；当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，所以C点横坐标x8综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2x8随练1.8定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 ；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为 ；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MHx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）2；（2）d=（3）16+4，存在；1、3或【解析】（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BNx轴于点N，则AN=1，BN=2，在RtABN中，由勾股定理得：AB=（2）如答图2所示，当点B落在A上时，m的取值范围为2m6：当4m6，显然线段BC与线段OA的距离等于A半径，即d=2；当2m4时，作BNx轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OAON=4m，在RtABN中，由勾股定理得：d=（3）依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2××2=16+4，点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4结论：存在m0，n0，点M位于第一象限A（4，0），D（0，2），OA=2OD如答图4所示，相似三角形有三种情形：（I）AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OAOH1=2m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2m），m=1；（II）AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2OA=m2，由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m2），m=3；（III）AM3H3，此时点B落在A上如图，OH3=m+2，AH3=OH3OA=m2，过点B作BNx轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m4，由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m2=2n （1）在RtABN中，由勾股定理得：22=（m4）2+n2 （2）由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，m=综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似，m的取值为：1、3或自我总结 课后作业作业1定义：如图1所示，给定线段及其垂直平分线上一点，若以点为圆心， 为半径的优弧（或半圆弧）上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点为线段的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点为线段的“强三足点”。问题：如图2所示，平面直角坐标系中，点的坐标为，点在射线 上。在点和中，可以成为线段的“三足点”的是_；若第一象限内存在一点既是线段的“三足点”，又是线段的“强三足点”，求点的坐标。在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，假设该圆与轴交点中右侧一个为，圆上一动点从出发，绕点顺时针旋转后停止，设点出发后转过的角度为()，若线段与不存在公共的 “ 三足点 ” ，请直接写出的取值范围【答案】(1) (2) （3） 或  【解析】(1) （2）由题可知：点既为线段的“三足点”的,又是线段 的“强三足点”，则点须满足在和  的垂直平分线上，且如图所示   与轴的夹角为  . 设点的坐标为，点在的垂直平分线上，故， 所以(3)  或 作业2如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（2，0），AE=8（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MGBC；（3）如图2，过点D作M的切线，交x轴于点P动点F在M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律【答案】（1）C点的坐标为（0，4）（2）见解析（3）的比值不变，比值为【解析】（1）方法（一）直径ABCD，CO=CD，=，C为的中点，=，=，CD=AE，CO=CD=4，C点的坐标为（0，4）方法（二）如图1，连接BG，GM，连接CM，交AE于点N，C为的中点，M为圆心，AN=AE=4，CMAE，ANM=COM=90°，在ANM和COM中：，ANMCOM（AAS），CO=AN=4，C点的坐标为（0，4）（2）证明：设半径AM=CM=r，则OM=r2，由OC2+OM2=MC2得：42+（r2）2=r2，解得：r=5，（1分）OM=rOA=3AOC=ANM=90°，EAM=MAE，AOGANM，MN=OM=3，即，OG=，（2分），BOC=BOC，GOMCOB，GMO=CBO，MGBC（3）解：如图2，连接DM，则DMPD，DOPM，MODMDP，MODDOP，DM2=MOMP；DO2=OMOP，即42=3OP，OP=当点F与点A重合时：，当点F与点B重合时：，当点F不与点A、B重合时：连接OF、PF、MF，DM2=MOMP，FM2=MOMP，AMF=FMA，MFOMPF，综上所述，的比值不变，比值为作业3如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B（1）求证：线段AB为P的直径；（2）求AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D求证：DOOC=BOOA【答案】（1）见解析（2）24（3）见解析【解析】（1）证明：AOB=90°，且AOB是P中弦AB所对的圆周角，AB是P的直径（2）解：设点P坐标为（m，n）（m0，n0），点P是反比例函数y=（x0）图象上一点，mn=12如答图，过点P作PMx轴于点M，PNy轴于点N，则OM=m，ON=n由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，S AOB=BOOA=×2n×2m=2mn=2×12=24（3）证明：以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D，COD=90°，DC是Q的直径若点Q为反比例函数y=（x0）图象上异于点P的另一点，参照（2），同理可得：S COD=DOCO=24，则有：S COD=S AOB=24，即BOOA=DOCO，DOOC=BOOA作业4如图，抛物线y=ax22ax+c过坐标系原点及点B（4，4），交x轴的另一个点为A（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C，使得SABO=SCBO，求出点C的坐标；（3）连结BO交对称轴于点D，以半径为作D，抛物线上一动点P，过P作圆的切线交圆于点Q，使得PQ最小的点P有几个？并求出PQ的最小值【答案】（1）故抛物线的解析式为： ，对称轴x=1（2）点C的坐标为：C1（2，0），C2（22，42），C3（2+2，4+2）（3）点P有2个，PQ的最小值为【解析】（1）抛物线y=ax22ax+c过坐标系原点及点B（4，4），解得：，故抛物线的解析式为：，对称轴x=1；（2）当y=0，0=x2x，解得：x1=0，x2=2，故A（2，0），B（4，4），直线BO的解析式为：y=x，作BO的平行线y=x2，则 ，解得：x1=x2=2，则y=0，故C1（2，0）往上平移还可以得到另一直线：y=x+2，组成方程组： ，解得： ，可得C2（22，42），C3（2+2，4+2），综上所述：点C的坐标为：C1（2，0），C2（22，42），C3（2+2，4+2）；（3）y=x2x=（x1）2+1，可得D（1，1），设P（x，y），由相切得：DQPQ，则PQ2=PD2DQ2，故=，故x=0，2时PQ最小，故点P有2个，PQ的最小值为作业5如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x21的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数【答案】（1）y=