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第四章第四章 不定积分习题课不定积分习题课 一、不定积分的基本概念与性质一、不定积分的基本概念与性质1原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念(1)原函数的定义：原函数的定义：(2)不定积分的定义：不定积分的定义：设设为为 一个原函数，则一个原函数，则 在区间在区间 上，若上，若则称则称是是 在在 上原函数。上原函数。2不定积分的性质不定积分的性质(1)线性性质：线性性质：(2)微分与积分运算：微分与积分运算：二、基本计算方法二、基本计算方法1直接积分直接积分法法 首先要对被积函数进行恒等变形，然后利首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。定积分。常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,2第一类换元法（凑微分法）：第一类换元法（凑微分法）：设设，则，则常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万能凑幂法（适合求形如的积分）（P197例12）的积分）（适合求形如的积分）（适合求形如的积分）（适合求形如9）（P199例17）10)(1)分项积分:(2)降低幂次:利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如常用简化技巧:3第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法（变量置换法）：第二类换元法：第二类换元法：三角代换三角代换 倒代换倒代换简单无理函数代换简单无理函数代换 注意：注意：式中式中 回代。回代。必须单调可导，对必须单调可导，对t作完积分后作完积分后,要用反函数要用反函数第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令令7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换 令令8)4分部积分法：分部积分法：或或使用原则:1)由易求出 v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为题目类型:分部化简;循环解出;5有理函数的积分法：有理函数的积分法：积分法要点：积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使若是假分式，先作多项式除法，使使之使之变为一次分式和二次分式的代数和。变为一次分式和二次分式的代数和。之变为：之变为：“多项式多项式+真分式真分式”。对真分式进行分项，。对真分式进行分项，其中部分分式的形式为(1)用拼凑法(2)用赋值法分解方法分解方法：四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为 再分项积分 6万能公式法：万能公式法：如果被积函数是三角函数有理式如果被积函数是三角函数有理式则可采用万能公式。则可采用万能公式。令令则则从而从而说明说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如例如,三、典型例题三、典型例题、【例例1】设设是是的原函数，的原函数，求求解：解：由于由于是是的原函数，的原函数，故故令令，则，则【例例2】求不定积分求不定积分解：解：利用不定积分的性质利用不定积分的性质，可知，可知【例例3】求不定积分求不定积分解：解：分析：分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微然后可利用基本公式。然后可利用基本公式。分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，【例例4】求不定积分求不定积分解：解：【例例5】求不定积分求不定积分然后利用凑微分法。然后利用凑微分法。分析：分析：一般情况下首先分母要进行有理化一般情况下首先分母要进行有理化，解：解：【例例6】求不定积分求不定积分分析：分析：此题属于此题属于型，故凑型，故凑解：解：【例例7】求不定积分求不定积分解：解：【例例8】求不定积分求不定积分分析：分析：由于被积函数由于被积函数，不能直接利用，不能直接利用基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数进行代数恒等变形为：进行代数恒等变形为：或或，再想到凑微分：，再想到凑微分：或或，然后进行计算。，然后进行计算。中含有中含有另外，由于另外，由于，不能直接计算，可以考虑，不能直接计算，可以考虑换元换元或或，然后再进行计算。，然后再进行计算。解法解法1：因为因为所以所以解法解法2：因为因为所以所以解法解法3：令令,则则于是于是【例例9】求不定积分求不定积分解法解法1：(倒代换）倒代换）设设则则则则【例例10】求不定积分求不定积分解法解法2：(三角代换）三角代换）设设则则解：解：【例例11】求不定积分求不定积分分析：分析：若取若取 积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点，积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点，显然可以利用分部显然可以利用分部先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。解：原式解：原式 注意注意 运算中综合使用不同方法往往更有效。运算中综合使用不同方法往往更有效。【例例12】求不定积分求不定积分分析：分析：由于被积函数中含有根式由于被积函数中含有根式，所以首先要令，所以首先要令把根式去掉，然后选择合适的方法计算。把根式去掉，然后选择合适的方法计算。另外，观察被积表达式的特点，由于另外，观察被积表达式的特点，由于所以可应用分部积分法计算。所以可应用分部积分法计算。解法解法1：令令，则，则所以应用分部积分法所以应用分部积分法所以所以解法解法2：因为因为所以应用分部积分法所以应用分部积分法【例例13】求不定积分求不定积分解：解：【例例14】求不定积分求不定积分分析：分析：设设，则，则由于由于中含有中含有和和，所以令，所以令或或去掉根式，然后选择适当的计算方法。去掉根式，然后选择适当的计算方法。进行恒等变形进行恒等变形 然后运用基本积分公式就可以计算。然后运用基本积分公式就可以计算。另外，可对另外，可对，于是，于是解法解法2：因为因为所以所以，则，则解法解法1：令令注：注：在本题的计算中同样可以选择在本题的计算中同样可以选择其计算的复杂其计算的复杂程度与选择程度与选择相同。相同。【例例15】求不定积分求不定积分分析：分析：本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分的过程中正、负项抵消的过程中正、负项抵消.解：解：【例例16】设设的一个原函数为的一个原函数为，求，求解：由于解：由于 为为 的原函数的原函数，故，故从而从而【例例17】求不定积分求不定积分把假分式化成一个多项式与一个真分式的和把假分式化成一个多项式与一个真分式的和，对真，对真 分析：分析：由于被积函数为有理函数，且为假分式，所以首先由于被积函数为有理函数，且为假分式，所以首先 采用拆项积分。采用拆项积分。解：解：设设即即得得 于是于是【例例18】求不定积分求不定积分分析：分析：由于被积函数为有理函数且为真分式，分母是二次由于被积函数为有理函数且为真分式，分母是二次 是一次式是一次式，而分母的导数也是一次式，因此将分，而分母的导数也是一次式，因此将分 质因式，即不能分解成一次因式的乘积，注意到分子质因式，即不能分解成一次因式的乘积，注意到分子子变成分母的导数子变成分母的导数 形式，形式，所以把分子拆成所以把分子拆成 和和8两部分，而分子两部分，而分子可以凑微成可以凑微成，进而可以计算。，进而可以计算。解：解：【例例19】求不定积分求不定积分分析：分析：(1)由于被积函数为三角函数有理式，所以首先由于被积函数为三角函数有理式，所以首先想到用万能公式计算；想到用万能公式计算；(2)对被积函数进行恒等变形为：对被积函数进行恒等变形为：进行计算；进行计算；就可以用换元：就可以用换元：再利用再利用(3)把被积函数进行恒等变形为：把被积函数进行恒等变形为：的关系进行计算的关系进行计算.解法解法1：令令，则，则，于是，于是解法解法2：由于被积函数可化为由于被积函数可化为 的函数，可设的函数，可设 则则，于是，于是解法解法3：由于由于所以所以注：注：(1)通过上面三种解法可看出，用万能代换计算三角函数通过上面三种解法可看出，用万能代换计算三角函数有理式的积分一定能解出，但计算复杂，所以不是最优的。有理式的积分一定能解出，但计算复杂，所以不是最优的。其余的二种解法，很明显解法其余的二种解法，很明显解法3最简单快捷，因为它首先对被最简单快捷，因为它首先对被积函数进行了恒等变形，进而转化成几个基本积分公式的代积函数进行了恒等变形，进而转化成几个基本积分公式的代数和。数和。(2)在计算三角函数有理式的不定积分时，关键是利用三在计算三角函数有理式的不定积分时，关键是利用三角公式进行恒等变形，并利用三角函数与导数之间的关系进角公式进行恒等变形，并利用三角函数与导数之间的关系进行换元或凑微。行换元或凑微。