数值计算方法三次样条插值.pptx
4.4.1 分段插值第1页/共69页分段线性插值第2页/共69页分段线性插值第3页/共69页分段线性插值第4页/共69页n缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在第5页/共69页分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。第6页/共69页分段三次Hermite插值第7页/共69页分段三次Hermite插值算法第8页/共69页例题第9页/共69页例题第10页/共69页4.4.2 三次样条插值第11页/共69页三次样条插值第12页/共69页三次样条插值第13页/共69页三次样条插值第14页/共69页三次样条插值第15页/共69页三次样条插值第16页/共69页三次样条插值第17页/共69页三次样条插值第18页/共69页第19页/共69页三次样条插值第20页/共69页三次样条插值第21页/共69页三次样条插值第22页/共69页三次样条插值第23页/共69页例题例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.97800 0.91743 0.831600.73529第24页/共69页解 做差商表(P111),由于是等距离节点,第25页/共69页由第二类边界条件得第26页/共69页解方程得将Mi代入式4.4.14)得第27页/共69页由于 故 第28页/共69页45 曲线拟合的最小二乘法插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.第29页/共69页4.5.1 最佳平方逼近定义4.5.1 设 称 为函数 在区间a,b上的内积.其中 为区间a,b上的权函数,且满足下面两个条件:第30页/共69页容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.第31页/共69页内积的性质第32页/共69页函数的欧几里得范数定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.第33页/共69页函数的欧几里得范数性质第34页/共69页线性相关的函数系定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为零的数 使成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.第35页/共69页线性相关的函数系的判定定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式第36页/共69页不难证明 在R上线性无关.定理4.5.1的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 .第37页/共69页最佳平方逼近定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关.记 为连续函数空Ca,b的子空间,如果存在元素 满足第38页/共69页则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近函数.且其中 是法方程唯一的一组解.第39页/共69页令 则误差为第40页/共69页特例取则法方程为其中第41页/共69页例题例4.5.1 设 求f(x)在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式.解 设 由于第42页/共69页故法方程为解得第43页/共69页平方误差为第44页/共69页4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.第45页/共69页在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据:,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小.第46页/共69页设 是a,b上一组线性无关的连续函数系,令记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即第47页/共69页达到极小值,这里 是a,b上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有第48页/共69页用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为第49页/共69页其中由于向量组 是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式 第50页/共69页故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解其平方误差为第51页/共69页特例第52页/共69页例题例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718第53页/共69页解 由式(4.5.16)可得解方程组得所以拟合二次函数为第54页/共69页平方误差为第55页/共69页例4.5.3 地球温室效应问题下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高第56页/共69页年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08第57页/共69页解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1(P119)第58页/共69页从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系为决定参数,将上式改写成第59页/共69页记 则有这是已知数据相应地变为如下表所示n1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32第60页/共69页由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:第61页/共69页相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求第62页/共69页以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得:N(7)=2078(年)第63页/共69页4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解设矛盾方程组这里mn,记第64页/共69页则上式可简记为Ax=b.矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足第65页/共69页引理 设 则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关,则 是非奇异方阵.第66页/共69页定理4.5.2 设 且各列向量线性无关,则(1)矛盾方程组(4.5.19)的法方程组 恒有解;(2)设x*是法方程组 的解,则x*是矛盾方程组(4.5.19)的最小二乘解.第67页/共69页定理4.5.2指出:实验数据 的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方程组的最小二乘解.第68页/共69页感谢您的观看。第69页/共69页
