工学方差分析课件.pptx
方差分析是分析试验（或）观测数据的一种方法，它所要解决的基本问题是方差分析是分析试验（或）观测数据的一种方法，它所要解决的基本问题是通过数据的分析，弄清与研究对象有关的各个因素以及各个因素之间交互作通过数据的分析，弄清与研究对象有关的各个因素以及各个因素之间交互作用对该对象的影响。它所研究的对象都假定遵从正态分布。用对该对象的影响。它所研究的对象都假定遵从正态分布。第1页/共60页2-1 2-1 单因素方差分析单因素方差分析单因素试验 在试验中只有一个因素的水平在改变，而其他因素的水平固定不变，在试验中只有一个因素的水平在改变，而其他因素的水平固定不变，试验的目的在于比较因素各水平上指标值之间的差别。试验的目的在于比较因素各水平上指标值之间的差别。第2页/共60页一、单因素方差分析的基本思想一、单因素方差分析的基本思想 例 考察生产某化工产品时反应温度A()对收 率（y%)的 影 响。为 此，比 较 两 个 反 应 温 度A1=30，A2=40。这是一个单因素二水平的试验，试验结果如表2.1所示。第3页/共60页 反映了指标观测值总的波动情况反映了指标观测值总的波动情况误差离差平方和误差离差平方和总的平均值：总的平均值：总离差平方和总离差平方和（偏差平方和）：（偏差平方和）：因素水平改变引起的离差平方和因素水平改变引起的离差平方和第4页/共60页指标总的波动可分解成指标总的波动可分解成因素水平改变引起的波动试验误差引起的波动偏差平方和分解公式偏差平方和分解公式第5页/共60页 有了有了 和和 之后，是否就能直接比较出由于因素水平的变之后，是否就能直接比较出由于因素水平的变化引起的数据波动与试验误差引起的数据波动之间的差异呢？还化引起的数据波动与试验误差引起的数据波动之间的差异呢？还有问题，因为离差平方和不仅与数据本身有关，而且还与数据的有问题，因为离差平方和不仅与数据本身有关，而且还与数据的个数有关。为此，必须消除数据个数的影响，采用平均离差平方个数有关。为此，必须消除数据个数的影响，采用平均离差平方 与与 进行比较，并以此作出推断，这里进行比较，并以此作出推断，这里 和和 fe分别称为分别称为 与与 的自由度，即离差平方和式中独立数据的个数。的自由度，即离差平方和式中独立数据的个数。第6页/共60页第7页/共60页第8页/共60页如果FA的值接近于1说明因素水平的改变对指标的影响与试验误差对指标的影响相近因素对指标影响不不显著反之则认为反之则认为因素对指标影响显著因素对指标影响显著第9页/共60页则认为在给定的这个显著水平下因素A对指标的影响不显著。第10页/共60页在本例中，因 fA=1，fe=8；第11页/共60页单因素方差分析的基本思想单因素方差分析的基本思想 从上述例子的分析可以看出，方差分析的基本思想是：首先从数量上将因素对指标的影响和误差对指标的影响加以区分并作出估计，然后将它们进行比较，从而作出因素对指标的影响是否显著或因素各水平之间的差异是否显著的推断。第12页/共60页二、方差分析的一般方法二、方差分析的一般方法(逻辑推理逻辑推理)-表示因素A第i次水平的主效应响应的总均值-表示响应y y在水平i下的真值-表示在水平i下的第 j 次试验的随机误差，第13页/共60页至少有一个不为0 0则因素A水平的改变对响应y y是否有显著影响的问题就变为检验假设：是否成立的问题。备择假设第14页/共60页1.参数估计第15页/共60页第16页/共60页第17页/共60页2.离差平方和分解与显著性检验离差平方和分解与显著性检验表示响应值的总波动，称为总离差平方和表示响应值的总波动，称为总离差平方和.第18页/共60页则有 ,分别称为误差平方和和因素分别称为误差平方和和因素A A的离差平方和的离差平方和,反映了反映了试验误差引起的响应值的波动试验误差引起的响应值的波动,而而 反映了因素反映了因素A A水平的改水平的改变引起的响应值的波动变引起的响应值的波动,式式(2.6)(2.6)称为离差平方和分解公式称为离差平方和分解公式.(2.6)第19页/共60页第20页/共60页第21页/共60页第22页/共60页 一次抽样后由样本计算一次抽样后由样本计算 FA 的数值，若的数值，若FAF(r1，nr)，拒绝假设，拒绝假设H0，即认为在显著水平，即认为在显著水平下，因素下，因素A的不同的不同水平对试验结果有显著影响；若水平对试验结果有显著影响；若FAF(r1，nr)，则接，则接受假设受假设H0，即认为因素，即认为因素A水平的改变对试验结果无显著影响。水平的改变对试验结果无显著影响。将以上分析过程列为方差分析表将以上分析过程列为方差分析表22。第23页/共60页表22方差分析表 在显著性一栏，对 =0.05,检验结果若是因素A显著，则标以记号“*”;对 =0.01，若A显著，则标以记号“*”。第24页/共60页第25页/共60页3.多重比较多重比较(S检验）检验）若若F F检验显著，只表明因素各水平之间存在显著差异，检验显著，只表明因素各水平之间存在显著差异，但并未指明哪些水平之间存在显著差异，因而还须进一步但并未指明哪些水平之间存在显著差异，因而还须进一步作对水平的比较，即所谓多重比较。多重比较对确定较好作对水平的比较，即所谓多重比较。多重比较对确定较好生产工艺条件很有帮助，在一项试验中，如果是指标值大生产工艺条件很有帮助，在一项试验中，如果是指标值大好，人们通常选取平均指标值高的所对应的水平作为较好好，人们通常选取平均指标值高的所对应的水平作为较好工艺条件。指标值小的情况类似。当两个水平之间的差异工艺条件。指标值小的情况类似。当两个水平之间的差异显著时，这样做会取得良好的效果显著时，这样做会取得良好的效果;但当两个水平之间的但当两个水平之间的差异不显著时。从中选取容易操作的水平作为较好工艺条差异不显著时。从中选取容易操作的水平作为较好工艺条件，会更经济合算一些。多重比较常采用件，会更经济合算一些。多重比较常采用S S检验法。检验法。第26页/共60页第27页/共60页第28页/共60页对给定的检验水平，计算第29页/共60页第30页/共60页第31页/共60页第32页/共60页第33页/共60页第34页/共60页第35页/共60页第36页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析 例23 一种火箭使用了四种燃料，三种推进器做射程试验。每种燃料和每种推进器的组合各做一次试验，得火箭射棍如表2.8所示。试问不同的燃料、不同的推进器分别对射程有无显著影响？第37页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第38页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析 在该例中，有A，B两个因素，因素A有四个水平A1，A2，A3，A4，因素B有三个水平B1，B2和B3，在每种水平组合（Ai，Bj）各做一次试验测得观察值，要考察因素A和B水平的改变对试验结果有无显著影响？下面我们叙述 这个模型的一般情形。第39页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析 设影响试验指标的有A，B两个因素，因素A有r个不同的水平：A1，A2，Ar，因素B取s个水平：B1，B2，Bs，从A与B的每一水平搭配只做一次试验，A的第i水平与B的第j水平搭配进行试验的结果用yij表示，列于表2.9中。第40页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第41页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析其中：第42页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析试问：A，B两个因素对响应有无显著影响，或者说因素A各水平之间是否差异显著？又因素B各水平之间是否差异显著?对于显著因素显著差异又存在于哪些水平对?第43页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第44页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第45页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第46页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第47页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第48页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第49页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第50页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第51页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第52页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第53页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第54页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第55页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第56页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第57页/共60页2.2两因素不重复试验的方差分析第58页/共60页 练习题 单因子试验中有如下试验结果：计算误差平方和Se，因子的平方和A，总平方和ST，并指出它们各自的自由度。水 平数 据 A1 A2 A34,8,5,7,62,0,2,2,43,4,6,2,5第59页/共60页感谢您的观看！第60页/共60页
