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6.1 距离与连通距离与连通二值图像只含有两个灰度级，一般用0来表示背景区域，1表示目标区域。对图像分割的结果如果目标区域像素标记为1而背景区域清零则会得到分割结果的二值图像，或者对边缘提取得结果边缘点取值为1而非边缘点取值为0则会得到图像的边缘二值图，这个获取二值图像的过程叫做二值化过程。第1页/共57页6.1.1距离的定义距离的定义 在在二二值值图图像像处处理理中中，往往往往需需要要计计算算两两个个像像素素点点间间的的距距离离，比比如如在在连连通通分分量量本本身身的的尺尺寸寸大大小小相相对对于于其其它它各各个个区区域域间间的的距距离离很很小小时时，计计算算两两个个区区域域间间的的距距离离可可以近似为计算两个区域间质心的位置距离。以近似为计算两个区域间质心的位置距离。满满足足下下面面三三条条性性质质的的函函数数形形式式均均可可以以作作为为距距离离的的定定义义，假假定定图图像像中中三三点点A,B,C：非负性：非负性：，当和点重合的时候，等号成立；，当和点重合的时候，等号成立；对称性：对称性：；三角不等式：三角不等式：第2页/共57页假设计算点假设计算点P(a,b)与与Q(c,d)间距离可以采取下面的几种定义形式：间距离可以采取下面的几种定义形式：欧几里德距离，用来欧几里德距离，用来De表示，如下式所示：表示，如下式所示：(6-1)街区距离，用街区距离，用D Ds s来表示：来表示：(6-2)棋盘距离，用棋盘距离，用D Dg g表示如下：表示如下：(6-3)三者之间的关系为：三者之间的关系为：，如图，如图6-16-1(a)、(b)和和(c)所示。所示。第3页/共57页 考考虑虑距距离离点点P(a,b)小小于于t t的的所所有有像像素素点点，将将发发现现使使用用街街区区距距离离这这些些点点组组成成一一个菱形区域，使用棋盘距离这些点组成一个正方形区域。个菱形区域，使用棋盘距离这些点组成一个正方形区域。点点P(a,b)到到连连通通区区域域R R的的距距离离定定义义为为该该点点到到中中所所有有点点之之间间距距离离的的最最小小距距离离；R的直径定义为的直径定义为R中两点间的最大的距离。中两点间的最大的距离。(a)欧氏距离欧氏距离 (b)街区距离街区距离 (c)棋盘距离棋盘距离 (d)2构成菱形构成菱形 (e)2构成正方形构成正方形图图6-1 三种距离示意图三种距离示意图第4页/共57页 (a)8-近邻近邻 (b)i近邻近邻 (c)d近邻近邻 图图6-2 像素的近邻关系与编码方式像素的近邻关系与编码方式 5.1.2 邻接与连通关系邻接与连通关系d近近邻邻：如如果果两两个个相相邻邻像像素素单单元元有有一一条条公公共共边边，则则这这两两个个像像素素为直接近邻，简称为直接近邻，简称d近邻，其它像素点为非直接近邻；近邻，其它像素点为非直接近邻；i近邻：如果二者只有一个公共点邻接，这种近邻简称近邻：如果二者只有一个公共点邻接，这种近邻简称i近邻。近邻。一一般般所所指指的的近近邻邻就就是是这这两两种种近近邻邻的的总总称称，叫叫做做n近近邻邻。如如果果我我们们按按照照图图6-2(a)中中的方式对近邻进行编码，的方式对近邻进行编码，其中编号为奇数的为其中编号为奇数的为d近邻近邻，编号为偶数的为，编号为偶数的为i近邻近邻，通常我们使用的为通常我们使用的为4近邻和近邻和8近邻。近邻。第5页/共57页 i通通路路(简简称称通通路路)是是一一个个像像素素序序列列 ，并并且且当当 时时像像素素Lk-1和和Lk互为一个互为一个i近邻；近邻；d通路通路则是要求则是要求Lk-1和和Lk必须为必须为d近邻。近邻。如如果果对对于于一一个个像像素素集集合合R中中任任意意两两个个象象素素点点p1和和p2，都都存存在在一一条条首首尾尾为为p1和和p2的的i通通路路，并并且且这这条条通通路路上上的的其其余余像像素素都都属属于于集集合合R，那那么么我我们们称称这这个个像像素素集集合合R是是i连通连通的。的。一一个个连连通通的的像像素素集集R的的边边界界（i边边界界）定定义义为为至至少少有有一一个个i近近邻邻不不存存在在R内内的的所所有有R中中的的像像素素点点的的集集合合；R的的d边边界界是是至至少少有有一一个个近近邻邻不不在在R内内的的所所有有R中中的的象象素点的集合。素点的集合。第6页/共57页 区区域域就就是是一一个个像像素素点点集集合合，这这个个集集合合中中的的任任意意两两点点都都可可以以用用包包含含在在集集合合内内的的一一条条曲曲线线连连接接起起来来；区区域域的的边边界界点点，就就是是指指那那些些无无论论它它的的邻邻域域有有多多小小，它它都都包包含含有集合的内点和外点的点集。有集合的内点和外点的点集。区域的连通性具有互逆性和传递性，记区域区域的连通性具有互逆性和传递性，记区域R、S和和T:(1)自连通性：自连通性：R与与R连通；连通；(2)对称性：若对称性：若R与与S连通，那么连通，那么S与与R也连通；也连通；(3)传递性：若传递性：若R与与S连通，连通，S与与T连通，则连通，则R与与T也连通。也连通。第7页/共57页5.1.3 区域的连通分量标记区域的连通分量标记 图图像像经经过过分分割割后后得得到到多多个个目目标标区区域域，有有必必要要对对每每个个目目标标区区域域进进行行标标记记和和识识别。一般在标记时把属于同一区域的不同连通分量标记为不同的标号。别。一般在标记时把属于同一区域的不同连通分量标记为不同的标号。标标记记的的方方法法通通常常采采用用顺顺序序标标记记的的方方法法。顺顺序序标标记记法法通通过过对对图图像像做做两两次次扫扫描描来来实实现现标标记记，扫扫描描的的方方向向是是由由左左到到右右，由由上上到到下下。假假定定1表表示示目目标标区区域域像像素素点点，0表示背景区域像素点。下面分别介绍表示背景区域像素点。下面分别介绍4连通分量和连通分量和8 8连通分量的顺序标注。连通分量的顺序标注。第8页/共57页4连通分量的顺序标注：连通分量的顺序标注：假假设设扫扫描描到到像像素素点点Ai,j，其其灰灰度度值值为为1，那那么么检检查查Ai-1,j和和Ai,j-1，因因为为是是顺顺序序扫扫描描，所所以以Ai-1,j和和Ai,j-1一一定定是是进进行行过过标标记记处处理理。所所以以针针对对这这两两个个邻邻接接点点的的不不同同情情况况可可以对以对Ai,j进行标记：进行标记：(1)Ai-1,j和和Ai,j-1均未被标记，则分配均未被标记，则分配Ai,j一个新的标记符；一个新的标记符；(2)有一个被标记，标记符为有一个被标记，标记符为a，则把，则把Ai,j也标记为也标记为a；(3)均均被被标标记记(分分别别为为a和和b)，那那么么把把Ai,j标标记记为为a，也也就就是是和和其其左左边边的的邻邻接接点点相相同的标记；记下标识符同的标记；记下标识符a和和b等价。等价。(a)原二值图像原二值图像 (b)第一遍扫描标记第一遍扫描标记 (c)第二遍扫描第二遍扫描标记标记图6-4 4连通分量的顺序标记第9页/共57页8 8连通分量的顺序标注：连通分量的顺序标注：与与4连连通通分分量量的的标标记记方方法法类类似似，不不同同的的是是当当扫扫描描到到像像素素点点Ai,j时时，需需要要检检查查Ai,j的的左左边边i邻邻接接点点Ai-1,j，左左上上i邻邻接接点点Ai-1,j-1，上上i邻邻接接点点Ai,j-1和和右右上上i邻邻接接点点Ai+1,j-1的的4 4个邻接点的标记情况来对其进行标记。个邻接点的标记情况来对其进行标记。(a)原二值图像原二值图像 (b)第一遍扫描标记第一遍扫描标记 (c)第第二遍扫描标记二遍扫描标记图6-5 8连通分量的顺序标记第10页/共57页6.2.1二值图像中曲线的描述二值图像中曲线的描述6.2.1.1轮廓跟踪轮廓跟踪-甲虫算法甲虫算法 目目标标区区域域的的边边界界轮轮廓廓是是描描述述目目标标的的重重要要特特征征，对对于于二二值值图图像像中中的的目目标标区区域域轮轮廓廓可可以以通通过过一一种种简简单单的的轮轮廓廓跟跟踪踪算算法法来来得得到到，这这种种方方法法也也被被称称作作甲甲虫虫算算法法。如如图图6-6所所示示的的二二值值图图像像4连连通通分分量量，假假定定目目标标区区域域用用1(黑黑色色)表表示示，背背景景区区域域用用0(白色白色)表示，给定甲虫起点表示，给定甲虫起点p p(i i,j j)，遵循准则：，遵循准则：6.2 二值图像的几何特征描述二值图像的几何特征描述 第11页/共57页 一一直直到到甲甲虫虫爬爬回回起起始始点点为为止止。甲甲虫虫的的爬爬行行轨轨迹迹反反映映了了目目标标区区域域的的轮轮廓廓特特征征。在在边边界界跟跟踪踪的的过过程程中中，会会出出现现一一些些小小循循环环，这这些些小小循循环环则则需需要要在在后后继继的的处处理理中中除除去去；另另外外，不不同同的的起起点点将将会会生生成成不不同同的的甲甲虫虫轨轨迹迹，但但是是差差别别不不是是很很大大。甲甲虫虫算算法法可可以以方方便的得到目标区域的轮廓，经过改进的甲虫算法可以方便的实现四连通链码。便的得到目标区域的轮廓，经过改进的甲虫算法可以方便的实现四连通链码。(a)甲甲虫虫算算法法示示例例 (b)不不同同起起点点将将导导致致不不同同结结果果 图图6-6 46-6 4连通甲虫算法连通甲虫算法 第12页/共57页 8连连通通区区域域的的边边界界：这这需需要要改改变变甲甲虫虫的的爬爬行行准准则则，假假定定当当前前甲甲虫虫位位置置为为p p(i i,j j)，从从该该点点的的左左边边(垂垂直直先先前前前前进进方方向向90o)开开始始顺顺时时针针顺顺序序考考察察p p(i i,j j)的的8邻邻接接像像素素点点，如如果果发发现现有有像像素素点点不不为为0，则则前前进进至至该该点点，持持续续该该过过程程，直直至至回回到到起起始始点点。相相对对比比8 8连通的甲虫算法产生的轨迹全部在区域内部，并且不会产生小环结构。连通的甲虫算法产生的轨迹全部在区域内部，并且不会产生小环结构。图图6-7 8连通甲虫算法连通甲虫算法 第13页/共57页 6.2.1.2链码（链码（chaincode）链链码码(又又称称Freeman链链码码)在在二二值值图图像像中中常常常常用用来来表表示示连连通通分分量量的的边边界界或或者者线线条。还可以计算出许多几何特征量条。还可以计算出许多几何特征量(线条的长度，闭合曲线的周长，所围面积等线条的长度，闭合曲线的周长，所围面积等)。如如 图图 6-8(b)所所 示示 的的 曲曲 线线 S从从 p p点点 开开 始始，形形 成成 的的 4链链 码码 为为：00300333212232211011；图图 6-8(d)曲曲 线线 S从从 q q点点 开开 始始，形形 成成 的的 8链链 码码 为为：1100776655443322。(a)4链码指向符 (b)曲线的4链码表示 (c)8链码指向符 (d)边界的8链码表示 图6-8 曲线的链码表示 第14页/共57页链码的表示方法具有下面一些有趣的特性：链码的表示方法具有下面一些有趣的特性：如果曲线上的像素数目为如果曲线上的像素数目为N，那么链码的长度则为，那么链码的长度则为N-1；链码是和起点相关的，不同的起点可以得到不同的链码表示。链码是和起点相关的，不同的起点可以得到不同的链码表示。链码具有平移的不变性，也就是说曲线的位置变动不改变其链码结构；链码具有平移的不变性，也就是说曲线的位置变动不改变其链码结构；曲线的旋转将使得得到的链码中的每个元素分量增加相同的数值。曲线的旋转将使得得到的链码中的每个元素分量增加相同的数值。第15页/共57页6.2.2区域简单特征描述区域简单特征描述6.2.2.1连通分量的面积连通分量的面积 连连通通分分量量的的面面积积实实际际上上就就是是连连通通像像素素点点集集中中像像素素的的个个数数，也也就就是是区区域域边边界界内内包包含含像像素素点点的的数数目目。设设二二值值图图像像f(x,y)的的连连通通分分量量 的的大大小小为为 ，其中：，其中：那么区域的面积为：那么区域的面积为：如如果果经经过过目目标标标标记记，区区域域占占有有的的连连通通分分量量有有k个个，那那么么目目标标区区域域的的面面积积则则是是k个连通分量的面积总和，即有：个连通分量的面积总和，即有：第16页/共57页6.2.2.2连通分量的周长连通分量的周长 连通分量的周长常用的定义一般有下面两种形式：连通分量的周长常用的定义一般有下面两种形式：周长可以使采用周长可以使采用8 8链码进行编码的曲线的长度：链码进行编码的曲线的长度：其其中中N1表表示示指指向向方方向向为为0,2,4,6的像素点数；N2为指向1,3,5,7的像素点数目；将边界像素点所占的面积定义为周长，也即边界点所占的像素点数目。第17页/共57页6.2.2.3 连通分量的位置连通分量的位置 连通区域在二值图像中一般除了是单像素外，一般都有自己的形状，因此连通区域在二值图像中一般除了是单像素外，一般都有自己的形状，因此也具有质心，通过对质心的定位，在目标识别中具有一定的实用意义。也具有质心，通过对质心的定位，在目标识别中具有一定的实用意义。假定二值图像假定二值图像f(x,y)，连通区域的面积为，连通区域的面积为S，则其质心坐标为：，则其质心坐标为：第18页/共57页6.2.2.4 区域的不变矩描述区域的不变矩描述 用用矩矩来来描描述述图图像像具具有有旋旋转转、比比例例缩缩放放和和平平移移具具有有不不变变性性，因因此此可可以以用用矩矩来来刻刻划划图图像像中中的的目目标标区区域域在在很很多多场场合合得得到到广广泛泛应应用用。连连续续的的二二维维矩矩（第第（p+q）阶阶矩矩）定义为：定义为：只只要要f(x,y)在在图图像像xy平平面面上上有有限限区区域域有有非非零零值值，则则其其各各阶阶矩矩都都存存在在且且唯唯一一，同同时可以通过其各阶矩可以实施对时可以通过其各阶矩可以实施对f(x,y)函数的重建，重建公式为：函数的重建，重建公式为：第19页/共57页零阶矩为：零阶矩为：零阶矩表述的是图像的总质量或者可以说是图像的面积。零阶矩表述的是图像的总质量或者可以说是图像的面积。一阶矩：一阶矩：一阶矩则反映了图像质心的位置。对一阶矩归一化，于是可以得到图像的质心位置如下：第20页/共57页二阶矩：二阶矩：二二阶阶矩矩则则描描述述了了图图像像的的对对于于直直线线和和对对轴轴与与轴轴的的转转动动惯惯量量，因因此此常常常常也也把把物物体体的的二二阶矩称为惯性矩。阶矩称为惯性矩。中心矩中心矩：第21页/共57页 低低阶阶矩矩主主要要描描述述区区域域的的面面积积、转转动动惯惯量量、质质心心等等等等，具具有有明明显显得得几几何何意意义义，而而高高阶阶矩矩一一般般主主要要描描述述区区域域的的细细节节特特征征，比比如如三三阶阶矩矩描描述述扭扭曲曲度度，四四阶阶矩矩描描述述峰峰值值的的状状态态等等等等，一一般般来来说说高高阶阶矩矩受受到到图图像像离离散散化化等等的的影影响响，高高阶阶矩矩一一般般在在应应用用中中不不一一定定十分准确。十分准确。对于离散的的数字图像对于离散的的数字图像f(i,j)，矩定义为：，矩定义为：对于二值图像，在目标区域对于二值图像，在目标区域R有有f(i,j)=1，背景区域，背景区域f(i,j)=0，因此：，因此：第22页/共57页 同同样样的的，考考察察二二值值图图像像各各阶阶矩矩，我我们们可可以以知知道道，其其零零阶阶矩矩m00为为目目标标区区域域的的面积，也即区域中包含的点数；假设面积，也即区域中包含的点数；假设为目标的质心位置，其中有为目标的质心位置，其中有:则离散图像的中心矩为：则离散图像的中心矩为：第23页/共57页6.3 二值图像的常规处理二值图像的常规处理6.3.1 二值图像的布尔二值图像的布尔(Boolean)操作操作二二值值图图像像的的基基本本的的布布尔尔操操作作有有非非(NOT)，或或(OR)，与与(AND)，异异或或(XOR)和和相相减减(SUB)操操作作，其其它它的的布布尔尔操操作作都都可可以以由由这这些些基基本本操操作作推推论论得得出出。假假设设二二值值图图像像a,b和结果二值图像和结果二值图像c这些基本布尔操作描述如下：这些基本布尔操作描述如下：NOT：c=；OR ：c=a+b ；AND：c =；XOR：c=；SUB：c=第24页/共57页 在在具具体体实实现现的的时时候候，这这些些布布尔尔操操作作实实际际上上是是对对具具体体的的每每个个像像素素进进行行布布尔尔操作，比如操作，比如SUB操作可以描述为：操作可以描述为：=具体的描述可以用图具体的描述可以用图6-156-15的表格来说明：的表格来说明：图图6-15 布尔操作示意图布尔操作示意图 第25页/共57页 (d)OR(a,b)(b)AND(a,b)(c)XOR(a,b)(d)SUB(a,b)图6-16 各种二值图像布尔操作示例 如果二值图像中如果二值图像中1用黑色表示，用黑色表示，0用白色表示，图用白色表示，图6-16给出了二值图像布尔操给出了二值图像布尔操作的结果示例。作的结果示例。(a)图像图像a (b)图像图像 b (c)NOT(b)第26页/共57页6.3.2二值图像的黑白点噪声消除二值图像的黑白点噪声消除 对图像直接分割处理，在二值化后结果也可能会产生类似黑白点样的噪声，假定目标区域用黑色表示，背景为白色，这种噪声具体表现则为目标区域出现零星白色像素点或者背景区域出现少数的黑色像素点。为了提高对二值图像的特征提取准确性和后继处理的方便性，往往需要消除这些黑白点噪声。这里我们介绍一种去除黑白点噪声的简单方法。第27页/共57页消除孤立黑（白）像素点消除孤立黑（白）像素点在在4邻邻接接的的情情况况下下，若若黑黑（白白）像像素素点点p(i,j)的的上上下下左左右右4个个邻邻接接像像素素点点全全部部为为白白（黑黑）像像素素点点，则则将将p(i,j)的的值值改改为为白白（黑黑）；如如果果是是8邻邻接接的的情情况况下下，则则若若黑黑（白白）像素点像素点p(i,j)的的8个邻接像素全部为白（黑）时，把个邻接像素全部为白（黑）时，把p(i,j)的值修改为白（黑）。的值修改为白（黑）。消除黑白点噪声消除黑白点噪声消消除除黑黑白白点点噪噪声声可可以以通通过过对对像像素素点点进进行行邻邻域域平平均均来来判判断断是是否否清清除除该该点点。具具体体的的实现方法如下，设像素点实现方法如下，设像素点p(i,j)的的8个邻接像素点平均灰度值为个邻接像素点平均灰度值为：其中其中-p(i,j)表示反转像素点表示反转像素点p(i,j)的取值，即的取值，即0变变1，1变变0。第28页/共57页6.3.3 二值图像的细化二值图像的细化（Thinning）图图像像细细化化是是在在不不改改变变图图像像像像素素拓拓扑扑连连接接性性关关系系的的前前提提下下，连连续续地地剥剥落落图图像像的的外外层层像像素素，使使之之最最终终成成为为单单像像素素宽宽的的过过程程。细细化化是是一一个个迭迭代代的的过过程程，需需要要遵遵循循下下面面的的准则：准则：在在去去除除区区域域边边界界点点时时，不不能能消消除除破破坏坏区区域域的的连连通通性性的的点点，如如图图5-17(a)不不能能删删除其中心像素。除其中心像素。不不能能减减小小区区域域形形状状的的的的长长度度，也也就就是是说说迭迭代代的的过过程程中中不不能能去去掉掉端端点点(只只有有一一个个邻接点的点邻接点的点)。如果把边界分为上下左右四个方向，那么每次如果把边界分为上下左右四个方向，那么每次的迭代只能消除一个方向上的边界点，为了保持细化的迭代只能消除一个方向上的边界点，为了保持细化的结果尽量靠近骨架，也即位于中线附近，需要交替的结果尽量靠近骨架，也即位于中线附近，需要交替的对四个方向进行细化，比如采用上、下、左、右、的对四个方向进行细化，比如采用上、下、左、右、上上的顺序。的顺序。(a)破破坏坏连连通通性性 (b)减减小小形形状状长长度度 图图6-17 细化准则细化准则 第29页/共57页 简简单单边边界界点点：对对于于区区域域R的的一一个个边边界界点点p，如如果果属属于于区区域域R的的邻邻域域元元素素中中只只有有一个与一个与p邻接，则称邻接，则称p点为区域点为区域R的简单边界点。的简单边界点。细细化化的的过过程程可可以以概概述述为为在在不不破破坏坏连连通通性性且且不不减减小小区区域域形形状状长长度度的的条条件件下下消消去去R中中不不是是端端点点的的简简单单边边界界点点，过过程程是是按按S的的上上（北北）、下下（南南）、左左（西西）、右右（东东）四四个个方方向向顺顺序序，反反复复进进行行扫扫描描以以消消去去可可删删除除简简单单边边界界点点，直直到到不不存存在在可可以以消消去去的的简简单边界点为止单边界点为止。第30页/共57页 采采取取图图6-18所所示示的的8连连通通进进行行细细化化。准准则则可可以以演演化化为为下面的四个公式，式中的乘和加为逻辑乘与加：下面的四个公式，式中的乘和加为逻辑乘与加：上边界点上边界点f00(f00=1且且f0,-1=0)消除：消除：下边界点下边界点f00(f00=1且且f0,1=0)消除：消除：左边界点左边界点f00(f00=1且且f-1,0=0)消除：消除：右边界点右边界点f00(f00=1且且f1,0=0)消除：消除：图 6-18 8连通示意图 第31页/共57页 下下面面介介绍绍一一种种比比较较简简单单的的细细化化算算法法，由由E.S.Deutsch提提出出。该该算算法法需需要要对图像进行两次扫描：对图像进行两次扫描：v通过统计点通过统计点8邻域内的像素数目依照一定的逻辑准则来对要消去的像素进行标记；邻域内的像素数目依照一定的逻辑准则来对要消去的像素进行标记；v第第二二遍遍时时采采取取另另外外一一个个逻逻辑辑准准则则处处理理点点邻邻域域内内的的像像素素，对对要要消消去去的的像像素素进进行行标标记；记；v扫扫描描完完毕毕之之后后去去掉掉作作了了标标记记的的像像素素，重重复复上上述述的的操操作作，直直到到得得到到单单像像素素宽宽的的线线条为止。条为止。第32页/共57页假定用假定用N(p)表示表示p点邻域内目标像素的数目：点邻域内目标像素的数目：T(p)表示表示p点邻域像素逆时针序列点邻域像素逆时针序列中中变化的次数，那么逻辑准则和描述如下：变化的次数，那么逻辑准则和描述如下：第33页/共57页图图6-20是针对一幅指纹图像采取上述细化方法的细化的结果。是针对一幅指纹图像采取上述细化方法的细化的结果。(a)指指纹纹原原图图 (b)二二值值化化的的结结果果 (c)细化图细化图图图6-20 对指纹图像细化的结果对指纹图像细化的结果第34页/共57页6.4二值图像的形态学处理二值图像的形态学处理 数数学学形形态态学学(Mathematical Morphology)是是一一门门建建立立在在集集合合理理论论基基础础上上的的学学科科，它它是是几几何何形形态态分分析析和和描描述述的的有有力力工工具具。数数学学形形态态学学可可以以方方便便地地对对二二值值图图像像进进行行噪噪声声滤滤除除、边边界界提提取取、区区域域填填充充、细细化化与与骨骨架架提提取取等等算算法法，并并且且还还可可方方便便地地推推广到一般的灰度图像空间。广到一般的灰度图像空间。第35页/共57页 用数学形态学处理二值图像时，要设计一种搜集图像信息的用数学形态学处理二值图像时，要设计一种搜集图像信息的“探针探针”，称为结，称为结构元素，结构元素通常是一些小的简单集合，如圆形，正方形等的集合。构元素，结构元素通常是一些小的简单集合，如圆形，正方形等的集合。观察者在图像中不断移动结构元素，便可以考察图像各个部分之间的关系，观察者在图像中不断移动结构元素，便可以考察图像各个部分之间的关系，从而提取出有用的信息作结构分析和描述。从而提取出有用的信息作结构分析和描述。使用不同的结构元素和形态学算子可以获得关于目标的大小、形状、连通性使用不同的结构元素和形态学算子可以获得关于目标的大小、形状、连通性和方向等信息，形态学处理的效果则取决于结构元素的大小、内容、逻辑运算的和方向等信息，形态学处理的效果则取决于结构元素的大小、内容、逻辑运算的性质。性质。第36页/共57页6.4.1基本概念基本概念(d)集合A和Ac (e)A的平移Ax (f)A的映射 (g)A,B的差集A-B 图6-22 集合定义的示例(a)B包含于A (b)B击中A (c)B击不中A第37页/共57页 在在引引入入上上面面的的一一些些基基本本集集合合定定义义之之后后，我我们们给给出出明明可可夫夫斯斯基基(Minkowski)集合运算的定义，对于集合集合运算的定义，对于集合A和和B：Minkowski加：加：Minkowski减：减：第38页/共57页 6.4.2二值形态学基本运算二值形态学基本运算 在在实实际际运运用用数数学学形形态态学学处处理理图图像像时时，集集合合A和和B并并不不视视作作对对等等关关系系，一一个个集集合合作作为为图图像像，另另外外一一个个集集合合为为结结构构元元素素。在在下下面面的的分分析析中中假假定定集集合合B为为结结构构元元素素，集集合合A为待处理图像。为待处理图像。绝绝大大多多数数的的形形态态学学运运算算都都定定义义在在两两个个基基本本运运算算的的基基础础即即：腐腐蚀蚀和和膨膨胀胀，在在此此基基础上定义了其它常用的形态变换。础上定义了其它常用的形态变换。下面对二值图像的形态学基本运算作一介绍。下面对二值图像的形态学基本运算作一介绍。第39页/共57页 6.4.2.1膨胀（膨胀（Dilation）与腐蚀（）与腐蚀（Erosion）膨胀运算膨胀运算D(A,B)为：为：（6-47）腐蚀运算腐蚀运算E(A,B)为：为：（6-48）膨膨胀胀和和腐腐蚀蚀运运算算是是明明可可夫夫斯斯基基加加和和减减运运算算的的特特例例。式式(6-47)描描述述的的膨膨胀胀公公式式说说明明用用B来来膨膨胀胀A就就是是对对于于B中中的的每每一一个个元元素素b来来位位移移A并并把把结结果果“或或(OR)”起起来来；式式(6-48)描描述述的的腐腐蚀蚀公公式式说说明明用用B来来腐腐蚀蚀A就就是是对对于于B中中的的每每一一个个元元素素b来来反反向向位位移移A并把结果并把结果“与与(AND)”起来。起来。第40页/共57页 观观察察图图6-23(g)和和(h)标标有有问问号号的的点点，(g)中中被被膨膨胀胀后后原原来来属属于于集集合合A的的元元素素现现在在没没有有了了，(h)中中原原来来不不属属于于集集合合A的的元元素素现现在在属属于于腐腐蚀蚀后后的的结结果果，因因此此膨膨胀胀的的结结果果或或者者腐蚀的结果与原集合没有任何包含或者被包含的关系。腐蚀的结果与原集合没有任何包含或者被包含的关系。(a)集合集合A (b)结构元素结构元素B (c)膨胀结果膨胀结果 (d)腐蚀腐蚀结果结果 腐蚀是一种消除边界腐蚀是一种消除边界点，使边界向内部收缩点，使边界向内部收缩的过程。可以用来消除的过程。可以用来消除小且无意义的物体区域；小且无意义的物体区域；膨胀则是将与物体接触膨胀则是将与物体接触的所有背景点合并到该的所有背景点合并到该物体中，使边界向外部物体中，使边界向外部扩张的过程，可以用来扩张的过程，可以用来填补物体中的空洞部分。填补物体中的空洞部分。(e)集集合合 (f)结结构构元元素素 (g)膨膨胀胀结结果果 (h)腐腐蚀结果蚀结果 图图6-23 膨胀与腐蚀示例膨胀与腐蚀示例 第41页/共57页 结结构构元元素素在在形形态态学学算算子子中中起起的的作作用用如如同同卷卷积积核核在在线线性性滤滤波波中中起起的的作作用用一一样样重重要要，不不同同的的结结构构元元素素将将产产生生不不同同的的图图像像膨膨胀胀和和腐腐蚀蚀结结果果，在在实实际际应应用用中中最最常常用用的的结结构构元元素素是如图是如图6-24所示的所示的4连通集合和连通集合和8连通集合。连通集合。图图6-24 常用的结构元素常用的结构元素(N4和和N8)第42页/共57页膨胀和腐蚀算子的特性：膨胀和腐蚀算子的特性：膨胀交换率：膨胀交换率：膨胀结合率：膨胀结合率：平移不变性：平移不变性：膨胀分配率：膨胀分配率：腐蚀分配率：腐蚀分配率：第43页/共57页若若B为为独独点点集集x，则则以以B为为结结构构元元素素作作膨膨胀胀运运算算则则相相当当于于平平移移操操作作，此此时时：D(A,B)=Ax膨胀和腐蚀是一对对偶算子，它们满足对偶率：膨胀和腐蚀是一对对偶算子，它们满足对偶率：注意：注意：腐蚀不满足交换率，即有：腐蚀不满足交换率，即有：；膨胀和腐蚀操作之间也不具有交换率，即：膨胀和腐蚀操作之间也不具有交换率，即：因因此此也也就就意意味味着着膨膨胀胀和和腐腐蚀蚀是是不不可可逆逆的的过过程程，同同时时也也说说明明膨膨胀胀和和腐腐蚀蚀运运算算是可以级联使用的。是可以级联使用的。第44页/共57页 图图6-25采采用用图图6-23中中的的集集合合和和图图6-23(f)中中的的结结构构元元素素进进行行级级联联运运算算，结结果果说说明明：先先膨膨胀胀后后腐腐蚀蚀的的结结果果和和先先腐腐蚀蚀后后膨膨胀胀的的结结果果是是并并不不一一样样。一一般般定定义义对对集集合合先先腐腐蚀蚀后后膨膨胀胀为为开开启启运运算算，对对集集合合先先膨膨胀胀后后腐腐蚀蚀为为闭闭合合运运算算，下下面面主主要要介介绍绍这这两两个个运算。运算。(a)膨膨胀胀的的结结果果 (b)膨膨胀胀后后再再腐腐蚀蚀 (c)腐腐蚀蚀的的结结果果 (d)腐腐蚀后再膨胀蚀后再膨胀图图6-25 膨胀和腐蚀的不可逆性膨胀和腐蚀的不可逆性第45页/共57页 6.4.2.2开启（开启（Open）与闭合（）与闭合（Close）假定集合假定集合A,B,A1和和A2，其中，其中A1是是A2的子集。的子集。开启运算：集合开启运算：集合B对集合对集合A先腐蚀后膨胀；先腐蚀后膨胀；闭合运算：集合闭合运算：集合B对集合对集合A先膨胀后腐蚀。先膨胀后腐蚀。第46页/共57页原原来来集集合合A是是连连通通的的，由由于于两两个个主主要要区区域域的的连连接接部部分分宽宽度度小小于于小小球球的的直直径径，因此腐蚀后形成了两个部分因此腐蚀后形成了两个部分;集集合合A经经过过开开启启运运算算后后集集合合中中向向外外的的突突出出角角未未变变，但但是是所所有有向向内内的的突突出出角角被被圆滑了；圆滑了；经经过过闭闭合合运运算算后后集集合合中中向向内内的的突突出出角角未未变变，但但是是所所有有向向外外的的突突出出角角被被圆圆滑滑了。了。(a)集合A (b)结构元素B(e)被膨胀的结果 (f)闭合运算的结果 图6-26 开运算和闭运算示例 (c)被腐蚀的结果 (d)开启运算的结果第47页/共57页 观察图观察图6-26的结果发现：的结果发现：开开运运算算有有消消除除细细小小物物体体，在在纤纤细细点点出出分分离离物物体体，平平滑滑物物体体边边界界，而而又又不不明明显显改改变其面积的功能；变其面积的功能；闭闭运运算算则则有有填填充充物物体体内内细细小小空空洞洞，连连接接相相邻邻物物体体，在在不不明明显显改改变变物物体体面面积积的的情情况下平滑边界的作用。况下平滑边界的作用。有有时时候候把把开开启启、闭闭合合运运算算反反复复做做多多次次，能能起起到到满满意意的的效效果果。例例如如有有噪噪声声的的图图像像阈阈值值二二值值化化时时，所所得得到到的的边边界界往往往往很很不不平平滑滑，物物体体内内部部有有孔孔，背背景景区区域域上上有有噪噪声声。即需要开元素，也需要闭运算。有时要几次腐蚀，再做相同次数膨胀。即需要开元素，也需要闭运算。有时要几次腐蚀，再做相同次数膨胀。第48页/共57页开启和闭合运算具有下面的特性：开启和闭合运算具有下面的特性：对偶率：对偶率：平移不变性：平移不变性：开运算具有非扩展性，闭合运算则具有扩展性，即有：开运算具有非扩展性，闭合运算则具有扩展性，即有：第49页/共57页 单调增加性：单调增加性：幂等性：幂等性：从从概概念念上上讲讲，一一次次闭闭合合运运算算已已经经把把的的毛毛刺刺等等细细节节去去掉掉了了，再再做做一一次次开开启启运运算算，没有更多的毛刺可消去，因此，第二次开启运算不再改变其形状，因此有等幂性。没有更多的毛刺可消去，因此，第二次开启运算不再改变其形状，因此有等幂性。第50页/共57页6.4.5形态学在二值图像中的应用形态学在二值图像中的应用 形形态态学学在在二二值值图图像像处处理理中中应应用用非非常常广广泛泛，通通过过对对形形态态学学算算子子的的不不同同组组合合可可以以实实现现对对二二值值图图像像的的滤滤波波、边边界界提提取取、细细化化、厚厚化化、区区域域填填充充、骨骨架架提提取取、剪剪枝枝等等等等运运算。算。比比如如形形态态学学算算子子的的开开启启和和闭闭合合运运算算就就可可以以拿拿来来对对二二值值图图像像进进行行滤滤波波运运算算，因因此此在在介介绍绍完完形形态态学学的的基基本本概概念念和和基基本本运运算算后后，下下面面我我们们主主要要介介绍绍几几种种形形态态学学在在二二值值图像处理中的应用。图像处理中的应用。第51页/共57页6.4.5.1 滤波去噪滤波去噪 把把数数学学形形态态学学算算子子开开启启和和闭闭合合结结合合起起来来就就可可以以构构成成形形态态学学滤滤波波器器，记记滤滤波波操操作为作为L(A,B)，则有：，则有：通过开启可以滤除目标区域外界的噪声，通过闭合操作则把目标区域内部的噪通过开启可以滤除目标区域外界的噪声，通过闭合操作则把目标区域内部的噪声消除了；因为闭合操作还具有平滑的作用，因此目标区域的边界也将得到平滑。声消除了；因为闭合操作还具有平滑的作用，因此目标区域的边界也将得到平滑。这个过程可以通过图这个过程可以通过图6-29来说明。来说明。第52页/共57页(a)二二值值图图像像 (b)结结构构元元素素(c)腐腐蚀蚀结结果果 (d)再再膨膨胀胀结结果果 (e)再再膨膨胀胀 (f)被腐蚀被腐蚀 图图6-29 形态学滤波示例形态学滤波示例 比较比较(a)和和(f)我们发现噪声被滤除了，除了四个角被圆滑，由于受到内部噪声的影我们发现噪声被滤除了，除了四个角被圆滑，由于受到内部噪声的影响，边界在平滑的地方出现弯曲，但是叠加了噪声的边界部分是被平滑了。响，边界在平滑的地方出现弯曲，但是叠加了噪声的边界部分是被平滑了。第53页/共57页(a)二二值值图图像像A (b)结结构构元元素素N8 (c)腐腐蚀蚀的的结结果果 (d)提提取取的的边界边界 图图 6-30 边界提取示例边界提取示例 6.4.5.2 边界提取边界提取 腐腐蚀蚀是是一一种种消消除除边边界界点点，使使边边界界向向内内部部收收缩缩的的过过程程，为为了了获获得得目目标标区区域域的的边边界界，可可以以用用原原集集合合A减减去去腐腐蚀蚀后后的的结结果果。一一般般可可以以采采用用N4或或者者N8来来作作为为结结构构元元素素。假假定定A的边界为的边界为l(A)，这个过程可以用下式来表达：，这个过程可以用下式来表达：第54页/共57页6.4.5.3细化（细化（Thinning）前面介绍了细化以及细化的几种方法。下面简单介绍以下用数学形态学来实现对二值图像的细化操作。数学形态学中细化的定义可以用击中-击不中变换来得到，定义细化操作如下：图图6-32 形态学细化示例形态学细化示例第55页/共57页(a)Circle 原原图图 (b)形形态态学学提提取取边边界界 (c)提取骨架提取骨架 图图6-33形态学算子提取骨架示例形态学算子提取骨架示例 6.4.6.4抽骨架（抽骨架（Skeletonization）用形态学理论提取骨架的的方法可以通过用腐蚀和开启运算来实现。用形态学理论提取骨架的的方法可以通过用腐蚀和开启运算来实现。第56页/共57页感谢您的观看。第57页/共57页