2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）.docx

2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2018秋辽宁期末）如果1ab0，则有（）A1b1ab2a2B1b1aa2b2C1a1bb2a2D1a1ba2b22（5分）（2016抚顺一模）已知命题p：“a0，有ea1成立”，则p为（）Aa0，有ea1成立Ba0，有ea1成立Ca0，有ea1成立Da0，有ea1成立3（5分）（2018秋辽宁期末）已知各项均为正数的等比数列an中，公比q2，a4a664，则a1（）A2B1C12D144（5分）（2018秋舟山期末）已知平面的法向量为n=（2，2，4），AB=（1，1，2），则直线AB与平面的位置关系为（）AABBABCAB与相交但不垂直DAB5（5分）（2018秋辽宁期末）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）Ayx+1xBysinx+1sinx（0x2）Cy=x2+5x2+4Dyex+4ex-26（5分）（2018秋辽宁期末）方程x2m-3-y2m+2=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）Am1Bm4Cm3或m2Dm4或m17（5分）（2018秋辽宁期末）已知x，y满足x0y0x+y1，则（x+3）2+y2的最小值为（）A10B22C8D108（5分）（2018秋辽宁期末）等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn=2n+13n+2，则a3+a11+a19b7+b15=（）A6970B129130C123124D1351369（5分）（2018秋辽宁期末）已知平面内的角MON60°，线段OP是平面的斜线段且OP=6，POMPON60°，那么点P到平面的距离是（）A2B3C2D110（5分）（2018黔东南州一模）过抛物线C：y24x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，以线段AB为直径的圆的圆心为O1，半径为r点O1到C的准线l的距离与r之积为25，则r（x1+x2）（）A40B30C25D2011（5分）（2018秋辽宁期末）知数列an的前n项和为Sn，a18，（3n5）an+1（3n2）an9n2+2ln10，若n，mN*，nm，则SnSm的最大值为（）A10B15C18D2612（5分）（2018秋辽宁期末）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N若|PF1|2|PF2|，且MF2N60°，则双曲线C的渐近线方程为（）Ay±22xBy=±2xCy±2xDy=±22x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）（2018秋辽宁期末）关于x的不等式axb0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x3）0的解集是 14（5分）（2018秋辽宁期末）已知数列an的前n项和为Sn，a11，2Sn（n+1）an，则an 15（5分）（2018张掖一模）如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为 16（5分）（2018秋辽宁期末）已知椭圆：x2a2+y2b2=l（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|=32e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（2018秋辽宁期末）命题p：实数x满足x23ax+2a20，其中a0，命题q：实数x满足x2-x-60x2+x-20（）若a2，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围18（12分）（2019资阳模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S28，a3+a82a5+2（1）求an；（2）设数列1Sn的前n项和为Tn，求证：Tn3419（12分）（2018秋辽宁期末）已知F为抛物线y2x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB=2（其中O为坐标原点）（）求证：直线AB恒过定点；（）直线AB在绕着定点转动的过程中，求弦AB中点M的轨迹方程20（12分）（2018秋辽宁期末）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入16(x2-600)万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价21（12分）（2018丹东一模）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，B1BC为锐角，底面ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，ACBC1（1）证明：平面ABC平面BB1C1C；（2）若直线BB1与底面ABC成角为60°，AB1BC1，求二面角CAB1A1的余弦值22（12分）（2018秋辽宁期末）如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，过左焦点F（-3，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky0交椭圆E于C，D两点（1）求椭圆E的方程；（2）求证：点M在直线l上；（3）是否存在实数k，使得SBDM3SACM？若存在，求出k的值若不存在，说明理由2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2018秋辽宁期末）如果1ab0，则有（）A1b1ab2a2B1b1aa2b2C1a1bb2a2D1a1ba2b2【考点】72：不等式比较大小菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】取a=-12，b=-13，分别计算出1b，1a，b2，a2，由此能够判断出1b，1a，b2，a2的大小【解答】解：取a=-12，b=-13，分别计算出1b=-31a=-2，b2=19a2=14由此能够判断出1b，1a，b2，a2的大小故选：A【点评】本题考查不等式的性质和应用，解题时要合理地选取特殊值，能够有效地简化运算2（5分）（2016抚顺一模）已知命题p：“a0，有ea1成立”，则p为（）Aa0，有ea1成立Ba0，有ea1成立Ca0，有ea1成立Da0，有ea1成立【考点】2J：命题的否定菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则p：a0，有ea1成立，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（5分）（2018秋辽宁期末）已知各项均为正数的等比数列an中，公比q2，a4a664，则a1（）A2B1C12D14【考点】88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式列出方程能求出首项【解答】解：各项均为正数的等比数列an中，公比q2，a4a664，（a123）（a125）64，解得a1=12故选：C【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）（2018秋舟山期末）已知平面的法向量为n=（2，2，4），AB=（1，1，2），则直线AB与平面的位置关系为（）AABBABCAB与相交但不垂直DAB【考点】MB：空间点、线、面的位置菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；5H：空间向量及应用【分析】根据平面的法向量与空间向量的共线关系，即可判断直线AB与平面垂直【解答】解：平面的法向量为n=（2，2，4），AB=（1，1，2），n=-12AB，nAB，AB，即直线AB与平面垂直故选：A【点评】本题考查了平面的法向量与空间向量共线问题，是基础题5（5分）（2018秋辽宁期末）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）Ayx+1xBysinx+1sinx（0x2）Cy=x2+5x2+4Dyex+4ex-2【考点】7F：基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用【分析】直接利用排除法和基本不等式的应用和函数的性质的应用求出结果【解答】解：对于选项A、当x0时，yx+1x2x1x=2，当x0时，yx+1x-2，故错误对于选项B、由于：0x2，函数的最小值取不到2，当x=2时，函数的最小值为2，故错误对于选项C函数的关系式转换为：y=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+452，故错误故选：D【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力属于基础题型6（5分）（2018秋辽宁期末）方程x2m-3-y2m+2=1表示双曲线的一个充分不必要条件是（）Am1Bm4Cm3或m2Dm4或m1【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件，再求出它的一个真子集即可【解答】解：若方程x2m-3-y2m+2=1表示双曲线，则（2+m）（m3）0m2或m3，要求“方程x2m-3-y2m+2=1表示双曲线”的一个充分不必要条件，则需要找出它的一个真子集即可，m4时，m2或m3，结论成立，反之不成立“方程x2m-3-y2m+2=1表示双曲线”的一个充分不必要条件是m4，故选：B【点评】本题考查的重点是充要条件，解题的关键是计算方程表示双曲线的充要条件，属于基础题7（5分）（2018秋辽宁期末）已知x，y满足x0y0x+y1，则（x+3）2+y2的最小值为（）A10B22C8D10【考点】7C：简单线性规划；IR：两点间的距离公式菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z（x+3）2+y2表示（3，0）到可行域的距离的平方，只需求出（3，0）到可行域的距离的最小值即可【解答】解：根据约束条件画出可行域z（x+3）2+y2表示（3，0）到可行域的距离的平方，当点B（0，1）时，距离最小，即最小距离为 (-3-0)2+(0-1)2=10则（x+2）2+y2的最小值是 10故选：D【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化8（5分）（2018秋辽宁期末）等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn=2n+13n+2，则a3+a11+a19b7+b15=（）A6970B129130C123124D135136【考点】83：等差数列的性质菁优网版权所有【专题】36：整体思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列的前n项和公式进行转化即可【解答】解：在等差数列中a3+a11+a19b7+b15=3a112b11=322a112b11=32a1+a21b1+b21=32a1+a212×21b1+b212×21=32S21T21=322×21+13×21+2=324365=129130，故选：B【点评】本题主要考查等差数列性质的应用，结合等差数列的前n项和公式以及性质是解决本题的关键9（5分）（2018秋辽宁期末）已知平面内的角MON60°，线段OP是平面的斜线段且OP=6，POMPON60°，那么点P到平面的距离是（）A2B3C2D1【考点】MK：点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】由题意知cosPOMcosPOHcosMOH，进而求得cosPOH，利用同脚三角函数基本关系求得sinPOH，进而在PHO中利用PHPOsinPOH求得答案【解答】解：平面内的角MON60°，线段OP是平面的斜线段且OP=6，POMPON60°，MOH30°，cosPOMcosPOHcosMOH，12=32cosPOHcosPOH=33sinPOH=1-(33)2=63PHPOsinPOH=6×63=2故选：A【点评】本题主要考查了点到面的距离计算在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10（5分）（2018黔东南州一模）过抛物线C：y24x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，以线段AB为直径的圆的圆心为O1，半径为r点O1到C的准线l的距离与r之积为25，则r（x1+x2）（）A40B30C25D20【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】可得点O1到C的准线l的距离为12|AB|=r=5，又点O1到C的准线l的距离为12(x1+x2+2)=r=5，可得x1+x28，故r（x1+x2）40【解答】解：由抛物线的性质知，点O1到C的准线l的距离为12|AB|=r，依题意得r225r5，又点O1到C的准线l的距离为12(x1+x2+2)=r=5，则有x1+x28，故r（x1+x2）40故选：A【点评】考查了抛物线的定义与简单几何性质，属于中档题11（5分）（2018秋辽宁期末）知数列an的前n项和为Sn，a18，（3n5）an+1（3n2）an9n2+2ln10，若n，mN*，nm，则SnSm的最大值为（）A10B15C18D26【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列【分析】由条件可得an+13n-2-an3n-5=-1，结合等差数列的定义和通项公式，以及数列的各项特点，求得最大值【解答】解：（3n5）an+1（3n2）an9n2+2ln10，即为（3n5）an+1（3n2）an（3n5）（3n2），可得an+13n-2-an3n-5=-1，设bn=an3n-5，即bn+1bn1，可得bn是-8-2=4为首项、1为公差的等差数列，可得bn4（n1）5n，即an（3n5）（5n），可得an：8，3，8，7，0，13，32，57，88，（n5，各项递减，且为负的），由n，mN*，nm，则SnSm的最大值为（8+3+8+7+0）（8）18故选：C【点评】本题考查数列的通项公式，注意运用构造等差数列，考查数列的前n项和的最值，注意分析各项的特点，考查运算能力，属于中档题12（5分）（2018秋辽宁期末）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N若|PF1|2|PF2|，且MF2N60°，则双曲线C的渐近线方程为（）Ay±22xBy=±2xCy±2xDy=±22x【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】由题意，根据双曲线的定义和余弦定理，可得a与c的关系，再求出a与b关系即可求出渐近线方程【解答】解：由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a，MF2N60°，F1PF260°，由余弦定理可得4c216a2+4a224a2acos60°，c=3a，b=c2-a2=2aba=2，双曲线C的渐近线方程为y±2x故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）（2018秋辽宁期末）关于x的不等式axb0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x3）0的解集是（1，3）【考点】73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4O：定义法；59：不等式的解法及应用【分析】根据不等式axb0的解集得出a0且ab，把不等式（ax+b）（x3）0化为（x+1）（x3）0，求出解集即可【解答】解：关于x的不等式axb0的解集是（1，+），a0，且ab；关于x的不等式（ax+b）（x3）0可化为（x+1）（x3）0，1x3，所求不等式的解集是（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题14（5分）（2018秋辽宁期末）已知数列an的前n项和为Sn，a11，2Sn（n+1）an，则ann【考点】8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】利用数列的递推关系式，推出数列ann是等比数列，然后求解通项公式【解答】解：数列an的前n项和为Sn，a11，2Sn（n+1）an，可知2Sn1nan1，n2，两式作差可得：（n1）annan1，可得ann是等比数列，首项为1，公比为1的等比数列，所以ann=1，即ann故答案为：n【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力15（5分）（2018张掖一模）如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为155【考点】LM：异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角【分析】连结BC1，交B1C于点O，连结OE，由BD1平面B1CE，得到E是棱C1D1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出异面直线BD1与CE所成成角的余弦值【解答】解：连结BC1，交B1C于点O，连结OE，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点，BCC1B1是正方形，O是BC1中点，BD1平面B1CE，BD1OE，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则B（2，2，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），E（0，1，2），BD1=（2，2，2），CE=（0，1，2），设异面直线BD1与CE所成成角为，cos=|BD1CE|BD1|CE|=6125=155异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为155故答案为：155【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题16（5分）（2018秋辽宁期末）已知椭圆：x2a2+y2b2=l（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|=32e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是13，1【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】由椭圆的定义可得解得x=3c-2ae(3e+2)，由题意可得a3c-2ae(3e+2)a，解不等式求得离心率e的取值范围【解答】解：设点P的横坐标为x，|PF1|=32e|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+a2c）=32ee（a2c-x），x=3c-2ae(3e+2)，由题意可得a3c-2ae(3e+2)a，13e-2e(3e+2)1，3e-23e2+2e3e-2-3e2-2e，13e1，则该椭圆的离心率e的取值范围是13，1），故答案为：13，1）【点评】本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得 e（x+a2c）=32ee（a2c-x）是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（2018秋辽宁期末）命题p：实数x满足x23ax+2a20，其中a0，命题q：实数x满足x2-x-60x2+x-20（）若a2，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑【分析】（）由pq为真得p真q真，解一元二次不等式组求出p、q为真的范围，取交集即可；（）由已知得AB，得等价不等式组，解得实数a的取值范围【解答】解：（）x23ax+2a20，（xa）（x2a）0，又a0，ax2a，a2时，2x4，即命题p为真命题时，实数x的取值范围为：2x4，x2-x-60x2+x-20，(x-3)(x+2)0(x+2)(x-1)0，1x3，即命题q为真命题时，实数x的取值范围为：1x3，pq为真，实数x的取值范围为（2，3；（）q是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件，设A（a，2a），B（1，3，AB，a0a12a3，1a32实数a的取值范围为：1，32【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）（2019资阳模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S28，a3+a82a5+2（1）求an；（2）设数列1Sn的前n项和为Tn，求证：Tn34【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用放缩法求出结果【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由题意知：2a1+d=82a1+9d=2a1+8d+2，解得a13，d2所以an2n+1（2）由（1），an2n+1，则有Sn=n2(3+2n+1)=n2+2n则1Sn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)所以Tn=12(1-13)+(12-14)+(13-15)+(1n-1-1n+1)+(1n-1n+2)，=12(1+12-1n+1-1n+2)34【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（12分）（2018秋辽宁期末）已知F为抛物线y2x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB=2（其中O为坐标原点）（）求证：直线AB恒过定点；（）直线AB在绕着定点转动的过程中，求弦AB中点M的轨迹方程【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及由OAOB=2，可得直线AB过定点（2，0）；（）设出A，B的坐标，代入抛物线方程，利用点差法把AB的斜率用AB中点的坐标表示，代入直线方程可得弦AB中点M的轨迹方程【解答】解：（）设直线AB的方程为：xmy+n，点A（x1，y1），B（x2，y2），由OAOB=2，可得x1x2+y1y22，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上可得x1y12，x2y22，由可得y1y22或1（舍去），由x=my+ny2=x可得y2myn0根据韦达定理有y1y2n2，直线AB过定点（2，0）；（）设M（x，y），由y12=x1y22=x2，相减可得（y1y2）（y1+y2）x1x2，当x1x2时，y1-y2x1-x2（y1+y2）1，又直线AB恒过点（2，0），y1-y2x1-x2=yx-2且y1+y22y，y2=12x1，当x1x2时，M（2，0）满足上式，故所求的轨迹方程为y2=12x1【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用点差法求与中点弦有关的问题，是中档题20（12分）（2018秋辽宁期末）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入16(x2-600)万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价【考点】5C：根据实际问题选择函数类型菁优网版权所有【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用【分析】（1）设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，x25时，不等式ax25×8+50+16（x2600）+15x有解，等价于x25时，a150x+16x+15有解，利用基本不等式，我们可以求得结论【解答】解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8-x-251×0.2）x25×8，整理得t265t+1 0000，解得25t40所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元（2）依题意知当x25时，不等式ax25×8+50+16（x2600）+15x有解，等价于x25时，a150x+16x+15有解由于150x+16x2 150x×x6=10，当且仅当150x=x6，即x30时等号成立，所以a10.2当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义21（12分）（2018丹东一模）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，B1BC为锐角，底面ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，ACBC1（1）证明：平面ABC平面BB1C1C；（2）若直线BB1与底面ABC成角为60°，AB1BC1，求二面角CAB1A1的余弦值【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离【分析】（1）推导出AC平面BB1C1C从而平面ABC平面BB1C1C（2）在平面BB1C1C内作B1DBC，垂足为D，则B1D平面ABC以D为坐标原点，DC为x轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出二面角CAB1A1的余弦值【解答】证明：（1）因为ACBC，BC1，BCBC1B，所以AC平面BB1C1C因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BB1C1C（4分）解：（2）因为ABC平面BB1C1CBC，在平面BB1C1C内作B1DBC，垂足为D，所以B1D平面ABC因为BB1与底面ABC成角为60°，所以B1BD60°（6分）因为ACBC1，AB1BC1，所以BC1平面AB1C，所以BC1B1C，四边形BB1C1C是菱形因为B1BC为锐角，所以BD=12BB1=12BC，于是D是BC中点（8分）设BC2，以D为坐标原点，DC为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz则A（1，2，0），B（1，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，3），AC=（0，2，0），AB=（1，2，3），AA1=（1，0，3）设m=（x，y，z）是平面CAB1的一个法向量，则mAB1=-x-2y+3z=0mAC=2y=0，取z1，得m=（3，0，1）设n=（x，y，z）是平面A1AB的一个法向量，则nAB1=-x-2y+3z=0nAA1=x+3z=0，取z1，得n=（-3，3，1）因为cosm，n=mn|m|n|=77，二面角CAB1A1平面角是钝角，故二面角CAB1A1的余弦值是-77 （12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题22（12分）（2018秋辽宁期末）如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，过左焦点F（-3，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky0交椭圆E于C，D两点（1）求椭圆E的方程；（2）求证：点M在直线l上；（3）是否存在实数k，使得SBDM3SACM？若存在，求出k的值若不存在，说明理由【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由焦点可得c，再由离心率公式和a，b，c的关系，求出a，b，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，即可得证；（3）联立直线方程和椭圆方程，消去x，解得C的纵坐标，再由面积关系，得到方程，解出即可【解答】（1）解：左焦点F（-3，0），则c=3，离心率为32，则ca=32，即有a2，b1，则椭圆方程x24+y21；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）设直线AB：yk（x+3），y=k(x+3)x2+4y2=4消去y，得（1+4k2）x2+83k2x+12k240，所以x1+x2=-83k21+4k2，x0=x1+x22=-43k21+4k2，y0k（x0+3）=3k1+4k2，因为-43k21+4k2+4k3k1+4k2=0，所以点M在直线l上；（3）解：由（2）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，因BDM的面积是ACM面积的3倍，所以DM3CM，又|OD|OC|，于是M是OC的中点，设点C的坐标为（x3，y3） 则y0=y32，因为x=-4kyx2+4y2=4，解得y3=11+4k2，于是121+4k2=3k1+4k2，解得k2=18，所以k=±24【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立