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2.1引言我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或Z变换表示。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理的理论基础。第1页/共227页2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变换不相同，但都是线性变换，一些性质是相同的。2.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义序列x(n)的傅里叶变换定义为（2.2.1）第2页/共227页FT为Fourier Transform的缩写。FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：（2.2.2）X(ej)的傅里叶反变换为（2.2.3）第3页/共227页（2.2.1）和（2.2.3）式组成一对傅里叶变换公式。（2.2.2）式是傅里叶变换存在的充分必要条件，有些函数（例如周期序列）并不满足（2.2.2）式，说明它的傅里叶变换不存在，但如果引入冲激函数，其傅里叶变换也可以用冲激函数的形式表示出来，这部分内容将在2.3节介绍。第4页/共227页【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解（2.2.4）当N=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。第5页/共227页图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 第6页/共227页2.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质1 FT的周期性在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：(2.2.5)观察上式，得到傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。为整数第7页/共227页由FT的周期性进一步分析得到，在=0和=2M附近的频谱分布应是相同的（M取整数），在=0，2,4,点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈高，但又是以2为周期，那么最高的频率应是=。另外要说明的是，所谓x(n)的直流分量，是指如图2.2.2（a）所示的波形。例如，x(n)=cosm，当=2M,M取整数时，x(n)的序列值如图2.2.2（a）所示，它代表一个不随n变化的信号（直流信号）；当=(2M+1)时，x(n)波形如图2.2.2（b）所示，它代表最高频率信号，是一种变化最快的正弦信号。由于FT的周期是2，一般只分析之间或02范围的FT就够了。第8页/共227页图2.2.2cosm 的波形第9页/共227页2 线性设X1(ej)=FTx1(n),X2(ej)=FTx2(n),那么(2.2.6)式中,a，b是常数。第10页/共227页3时移与频移设X(ej)=FTx(n),那么(2.2.7)(2.2.8)第11页/共227页4 FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称，以及它的性质。设序列xe(n)满足下式：（2.2.9）则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示：第12页/共227页将上式两边n用n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：（2.2.10）（2.2.11）第13页/共227页上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列：（2.2.12）将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：第14页/共227页可以得到：（2.2.13）（2.2.14）即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。第15页/共227页【例2.2.2】试分析x(n)=ejm的对称性。解因为x*(n)=ejm=x(n)满足(2.2.9)式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，则得到：x(n)=cosn+j sinn上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。第16页/共227页一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即（2.2.15）式中，xe(n)和xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将（2.2.15）式中的n用n代替，再取共轭,得到：（2.2.16）第17页/共227页利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17）（2.2.18）利用上面两式，可以用x(n)分别求出xe(n)和xo(n)。第18页/共227页对于频域函数X(ej)，也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)（2.2.19）式中，Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足：（2.2.20）（2.2.21）第19页/共227页同样有下面公式成立：有了上面的概念和结论，下面研究FT的对称性。（2.2.22）（2.2.23）第20页/共227页(1)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行傅里叶变换，得到:式中第21页/共227页上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列。容易证明：Xe(ej)满足（2.2.20）式，具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；Xo(ej)满足（2.2.21）式，具有共轭反对称性质，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。第22页/共227页(2)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.24)将（2.2.17）和（2.2.18）式重写如下：第23页/共227页将上面两式分别进行傅里叶变换，得到：因此（2.2.24）式的FT为（2.2.25a）（2.2.25b）（2.2.25c）第24页/共227页（2.2.25）式表示：序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ej)的实部XR(ej)，而序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ej)的虚部(包括j)。下面我们利用FT的对称性，分析实因果序列h(n)的对称性，并推导其偶函数he(n)和奇函数ho(n)与h(n)之间的关系。因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。第25页/共227页因此实序列的FT是共轭对称函数,其实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为显然，其模的平方是偶函数，相位函数是奇函数，这和实模拟信号的FT有同样的结论。第26页/共227页按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：第27页/共227页因为h(n)是实因果序列，按照上面两式，he(n)和ho(n)可用下式表示：（2.2.26）（2.2.27）第28页/共227页按照上面两式，实因果序列h(n)可以分别用he(n)和ho(n)表示为（2.2.28）（2.2.29）式中（2.2.30）第29页/共227页因为h(n)是实序列，上面公式中he(n)是偶函数，ho(n)是奇函数。按照（2.2.28）式，实因果序列完全由其偶序列恢复，但按照（2.2.27）式，ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息。因此由ho(n)恢复h(n)时，要补充一点h(h)(n)信息。第30页/共227页【例2.2.3】x(n)=anu(n),0a1。求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解x(n)=xe(n)+xo(n)按（2.2.26）式，得到：第31页/共227页按（2.2.27）式，得到：x(n)、xe(n)和xo(n)波形如图2.2.3所示。第32页/共227页图2.2.3例2.2.3图第33页/共227页 5 时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n)则 Y(ej)=X(ej)H（ej）（2.2.31）证明第34页/共227页令k=nm，则第35页/共227页该定理说明，两序列卷积的FT服从相乘的关系。对于线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT。因此，在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积公式（1.3.7）计算，也可以在频域按照（2.2.31）式，求出输出的FT，再作逆FT，求出输出信号y(n)。第36页/共227页6 频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n)则(2.2.32)证明(2.2.33)第37页/共227页交换积分与求和的次序，得到：(2.2.34)该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时服从卷积关系。第38页/共227页7 帕斯维尔（Parseval）定理（2.2.35）第39页/共227页证明 第40页/共227页帕斯维尔定理表明了信号时域的能量与频域的能量关系。表2.2.1综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。第41页/共227页表2.2.1序列傅里叶变换的性质定理 第42页/共227页2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式因为周期序列不满足（2.2.2）式绝对可和的条件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数()，其FT可以用公式表示出来。第43页/共227页2.3.1周期序列的离散傅里叶级数设 是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数。如下:(2.3.1)为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和，即第44页/共227页式中(2.3.2)第45页/共227页(2.3.2)式的证明作为练习请读者自己证明。因此(2.3.3)式中，k和n均取整数。因为，l取整数,即是周期为N的周期函数，所以，系数ak也是周期序列，满足ak=ak+lN。第46页/共227页令 ,并将(2.3.3)式代入，得到:(2.3.4)式中，也是以N为周期的周期序列,称为 的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。第47页/共227页用(2.3.5)将（2.3.4）式和（2.3.5）式重写如下：(2.3.6)(2.3.7)代替(2.3.1)式中的ak,得到第48页/共227页（2.3.6）式和（2.3.7）式称为一对DFS。（2.3.5）式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k,k=0,1,2,N1,幅度为。基波分量的频率是2/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS系数表示它的频谱分布规律。【例2.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS。解按照（2.3.6）式,有第49页/共227页其幅度特性如图2.3.1(b)所示。第50页/共227页图2.3.1例2.3.1图 第51页/共227页2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，其傅里叶变换是在=0处的单位冲激函数，强度是2，即（2.3.8）对于时域离散信号，2/0为有理数，暂时假定其FT的形式与（2.3.8）式一样，即是在0处的单位冲激函数，其强度为2。但由于n取整数，下式成立：第52页/共227页r取整数因此 的FT为 (2.3.9)(2.3.9)式表示复指数序列的FT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。但这种假定如果成立，则要求按照（2.2.4）式的逆变换必须存在，且唯一等于 ，下面进行验证。按照逆变换定义，（2.2.4）式右边第53页/共227页观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数(0)，等式右边为，因此得到下式：证明了（2.3.9）式确实是的FT，前面的暂时假定是正确的。第54页/共227页图2.3.2的FT 第55页/共227页对于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次谐波为，类似于复指数序列的FT，其FT为因此的FT如下式：第56页/共227页式中，k=0,1,2,N1。如果让k在区间变化，上式可简化成（2.3.10）式中(2.3.10)式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。需要说明的是，上面公式中的()表示单位冲激函数，而(n)表示单位脉冲序列，由于括弧中的自变量不同,因而不会引起混淆。表2.3.2中综合了一些基本序列的FT。第57页/共227页表2.3.2基本序列的傅里叶变换 第58页/共227页表中u(n)序列的傅里叶变换推导如下：令(2.3.11)(2.3.12)对(2.3.12)式进行FT，得到:第59页/共227页对(2.3.11)式进行FT，得到：【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。解将例2.3.1中得到的代入（2.3.10）式中，得到：其幅频特性如图2.3.3所示。第60页/共227页图2.3.3例2.3.2图第61页/共227页对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示（用带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。【例2.3.3】令为有理数，求其FT。解将用欧拉公式展开：按照（2.3.9）式，其FT推导如下：第62页/共227页（2.3.13）(2.3.13)式表明，cos0n的FT是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。第63页/共227页 图2.3.4cos0n的FT 第64页/共227页2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系时域离散信号与模拟信号是两种不同的信号，傅里叶变换也不同，如果时域离散信号是由某模拟信号采样得来，那么时域离散信号的傅里叶变换和该模拟信号的傅里叶变换之间有一定的关系。下面推导这一关系式。公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采样得到的时域离散信号和模拟信号的关系，而理想采样信号和模拟信号的关系用（1.5.2）式表示，重写如下:第65页/共227页对上式进行傅里叶变换,得到:第66页/共227页令=T，且x(n)=xa(nT)，得到：（2.4.1）或者写成：（2.4.2）式中(2.4.2)式也可以表示成（2.4.3）第67页/共227页（2.4.1）、（2.4.2）和（2.4.3）式均表示时域离散信号的傅里叶变换和模拟信号傅里叶变换之间的关系。由这些关系式可以得出两点结论。一点结论是时域离散信号的频谱也是模拟信号的频谱周期性延拓，周期为，因此由模拟信号进行采样得到时域离散信号时，同样要满足前面推导出的采样定理，采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的2倍以上，否则也会差生频域混叠现象，频率混叠在s/2附近最严重，在数字域则是在附近最严重。第68页/共227页另一点结论是计算模拟信号的FT可以用计算相应的时域离散信号的FT得到，方法是:首先按照采样定理，以模拟信号最高频率的两倍以上频率对模拟信号进行采样得到时域离散信号，再通过计算机对该时域离散信号进行FT，得到它的频谱函数，再乘以采样间隔T便得到模拟信号的FT，注意关系式=T。第69页/共227页按照数字频率和模拟频率之间的关系，在一些文献中经常使用归一化频率f=f/Fs或=/s,=/2,因为f、和都是无量纲量，刻度是一样的，将f、f、的定标值对应关系用图2.4.1表示。图2.4.1表明，模拟折叠频率Fs/2对应数字频率；如果采样定理满足，则要求模拟最高频率fc不能超过Fs/2；如果不满足采样定理，则会在=附近，或者f=Fs/2附近引起频率混叠。以上几个频率之间的定标关系很重要，尤其在模拟信号数字处理中，经常需要了解它们的对应关系。第70页/共227页图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系第71页/共227页2.5序列的Z变换在模拟信号系统中，用傅里叶变换进行频域分析，拉普拉斯变换可作为傅里叶变换的推广，对信号进行复频域分析。在时域离散信号和系统中，用序列的傅里叶变换进行频域分析，Z变换则是其推广，用以对序列进行复频域分析。因此Z变换在数字信号处理中同样起着很重要的作用。第72页/共227页2.5.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为 （2.5.1）式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在、之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式：（2.5.2）defdef第73页/共227页这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。（2.5.1）式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即 （2.5.3）使（2.5.3）式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域为环状域，即第74页/共227页令z=rej，代入上式得到RxrRx，收敛域是分别以Rx和Rx为收敛半径的两个圆形成的环状域(如图 2.5.1 中所示的斜线部分)。当然，Rx可以小到零，Rx可以大到无穷大。收敛域的示意图如图2.5.1所示。第75页/共227页图2.5.1变换的收敛域第76页/共227页常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义（2.2.1）式，很容易得到傅里叶变换和Z变换（ZT）之间的关系，用下式表示：第77页/共227页（2.5.4）式中,z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。（2.5.4）式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，就可用（2.5.4）式很方便地求出序列的傅里叶变换，条件是收敛域中包含单位圆。【例2.5.1】x(n)=u(n),求其Z变换。解第78页/共227页X(z)存在的条件是|z1|1,因此X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在，更不能用（2.5.4）式求傅里叶变换。该序列的傅里叶变换不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换则可以表示出来（见表2.3.2）。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是可以存在的。第79页/共227页2.5.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛域的一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。1 有限长序列如序列x(n)满足下式：即序列x(n)从n1到n2的序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为其它第80页/共227页设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：n10,n20时，0|z|n10时，0|z|0时，0|z|第81页/共227页【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解 这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极、零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的傅里叶变换，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果（2.2.5）式是相同的。第82页/共227页2 右序列右序列是指在nn1时，序列值不全为零，而在nn1时，序列值全为零的序列。右序列的Z变换表示为第一项为有限长序列，设n11，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx|z|，Rx是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx|z|。如果是因果序列，收敛域为Rx|z|。第83页/共227页【例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。解 在收敛域中必须满足|az1|a|。第84页/共227页3 左序列左序列是指在nn2时，序列值不全为零，而在nn2时，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为如果n20,z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆（半径为Rx+）的圆内，收敛域为0|z|Rx+。如果n20，则收敛域为0|z|Rx，则其收敛域为Rx|z|Rx+，是一个环状域；如果Rx+Rx，两个收敛域没有交集，X(z)则没有收敛域，因此X(z)不存在。第87页/共227页【例2.5.5】x(n)=a|n|,a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解:第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|1;第二部分收敛域为|az1|a|。如果|a|1,两部分的公共收敛域为|a|z|a|1,其Z变换如下式:如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0aa；又例如在例2.5.4中，其极点为z=a，但x(n)是一个左序列，收敛域一定在某个圆内，即|z|a|。第90页/共227页2.5.3逆Z变换已知序列的Z变换X(z)及其收敛域，求原序列x(n)的过程称为求逆Z变换。计算逆Z变换的方法有留数法、部分分式展开法和幂级数法（长除法）。下面仅介绍留数法和部分分式展开法，重点放在留数法。第91页/共227页式中,c是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲线，如图2.5.3所示。求逆Z变换时，直接计算围线积分是比较麻烦的，用留数定理求则很容易。为了表示简单，用F(z)表示被积函数：F(z)=X(z)zn1。1 用留数定理求逆Z变换序列的Z变换及其逆Z变换表示如下：（2.5.5）第92页/共227页图2.5.3围线积分路径 第93页/共227页如果F(z)在围线c内的极点用zk表示，则根据留数定理有（2.5.6）式中,ResF(z),zk表示被积函数F(z)在极点z=zk的留数，逆Z变换是围线c内所有的极点留数之和。如果zk是单阶极点，则根据留数定理有（2.5.7）第94页/共227页如果zk是N阶极点，则根据留数定理有（2.5.8）（2.5.8）式表明，对于N阶极点，需要求N1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，则可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和，使问题简单化。第95页/共227页如果F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上的极点分成两部分：一部分c是内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，用z2k表示。N=N1+N2。根据留数辅助定理，下式成立：（2.5.9）第96页/共227页注意：（2.5.9）式成立的条件是F(z)的分母阶次应比分子阶次高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z),P(z)和Q(z)分别是M与N阶多项式。（2.5.9）式成立的条件是NMn+12因此要求na,求其逆Z变换x(n)。解为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点。显然，F(z)的极点与n的取值有关。第98页/共227页极点有两个：z=a；当n0时，其中z=0的极点和n的取值有关。n0时，z=0不是极点；n0时，z=0是一个n阶极点。因此，分成n0和n0两种情况求x(n)。n0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a；n0时，F(z)在c内有2个极点：z1=a,a2=0（n阶）；所以，应当分段计算x(n)。n0 时，第99页/共227页n0时，z=0是n阶极点，不易求留数。采用留数辅助定理求解，先检查（2.5.10）式是否满足。该例题中N=M=1，NM=0,所以n0时，满足（2.5.10）式，可以采用留数辅助定理求解，改求圆外极点留数，但对于F(z)，该例题中圆外没有极点（见图2.5.4），故na，根据前面分析的序列特性对收敛域的影响知道，x(n)一定是因果序列，这样n0部分一定为零，无需再求。本例如此求解是为了证明留数辅助定理法的正确性。第100页/共227页图2.5.4例2.5.6中n|a1|，对应的x(n)是因果序列；（2）|z|a|，对应的x(n)是左序列；（3）|a|z|a1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a1，因此第104页/共227页最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。第105页/共227页（2）收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实际上，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。n0时,第106页/共227页最后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(anan)u(n1)（3）收敛域为|a|z|a1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两种情况分别求x(n)。n0时，c内只有1个极点：z=a,x(n)=ResF(z),a=an第107页/共227页n0时，c内极点有2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a1，因此x(n)=ResF(z),a1=an最后将x(n)表示为即x(n)=a|n|第108页/共227页2 部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常也用部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表（参考表2.5.1）求得各部分的逆变换，再相加便得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式:（2.5.11）（2.5.12）第109页/共227页观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在极点z=zm的留数就是系数Am。（2.5.13）（2.5.14）求出Am系数(m=0,1,2,N)后，查表2.5.1可求得x(n)序列。第110页/共227页【例2.5.8】已知,2|z|3，求逆Z变换。解 第111页/共227页因为收敛域为2|z|2。第二部分极点是z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1，得到：x(n)=2nu(n)+(3)nu(n1)注意:在进行部分分式展开时，也用到求留数问题；求各部分分式对应的原序列时，还要确定它的收敛域在哪里，因此一般情况下不如直接用留数法求方便。一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。第112页/共227页表2.5.1常见序列的Z变换 第113页/共227页2.5.4Z变换的性质和定理下面介绍Z变换重要的性质和定理。1 线性性质设m(n)=ax(n)+by(n)a,b为常数 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Ry|z|Ry+则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)Rm|z|RxRy+Ry时，则M(z)不存在。第115页/共227页2 序列的移位性质设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则 （2.5.16）第116页/共227页3 序列乘以指数序列的性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+y(n)=anx(n)a为常数则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|z|a|Rx+因为Rx|a1z|Rx+，得到|a|Rx|z|a|Rx+。证明（2.5.17）第117页/共227页4 序列乘以n的ZT设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则 （2.5.18）证明第118页/共227页因此 第119页/共227页5 复共轭序列的ZT性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+（2.5.19）证明第120页/共227页6 初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)，则（2.5.20）证明 因此第121页/共227页7 终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则（2.5.21）证明因为x(n)是因果序列，x(n)=0,n0,所以第122页/共227页因为(z1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限：第123页/共227页终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示，因为因此 x()=ResX(z),1（2.5.22）如果在单位圆上X(z)无极点，则x()=0。第124页/共227页8 时域卷积定理 设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Rx|z|Ry+1则W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw|z|Rw+（2.5.23）Rw+=minRx+,Ry+Rw=maxRx,Ry第125页/共227页证明W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。第126页/共227页【例2.5.9】已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|1,网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用两种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是Z变换法。（1）第127页/共227页（2）第128页/共227页由收敛域判定 y(n)=0n0n0时，将y(n)表示为第129页/共227页9 复卷积定理如果ZTx(n)=X(z)Rx|z|Rx+ZTy(n)=Y(z)Ry|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则（2.5.24）W(z)的收敛域为RxRy|z|Rx+Ry+(2.5.25)第130页/共227页（2.5.24）式中平面上，被积函数的收敛域为（2.5.26）证明 第131页/共227页由X(z)的收敛域和Y(z)的收敛域得到：因此 第132页/共227页【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|,0|a|1若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)。解 第133页/共227页W(z)的收敛域为|a|z|；被积函数平面上的收敛域为max(|a|,0)|min(|a1|,|z|)，平面上极点：a、a1和z，c内极点：z=a。令第134页/共227页10 帕斯维尔（Parseval）定理设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+RxRy1那么（2.5.27）第135页/共227页平面上，c所在的收敛域为利用复卷积定理可以证明上面的重要的帕斯维尔定理。证明令w(n)=x(n)y*(n)按照（2.5.24）式得到：第136页/共227页按照（2.5.25）式，RxRy|z|Rx+Ry+;按照假设，z=1在收敛域中，将z=1代入W(z)中，则有第137页/共227页因此 如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令=ej，得到:令x(n)=y(n)，得到：第138页/共227页（2.5.28）上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕斯维尔定理（2.2.34）式是相同的。（2.5.28）式还可以表示成下式：（2.5.29）注意：上式中X(z)收敛域包含单位圆，当x(n)为实序列时，X(ej)=X*(ej)。第139页/共227页2.5.5利用Z变换解差分方程在第1章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常数差分方程为（2.5.30）第140页/共227页1 求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对（2.5.30）式求Z变换，得到：（2.5.31）第141页/共227页式中 （2.5.32）第142页/共227页2 求暂态解对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,nmax(|a|,|b|),因此式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。第148页/共227页2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性2.6.1频率响应函数与系统函数设系统初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列(n)的响应输出称为系统的单位脉冲响应h(n)。对h(n)进行傅里叶变换,得到：一般称H(ej)为系统的频率响应函数，或称系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性。|H(ej)|称为幅频特性函数，()称为相频特性函数。（2.6.1）第149页/共227页将h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程（1.4.2）式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式 （2.6.2）如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，则H(ej)与H(z)之间的关系如下：(2.6.3)第150页/共227页H(ej)表示系统对特征序列ejn的响应特性,这也是H(ej)的物理意义所在，下面具体阐述。若系统输入信号X(n)=ejn,则系统输出信号为即第151页/共227页上式说明，单频复指数信号ejn通过频率响应函数为H(ej)的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大|H(ej)|倍，相移为()。为了加深读者对H(ej)物理意义的理解，下面以大家熟悉的正弦信号为例进行讨论。当系统输入信号x(n)=cos(n)时，求系统的输出信号y(n):因为第152页/共227页所以，利用上面的结论可得到:设h(n)为实序列，则H*(ej)=H(ej),|H(ej)|=|H(ej)|,()=(),故第153页/共227页由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号cos(n)的响应为同频正弦信号，其幅度放大|H(ej）|倍，相移增加()，这就是其名称“频率响应函数”、“幅频响应”和“相频响应”的物理含义。如果系统输入为一般的序列x(n)，则H(ej)对x(n)的不同的频率成分进行加权处理。对感兴趣的频段，取|H（ej)|=1，其他频段|H(ej)|=0,则Y(ej)=X(ej)H（ej),就实现了对输入信号的滤波处理。第154页/共227页因果（可实现）系统其单位脉冲响应h(n)一定是因果序列，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求,这里是 存在的条件,对照Z变换与傅里叶变换的关系可知，系统稳定的条件是H(z)的收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|0r12.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性第155页/共227页这样H(z)的极点集中在单位圆的内部。具体系统的因果性和稳定性可由系统函数H(z)的极点分布和收敛域确定。下面通过例题说明。如果系统函数分母多项式阶数较高（如3阶以上），用手工计算极点分布并判定系统是否稳定，不是一件简单的事情。用MATLAB函数判定则很简单，判定函数程序如下:第156页/共227页function stab(A)%stab:系统稳定性判定函数，A是 H(z)的分母多项式系数向量disp(系统极点为：)P=roots(A)%求H(z)的极点，并显示disp(系统极点模的最大值为：)M=max(abs(P)%求所有极点模的最大值，并显示if M1 disp(系统稳定),else,disp(系统不稳定),end第157页/共227页请注意，这里要求H(z)是正幂有理分式。给H(z)的分母多项式系数向量A赋值，调用该函数，求出并显示系统极点，极点模的最大值M，判断M值，如果M1,则显示“系统稳定”，否则显示“系统不稳定”。如果H(z)的分母多项式系数A=22.980.172.3418 1.5147，则调用该函数输出如下:P=0.90000.7000+0.6000i0.70000.6000i0.9900系统极点模的最大值为：M=0.9900系统稳定。第158页/共227页【例2.6.1】已知，分析其因果性和稳定性。解H(z)的极点为z=a,z=a1，如图2.5.5所示。（1）收敛域为a1|z|:对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(anan)u(n)（参考例2.5.7），这是一个因果序列，但不收敛。（2）收敛域为0|z|a:对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(anan)u(n1)（参考例2.5.7），这是一个非因果且不收敛的序列。第159页/共227页图2.6.1例2.6.1图示 第160页/共227页（3）收敛域为a|z|a1:对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。下面分析如