第02讲 二次函数与动点问题（二）(教师版)A4-精品文档整理.docx

高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 二次函数与动点问题（二）知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数与动点问题（二）知识精讲一 面积问题在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法： 1如图(1)，过三角形的某个顶点作与轴或轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加：； 2如图(2)，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积： 3如果只是求解面积最大值或者此时动点的坐标，可以通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时三角形的面积最大，此时可以直接求出动点坐标，然后再利用上述两种方法求出面积的最大值 二次函数与面积综合问题，主要由动点，动直线，动图形产生的变化图形的面积的最值问题二 特殊问题二次函数与特殊图形综合问题（含圆、线段、角等），线段的数量和位置关系，角的数量关系等三点剖析一 考点：面积问题，特殊问题二重难点：面积问题，特殊问题三易错点：1在用点的坐标表示线段长度，进而表示图形面积的时候一定要保证线段的非负性，可以直接加上绝对值或者是分类讨论；2与动点问题相关的面积问题一定要分析清楚每个阶段图形的形状，然后再分别求出每个阶段下面积的表达式二次函数面积问题，二次函数特殊问题题模精讲题模一：面积问题例1.1.1如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，4）（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使SPAB=SMAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）A（1，0），B（3，0）（2）存在合适的点P，坐标为（4，5）或（2，5）【解析】（1）抛物线解析式为y=（x+m）2+k的顶点为M（1，4），令y=0得（x1）24=0解得x1=3，x2=1A（1，0），B（3，0）（2）PAB与MAB同底，且SPAB=SMAB，即yP=±5又点P在y=（x1）24的图象上yP4，则，解得存在合适的点P，坐标为（4，5）或（2，5）例1.1.2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=5x5与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点B关于原点O对称，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3且过点A和C（1）求点A和点C的坐标；（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，且在x轴上存在点P使得DAP的面积为6，直接写出满足条件的点P的坐标【答案】见解析【解析】（1）当x=0时，y=5，当y=0时，5x5=0，解得，x=1，则点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，5），则点C的坐标（0，5）；（2）由题意得，解得，a=1，b=6，c=5，则抛物线的解析式为y=x26x+5；（3）设点P的坐标为（x，0），y=x26x+5=（x3）24，则点D的坐标为（3，4），由题意得，×|x1|×4=6，解得，x=2或4，则点P的坐标为（2，0）或（4，0）例1.1.3如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（8，0），B（0，6）两点（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得SPDE=SABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x6（2）y=x24x6；（3）存在，证明见解析【解析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把A（8，0），B（0，6）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y=x6；（2）在RtAOB中，AB=10，AOB=90°，AB为M的直径，点M为AB的中点，M（4，3），MCy轴，MC=5，C（4，2），设抛物线的解析式为y=a（x+4）2+2，把B（0，6）代入得16a+2=6，解得a=，抛物线的解析式为y=（x+4）2+2，即y=x24x6；（3）存在当y=0时，（x+4）2+2=0，解得x1=2，x2=4，D（6，0），E（2，0），SABC=SACM+SBCM=8CM=20，设P（t，t24t6），SPDE=SABC，（2+6）|t24t6|=20，即|t24t6|=1，当t24t6=1，解得t1=4+，t2=4，此时P点坐标为（4+，1）或（4，0）当t24t6=1，解得t1=4+，t2=4；此时P点坐标为（4+，1）或（4，0）综上所述，P点坐标为（4+，1）或（4，0）或（4+，1）或（4，0）时，使得SPDE=SABC例1.1.4如图，在ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的边EF与BC重合，点G、H分别在AC、AB上运动（1）当矩形EFGH面积最大时，求EF：GF的值；（2）把图形以BC所在直线为对称轴作对称图形，点A，H，K，G的对应点分别为A，H，K，G若矩形H HGG为正方形时，求三角形AHG的面积；当AB=AC时，设GF为x（3x5），三角形AHG的面积记为S1，三角形GGC的面积记为S2，若令y=+2，求y的最大值【答案】（1）EF：GF=3：2；（2）；【解析】（1）设FG的长为x，则AK的长为（8x），四边形EFGH为矩形，HGBC，即： GH=矩形EFGH面积=GHGF=x=，当x=4时，矩形的面积有最大值GF=4，EF=GH=6EF：GF=3：2（2）如图1所示：由轴对称图形的性质可知：FG=FG，四边形H HGG为正方形，GH=GG=2GF设FG=x，则HG=2x.由（1）可知：即：解得：x=，GF=，GH=，AK=AHG的面积=如图2：设FG的长为x，则AK的长为（8x），由（1）可知：GH=AHG的面积=，FC=（BCFE）=GCG的面积=y=，y=23x5，当x=3时，y有最大值，y的最大值=2×=题模二：特殊问题例1.2.1若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=2x2+4x+2与C2：u2=x2+mx+n为“友好抛物线”（1）求抛物线C2的解析式（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQx轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB，且点B恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由【答案】（1）抛物线C2的解析式为u2=x2+2x+3（2）当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为（3）当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B恰好落在抛物线C2上【解析】（1）y1=2x2+4x+2=2（x1）2+4，抛物线C1的顶点坐标为（1，4）抛物线C1：与C2顶点相同，1+m+n=4解得：m=2，n=3抛物线C2的解析式为u2=x2+2x+3（2）如图1所示：设点A的坐标为（a，a2+2a+3）AQ=a2+2a+3，OQ=a，AQ+OQ=a2+2a+3+a=a2+3a+3=（a）2+当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为（3）如图2所示；连接BC，过点B作BDCM，垂足为DB（1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，BCCM，BC=2BMB=90°，BMC+BMD=90°BDMC，MBD+BMD=90°MBD=BMC在BCM和MDB中，BCMMDBBC=MD，CM=BD设点M的坐标为（1，a）则BD=CM=4a，MD=CB=2点B的坐标为（a3，a2）（a3）2+2（a3）+3=a2整理得：a27a10=0解得a=2，或a=5当a=2时，M的坐标为（1，2），当a=5时，M的坐标为（1，5）综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B恰好落在抛物线C2上例1.2.2抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方（1）如图1，若P（1，3），B（4，0）求该抛物线的解析式；若D是抛物线上一点，满足DPO=POB，求点D的坐标；（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由【答案】（1）y=x2；（1，3）或（，）；（2）=2【解析】（1）将P（1，3），B（4，0）代入y=ax2+c，得，解得，抛物线的解析式为y=x2；如图1，当点D在OP左侧时，由DPO=POB，得DPOB，D与P关于y轴对称，P（1，3），得D（1，3）；当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G作PHOB于点H，则OH=1，PH=3DPO=POB，PG=OG设OG=x，则PG=x，HG=x1在RtPGH中，由x2=（x1）2+32，得x=5点G（5，0）直线PG的解析式为y=x解方程组得，P（1，3），D（，）点D的坐标为（1，3）或（，）（2）点P运动时，是定值，定值为2，理由如下：作PQAB于Q点，设P（m，am2+c），A（t，0），B（t，0），则at2+c=0，c=at2PQOF，OF=amt+at2同理OE=amt+at2OE+OF=2at2=2c=2OC=2例1.2.3如图，抛物线y=（x+1）2+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限当M点运动到何处时，AMB的面积最大？求出AMB的最大面积及此时点M的坐标；过点M作PMx轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值【答案】（1）直线x=1（2）存在，（1，2）（3）8，【解析】（1）抛物线y=（x+1）2+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），3=（0+1）2+k，解得：k=4，抛物线的解析式为：y=（x+1）24，故对称轴为：直线x=1；（2）存在如图，连接AC，交对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，当y=0，则0=（x+1）24，解得：x1=1，x2=3，由题意可得：ANPAOC，则=，故=，解得：PN=2，则点P的坐标为：（1，2）；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，故3x0；如图，设点M的坐标为：x，（x+1）24，AB=4，SAMB=×4×|（x+1）24|=2|（x+1）24|，点M在第三象限，SAMB=82（x+1）2，当x=1时，即点M的坐标为（1，4）时，AMB的面积最大，最大值为8；设点M的坐标为：x，（x+1）24，设直线AC的解析式为：y=ax+d，将（3，0），（0，3）代入得：，解得：故直线AC：y=x3，设点P的坐标为：（x，x3），故PM=x3（x+1）2+4=x23x=（ x+）2+，当x=时，PM最大，最大值为例1.2.4如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）y=x+m经过点（-3，0），0=-+m，解得m=，直线解析式为y=x+，C（0，）抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），抛物线经过C（0，），=a3（-5），解得a=-，抛物线解析式为y=-x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则ACEF且AC=EF如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，ACEF，CAO=EFG，又，CAOEFG，EG=CO=，即yE=，=-xE2+xE+，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去），E（2，），SACEF=；（ii）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，同理可求得E（+1，-），SACFE=（3）要使ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）B（5，0），C（0，），直线BC解析式为y=-x+，xP=1，yP=3，即P（1，3）令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，则直线的解析式是：y=kx+3-k，y=kx+3-k，y=-x2+x+，联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，y1-y2=k（x1-x2）根据两点间距离公式得到：M1M2=M1M2=4（1+k2）又M1P=；同理M2P=M1PM2P=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）M1PM2P=M1M2，=1为定值例1.2.5 如图：抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，试判断OEF的形状，请说明理由并直接写出OEF的面积取最小值及此时的点E坐标【答案】（1）抛物线解析式为：y=x2x+3；点C的坐标为（0，3）（2）存在点P1（0，3），P2（1，6）（3）SOEF取最小值；点E的坐标（，）【解析】（1）抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过A（3，0），B（4，1）两点， ，解得： ，抛物线解析式为：y=x2x+3；令x=0，则y=3，所以，点C的坐标为（0，3）；（2）假设存在，分两种情况：如图1，过点B作BHx轴于点H，A（3，0），C（0，3），B（4，1），OCA=45°，BAH=45°，BAC=180°45°45°=90°，ABC是直角三角形，点C（0，3）符合条件，所以，P1（0，3）；当ABP=90°时，过点B作BPAC交抛物线于点P，A（3，0），C（0，3），直线AC的解析式为y=x+3，设直线BP的解析式为y=x+b，则4+b=1，解得b=5，直线BP：y=x+5，联立，解得， ，又点B（4，1），点P的坐标为（1，6），综上所述，存在点P1（0，3），P2（1，6）；（3）如图2，A（3，0），C（0，3），B（4，1），OAE=45°，OAF=BAH=45°，又OFE=OAE，OEF=OAF，OEF=OFE=45°，OE=OF，EOF=180°45°×2=90°，即OEF是直角三角形；点E在直线AC上：y=x+3，设点E（x，x+3），根据勾股定理，OE2=x2+（x+3）2，=2x26x+9，所以，SOEF=OEOF=OE2=x23x+=（x）2+，所以，当x= 时，SOEF取最小值，此时x+3=+3=，所以，点E的坐标（，）随堂练习随练1.1已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（3，0），与y轴交于点C，点D（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标【答案】（1）y=x2+2x3（2）3（3）点P坐标为（0，3）或（2，3）或（1+，3）或（1，3）【解析】（1）因为二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（3，0），D（2，3），所以，解得所以一次函数解析式为y=x2+2x3（2）抛物线对称轴x=1，D（2，3），C（0，3），C、D关于x轴对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，此时PA+PD=PA+PC=AC=3（3）设点P坐标（m，m2+2m3），令y=0，x2+2x3=0，x=3或1，点B坐标（1，0），AB=4SPAB=6，4|m2+2m3|=6，m2+2m6=0，m2+2m=0，m=0或2或1+或1点P坐标为（0，3）或（2，3）或（1+，3）或（1，3）随练1.2如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形ABOC抛物线y=x2+2x+3经过点A、C、A三点（1）求A、A、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形ABOC重叠部分COD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标【答案】（1）A（0，3）；A（3，0）； C（1，0）（2）（3）当m=时，SAMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（）【解析】（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=1，则C（1，0），A（3，0）；当x=0时，y=3，则A（0，3）；（2）四边形ABOC为平行四边形，ABOC，AB=OC，而C（1，0），A（0，3），B（1，3）OB=，SAOB=×3×1=，又平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形ABOC，ACO=OCD，OC=OC=1，又ACO=ABO，ABO=OCD又COD=AOB，CODBOA，=（）2=（）2=，SCOD=×=；（3）设M点的坐标为（m，m2+2m+3），0m3，作MNy轴交直线AA于N，易得直线AA的解析式为y=x+3，则N（m，m+3），MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m，SAMA=SANM+SMNA=MN3=（m2+3m）=m2+m=（m）2+，当m=时，SAMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（）随练1.3如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）设抛物线为y=a（x-4）2-1，抛物线经过点A（0，3），3=a（0-4）2-1，a=；抛物线为y=(x-4)2-1=x2-2x+3；（3分）（2）相交证明：连接CE，则CEBD，当(x-4)2-1=0时，x1=2，x2=6A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，OB=2，AB=，BC=4，ABBD，OAB+OBA=90°，OBA+EBC=90°，AOBBEC，=，即=，解得CE=，2，抛物线的对称轴l与C相交（7分）（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为y=-x+3；（8分）设P点的坐标为（m，m2-2m+3），则Q点的坐标为（m，-m+3）；PQ=-m+3-（m2-2m+3）=-m2+mS PAC=S PAQ+S PCQ=×（-m2+m）×6=-（m-3）2+；当m=3时，PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，-）（10分）随练1.4（1）如图1，把抛物线平移后得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则抛物线的解析式为_；图中阴影部分的面积为_（2）若点C为抛物线上的动点，我们把时的ACO称为抛物线的内接直角三角形过点做轴的垂线，抛物线的内接直角三角形的两条直角边所在直线AC、CO与直线分别交于M、N两点，以MN为直径的D与轴交于E、F两点，如图2请问：当点C在抛物线上运动时，线段EF的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断【答案】（1）；8（2）不变化【解析】该题考查的是二次函数与相似三角形综合（1）抛物线的解析式为；图中阴影部分的面积与POQ的面积相同，阴影部分的面积为8（2）由题意可知，抛物线只存在两个内接直角三角形当点C在抛物线上运动时线段EF的长度不会发生变化证明：MN为D的直径，ABMNBO，连接FM、FN，在MBF和FBN中，MBFFBN，故随练1.5已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使的面积是菱形ABCP面积的如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长yxCBOAP【答案】（1）（2）见解析（3）PQ=【解析】该题考察的函数几何综合（1）联结PA，PB，PC，过点P作PGBC于点G P与y轴相切于点A，PAy轴，P（2，），来源:学*科*网Z*X*X*KOG=AP=2，PG=OA=1分PB=PC=2BG=1CG=1，BC=2OB=1，OC=3 A（0，），B（1，0），C（3，0）2分根据题意设二次函数解析式为：，解得a= 二次函数的解析式为：3分（2）存在点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，）7分（3）=，抛物线的顶点Q（2，）作点P关于y轴的对称点P，则P（-2，）联结PQ，则PQ是最短总路径， 根据勾股定理，可得P Q=8分随练1.6如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；若CMN的面积等于，请求出此时中S的值【答案】（1）y=x22x+3（2）见解析（3）S=t2t+9，3t0；12或【解析】（1）二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（3，0）、B（1，0），解得二次函数的表达式为y=x22x+3（2）如图1，二次函数的表达式为y=x22x+3，点C的坐标为（0，3），y=x22x+3=（x+1）2+4，点G的坐标是（1，4），点C的坐标为（0，3），设CG所在的直线的解析式是y=mx+3，则m+3=4，m=1，CG所在的直线的解析式是y=x+3，点H的坐标是（3，0），设点D的坐标是（0，p），则，p=3，AO=CO=DO=HO=3，AHCD，四边形ACHD是正方形（3）如图2，作MEx轴于点E，作MFy轴于点F，四边形ADCM的面积为S，S=S四边形AOCM+SAOD，AO=OD=3，SAOD=3×3÷2=4.5，点M（t，p）是y=kx与y=x22x+3在第二象限内的交点，点M的坐标是（t，t22t+3），ME=t22t+3，MF=t，S四边形AOCM=×3×（t22t+3）=t2t+，S=t2t+4.5=t2t+9，3t0如图3，作NIx轴于点I，设点N的坐标是（t1，p1），则NI=|t1|，SCMN=SCOM+SCON=（|t|+|t1|），t0，t10，SCMN=（|t|+|t1|）=，联立可得x2+（k+2）x3=0，t1、t是方程的两个根，解得，a、k=时，由x2+（2）x3=0，解得x1=2，或（舍去）b、k=时，由x2+（2）x3=0，解得x3=，或x4=2（舍去），t=2，或t=，t=2时，S=t2t+9=×4×（2）+9=12t=时，S=××+9=，S的值是12或随练1.7在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上（1）已知a=1，点B的纵坐标为2如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PEx轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值【答案】（1）AC=4；y=4（x）2（2）=；=【解析】（1）二次函数y=x2，当y=2时，2=x2，解得x1=，x2=，AB=2平移得到的抛物线L1经过点B，BC=AB=2，AC=4作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2，根据抛物线的轴对称性，得BN=DB=，OM=设抛物线L2的函数表达式为y=a（x）2，由得，B点的坐标为（，2），2=a（）2，解得a=4抛物线L2的函数表达式为y=4（x）2；（2）如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作BKx轴于点K，设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at2），根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t设抛物线L3的函数表达式为y=a3x（x4t），该抛物线过点B（t，at2），at2=a3t（t4t），t0，=，由题意得，点P的坐标为（2t，4a3t2），则4a3t2=ax2，解得，x1=t，x2=t，EF=t，=随练1.8如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），交y轴于C，对称轴与x轴交于H，顶点为M，AC、BM的延长线交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）若P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），问在此抛物线上是否存在整数n，使？若存在，请求出n；若不存在，请说明理由；（3）P（x，0）为x轴上的一个动点，Q为线段MH上的一动点，若CQP=90°，求x的取值范围【答案】（1）y=x22x3（2）不存在（3）x5【解析】（1）抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），有，解得：抛物线的解析式是y=x22x3；（2）不存在理由如下：P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3）在抛物线y=x22x3上，=（n3）（n+1），=（n+2）（n2），=（n+3）（n1），n为整数，由可得n216n21n24n290，0，即，n223n216，16n223，不存在整数n，使得16n223；（3）当点P在点H的右边时，如图1，由y=x22x3=（x1）24可得：C（0，3），点M（1，4），对称轴为x=1过点C作CNMH于N，设NQ=m则有NH=OC=3，CN=1，0m1，CNQ=CQP=PHQ=90°，CQN=HPQ=90°HQP，CNQQHP，PHCN=QHNQ，PH=m（m+3）=（m+）2，当m时，PH随着m的增大而增大0m1，0PH（1+）2，即0PH4，0x14，1x5；当点P在点H处时，点Q与点N重合，此时x=1；当点P在点H的左边时，如图2， 过点C作CNMH于N，设NQ=m则有NH=OC=3，CN=1，0m3，CNQ=CQP=PHQ=90°，CQN=HPQ=90°HQP，CNQQHP，PHCN=QHNQ，PH=m（3m）=（m）2+10，当m=时，PH取最大值为0m3，0PH，01x，1x，x1综上所述：x的取值范围为x5自我总结 课后作业作业1如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（2，4），与x轴交于A、B两点，且A（6，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由【答案】（1）y=x2+x3（2）12（3）P（3，）【解析】（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，函数图象顶点为M（2，4），y=a（x+2）24，又函数图象经过点A（6，0），0=a（6+2）24解得a=，此函数的解析式为y=（x+2）24，即y=x2+x3；（2）点C是函数y=x2+x3的图象与y轴的交点，点C的坐标是（0，3），又当y=0时，有y=x2+x3=0，解得x1=6，x2=2，点B的坐标是（2，0），则SABC=|AB|OC|=×8×3=12；（3）假设存在这样的点，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F设E（x，0），则P（x，x2+x3），设直线AC的解析式为y=kx+b，直线AC过点A（6，0），C（0，3），解得，直线AC的解析式为y= x3，点F的坐标为F（x，x3），则|PF|=x3（x2+x3）=x2x，SAPC=SAPF+SCPF=|PF|