平面上的动力系统奇点与极限环课件.pptx

本讲讨论的平面上的动力系统(3.1)是满足初值问题解的存在、唯一性条件。由于平面的特性（特别是任一封闭曲线把平面分成两部分，连接这两部分的任意点的连续路径必定与曲线相交。三维空间没有这一特性。)，使得平面动力系统的轨线分布比较简单。系统(3.1)可写成(3.2)1第1页/共44页 系统(3.1)的奇点就是前面定义过的平衡点()。当(3.2)的积分曲线不含奇点时，它是(3.1)的轨线；当它跨越奇点时，被奇点分割的每一个连通分支都是(3.1)的一条独立的轨线。相平面上不是奇点的点称为常点常点，可以证明，常点附近的轨线结构是平凡的、即它同胚于一个平行直线族（这里同胚的意思是存在一个1-1的连续变换，把(3.1)的轨线变成平行直线族，见本讲附录）。从而，在研究相图的局部结构时，困难集中在奇点附近；而在研究相图的整体结构时，闭轨（极限环）和分型线将起重要作用。下面我们来研究奇点和极限环的分类。2第2页/共44页3.1 3.1 初等奇点初等奇点3.1.1 以点(0,0)为奇点的线性系统3.1.2 以点(0,0)为奇点的非线性系统3.1.3 保守系统3.1.4 非保守系统3第3页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统其中 A 为常实矩阵。当 时，称 初等奇点初等奇点，否则称为高阶奇高阶奇点点。初等奇点都是孤立奇点（无穷小邻域内没有其他的奇点）。作线性变换则方程(3.3)化成假定这里 已是若当标准型，并具有下列形式之一4(3.3)第4页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统这里 均为非零实数，为实数。下面不妨假定(3.3)中的 A 已是若当标准型。(1)这时轨线为(3.4)第5页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统661A.过 的直线束被奇点分割的每条射线都是系统(3.3)的轨线。当 时，沿每根轨线 ，从而是渐近稳定的；当 时，则情形相反，故奇点 是不稳定的。在这两种情形下，奇点 称为星形星形结点结点（或（或临界结点临界结点）。第6页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统71B.即矩阵 A 有两个同号但不相同的特征值。当 时，沿每根轨线 ，从而是渐近稳定的；当 时，则情形相反，故奇点 是不稳定的。由于所有轨线都是沿两个方向进入（或离开）奇点，所以称为两向结点两向结点（或简称结点结点）。第7页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统81C.即矩阵 A 有两个异号的特征值。这时轨线族除直线 外，是一个以它们为渐近线的双曲线族。奇点 是不稳定的，这种奇点称为鞍点鞍点。第8页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统9(2)即矩阵对应的是二阶若当块，方程的轨线为(3.5)不难得到第9页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统10 因此解族(3.5)中每条曲线都在原点与 y 轴相切，称 为系统的单向结点单向结点（或退化结点退化结点）。图3.4给出了稳定或不稳定单向结点的相图。第10页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统11(3)即矩阵有一对共轭的复特征值。取极坐标 ，则方程(3.3)化为(3.6)其解为(3.7)其轨线族为(3.8)第11页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统12 当 时，轨线不经过 ，它是绕奇点的螺旋线（族）当 时为逆时针方向旋转，当 时为顺时针方向旋转。当 且 时，即趋向奇点，所以是渐近稳定的，称为稳定焦点稳定焦点；当 且 时，即离开奇点，所以是负向渐近稳定的，称为不稳定焦点不稳定焦点。当 时轨线成同心圆，所以而是稳定的（但不是渐近稳定的），称为中心点中心点。第12页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系为奇点的线性系统统 上述讨论只涉及到矩阵 的特征值的性质，也就是由下列的特征方程根的性质决定 式中 而判别式为第13页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统14 将二阶矩阵的特征值分析和上述奇点类型的讨论结合，可得下列定理 定理定理3.1（初等奇点类型的判定）对于系统(3.3)，记则第14页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统15 图3.6概括了定理3.1的结果 平面被正 q轴、p轴和抛物线 分成9个区域，每个区域对应上述一种情形。H对应高阶奇点。这9个区域可以分为两类第一类是由平面上的开区域 组成，第二类则由各种曲线 构成。由于p,q 是 A 中元素的连续函数，所以当 A 变化足够小时，第一类区域中的点仍保持在各自区域中，换言之，奇点的类型保持不变；但对第二类区域却不然，无论 A 变化多么小，它都可能改变奇点的类型。第15页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统16 当系统(3.3)中的 A 不是若当标准型时，可以先用代数方法化为标准型，然后将对应的标准型相图（图3.1-3.5）通过逆变换 得到所需的相图。由于逆变换 是线性的，对应的相图变换是仿射变换，从而具有下列性质1.如果过奇点的一条直线是轨线，则在仿射变换下仍保持为直线。由于仿射变换是可逆的，所以过奇点的直轨线个数是不变的，譬如单向结点、两向结点和鞍点、星形结点分别具有一条、两条和无穷多条直轨线。2.轨线对原点的对称性在仿射变换下是不变的。利用上述性质，可以不必先化为标准型，而直接画出所需的相图。第16页/共44页3.1.1 3.1.1 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的线性系统为奇点的线性系统17例例3.1 作出系统在 附近的相图 解 ，所以 是鞍点。设 是（直线）轨线（同时亦为其他轨线的渐近线），则由方程由此容易画出 附近的相图（图3.7），再按前面讨论，可以确定轨线方向。图3.7 鞍点第17页/共44页3.1.2 3.1.2 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的非线性系统为奇点的非线性系统18 设已将方程右端函数分解成线性部分与高次项之和(3.9)在什么条件下，它与对应的线性方程组(3.10)在相平面上 点附近具有相同的定性结构？这里所说的“相同定性结构”是指 点附近两者的相图是同胚的、即奇点的分类和稳定性相同奇点的分类和稳定性相同。记第18页/共44页3.1.2 3.1.2 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的非线性系统为奇点的非线性系统19 这样我们有下列定理（证明略）定理定理3.2 系统(3.10)以 为初等奇点，则 总之，在上述条件下，我们称系统(3.9)和系统(3.10)在 附近有相同的定性结构相同的定性结构。注意系统(3.10)的轨线结构是全局性的，而与此近似的系统(3.9)的轨线结构性质只在 附近，所以是局部的。第19页/共44页3.1.2 3.1.2 以点以点(0,0)(0,0)为奇点的非线性系统为奇点的非线性系统20 例例3.2 解其平衡点为 ，线性化后为 。其特征值 ，为中心。现在求解原方程，容易得到：作变量代换：，则上述方程为：因为 ，所以从而 是一稳定焦点。这个例子表明，尽管方程满足条件A、B、C，但解的定性却改变了（中心变成焦点）。下面两段将上述结果应用到保守和非保守的力学系统上去。第20页/共44页3.1.3 3.1.3 保守系统保守系统21 考虑下到的保守系统(3.11)写成一阶的形式(3.12)其平衡点为 ，这里假定有 r个平衡点，且 。将方程(3.12)右端在平衡点 附近展开这里 其特征方程为第21页/共44页3.1.3 3.1.3 保守系统保守系统22从而，当 时为中心，时为鞍点。如果将 写成势函数形式则上述结果分别对应于在平衡点 处，达到极小和极大值。利用势函数，可以得到方程(3.12)的相轨线（能量积分）为(3.13)很明显，轨线关于 x 轴是对称的。从(3.13)式可以得到对于闭轨，其周期为第22页/共44页3.1.3 3.1.3 保守系统保守系统23 例例3.3 质量为m 的质点沿着半径为a、转速为 的光滑圆环运动。分析平衡点和相图。模型 解:由质点的周向平衡方程引入第23页/共44页3.1.3 3.1.3 保守系统保守系统24则得到状态方程和系统的平衡点为 。考虑到其相轨线为第24页/共44页3.1.3 3.1.3 保守系统保守系统25从而可计算出过鞍点的相轨线为平衡点及相图第25页/共44页3.1.4 3.1.4 非保守系统非保守系统26 比较典型的非保守系统为耗散系统和自激振动系统。1.耗散系统耗散系统 考察下列系统(3.14)按上面保守系统定义，系统总能量为对E求导并利用式(3.14)若 ，则系统为耗散系统耗散系统，称为阻尼力。第26页/共44页3.1.4 3.1.4 3.1.4 3.1.4 非保守系统非保守系统非保守系统非保守系统27 例例3.4 求下列含Coulomb干摩擦系统的相图。解写成分段的非线性方程式中令 ，则在相平面中的轨线满足积分可得第27页/共44页3.1.4 3.1.4 非保守系统非保守系统28这里 分别为相平面中上半平面和下半平面上的积分常数。由图3.9可以看到，在上半平面内相轨线是以 为中心的半椭圆，而在下半平面内相轨线是以 为中心的半椭圆，它们组成了螺旋线。一旦螺旋线进入到 区间，运动即告终止，因为此时弹性力要小于静摩擦力。图3.10 例3.4相图第28页/共44页3.1.4 3.1.4 非保守系统非保守系统292.自激振动系统自激振动系统 非保守系统为维持不衰减振动需要不断补充能量。如果用交变的外激励来补充能量，则为强迫系统的振动，此时显含时间 t、为非自治系统。如果系统能从不显含时间 t 的常能源获得补充，则系统是自治的，称为自激振动。工程中干摩擦力、气动弹性力、滑动轴承的油膜力会随振幅（速度）发生变化，从而有可能引起系统的自激振动。Coulomb将摩擦力简化为幅值为常数、方向与相对速度相反的力，但动摩擦力的实验表明，实际幅值与接触面相对速度有关（图3.11）。在一定条件下，这样的摩擦力会产生自激振动，如弦乐器发音就属于这种自激振动。第29页/共44页3.1.4 3.1.4 非保守系统非保守系统30 例例3.5 考察图3.12a所示的单自由度系统的微振动，其中动摩擦力 和相对速度 v 之间关系如图3.11所示。图3.11 动摩擦力和相对速度 图3.12a 水平运动皮带上的振动系统第30页/共44页3.1.4 3.1.4 非保守系统非保守系统31 解设 w为弹簧变形，u为皮带的运动速度(匀速)，则质量 m的运动方程为这个系统的平衡位置（时）为 现在考虑平衡位置附近的微振动，为此令 ，则方程变为式中 。当相对速度 时，对应于（图3.11）中 CA段，此时第31页/共44页3.1.4 3.1.4 非保守系统非保守系统32意味着此时为负阻尼，向系统输入能量，诱发自激振动。图3.12b是用Lenard图解法画出的相轨线图（参见参考书目4），这里有一条（过 点）的闭轨 l。当初始点 A在 l 外时，相轨线将逐步向原点收缩，一旦轨线与直线 相交，则将沿 到达 点，以后就在闭轨 l上运动。相反地，当初始点在 l 内时，相轨线将逐步向外发散，最终进入闭轨l 运动。闭轨 l 上的运动就是自激振动。自激振动的相轨线 第32页/共44页3.2 3.2 极限环极限环33 若动力系统(3.1)的闭轨 在某个(环形)邻域内不再有别的闭轨，即 是孤立闭轨，称为极限环极限环。上一节的例3.5中 l 就是极限环。奇点(不动点)是一类特殊的轨线，而极限环是另一类特殊的轨线。如果邻近轨道渐近地趋于它或远离它，称为稳定的稳定的（内含可不稳定平衡点）或不稳定的（内含可稳定平衡点）极限环。如果邻近轨道从一侧趋近而从另一侧远离，则称半稳定的半稳定的极限环。这里的稳定性称为轨道稳定性轨道稳定性，它不同于Liapunov的运动稳定性，因为轨道接近不同于运动的同步接近。譬如有两个相邻轨道 ，如果 使得 ，但 ，则一个轨道对另一个是轨道稳定的，但不是Liapunov稳定的。第33页/共44页3.2 3.2 极限环极限环34 例例3.6 解：是不稳定的焦点（）；化为极坐标显然 为稳定的极限环，因为 。第34页/共44页3.2 3.2 极限环极限环35 例例3.7 解：是稳定的焦点（）；化为极坐标显然 为不稳定的极限环。第35页/共44页3.2 3.2 极限环极限环36 例例3.8 解：是一不稳定的焦点（）；化为极坐标由于 ，所以从内侧趋向 ，而从外侧是发散的，从而是半稳定的极限环。第36页/共44页3.2 3.2 极限环极限环37 由于这里例子中的极限环都是圆，所以在极坐标下讨论容易得到相应的结果。一般情况下求极限环是一件复杂的事（包括证明存在），构成了常微分方程的一大分支。现在介绍研究极限环的另一重要方法 后继函数法。设 是系统(3.1)的闭轨(图3.13)。在 上任取一点 P；过 P 作 的法线 。为便于计算，我们在 上引入坐标 n以 P 为坐标原点，以 的外法线为正向。设 是靠近 P 的法线上一点（坐标为 ）,从 的轨线首次与 交于点 （坐标为 ），称为 的后继点。把 上从 到后继点的映射称为Poincare映射映射，记为 ，称为后继函数后继函数。显然，Poincare 映射的不动点对应于系统的闭轨。第37页/共44页3.2 3.2 极限环极限环38 现在用后继函数研究极限环的稳定性。记可以看出，如果当 时恒有 （或 ），则 是外侧稳定（或不稳定）的；如果当 时，恒有 （或 ），则 是内侧稳定（或不稳定）的。由上述坐标的选取可知 。设(3.15)则有第38页/共44页3.2 3.2 极限环极限环39 因此，当 k为奇数并且 (或 )时，是稳定（或不稳定）的；当 k 为偶数时，是半稳定的极限环。如果 ，称为单重极限环单重极限环；若式(3.15)成立且 ，称为 重极限环。定理定理3.3 系统(3.1)的单重极限环 是结构稳定的结构稳定的，即对任意 ，存在 的环形邻域 ，使得(3.1)的任何 -邻近系统在 内仍有唯一的闭轨，而且它与 有相同的稳定性。第39页/共44页3.3 3.3 当系统参数改变是否会引起解的定性的当系统参数改变是否会引起解的定性的改变？改变？40 上面两节讨论了奇点和极限环的稳定性，这可视为两类特殊轨道的稳定性。对于一般轨道，有下列的轨道稳定性结果 记 为所有形如(3.1)的系统的集合，其中 是连续可微的。设(3.16)称 是(3.1)的 邻近系统邻近系统，即 第40页/共44页3.3 3.3 当系统参数改变是否会引起解的定性的改变？当系统参数改变是否会引起解的定性的改变？41 所谓系统(3.1)和(3.16)轨道等价轨道等价是指存在同胚映射（局部连续可逆变换，见本讲附录），使得(3.1)的轨线变成(3.16)轨线。换言之，若线性化后系统的轨道性态与原系统相似（即上述分类和稳定性不变），称为两系统是等价的。如果存在 ，使得(3.1)与任意 邻近系统都是轨道等价，则称系统是结构稳定结构稳定的。粗略地说，当新的系统是 邻近系统时，其对应的线性化方程的系数可以稍微的改变，此时系统在 平面（图3.6）上的位置会有所改变。如果原系统是在某一区域内（如 区域），则只要改变足够小，就可以保证轨道的等价（即在同一区域内）；但如果原系统是在下列某一条线上 （即 ），即其特征值处于某种临界状态,则即使系统的位置改变足够小，也可能偏离该线，造成轨道的不等价，从而需要另行讨论。第41页/共44页3.3 3.3 当系统参数改变是否会引起解的定性的改变？当系统参数改变是否会引起解的定性的改变？42 定理定理3.4 如果系统(3.1)的线性部分的矩阵是常矩阵，其特征值实部都不为零（此时称 为它的双曲奇点双曲奇点），则它在奇点 附近是（局部）结构稳定的，并且轨道也等价于它的线性化系统。注意，定理3.4给出的是结构稳定的充分但非必要条件。第42页/共44页课后习题课后习题43第43页/共44页44感谢您的观看。第44页/共44页