数学模型姜启源.pptx

“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A方 p1 n1B方 p2 n2当p1/n1=p2/n2 时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低!虽二者虽二者的的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若 p1/n1 p2/n2，对 不公平A p1/n1 p2/n2=5第1页/共66页公平分配方案应公平分配方案应使使 rA,rB 尽量小尽量小设A,B已分别有n1,n2 席，若增加1席，问应分给A,还是B不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对A不公平 对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即“公平公平”分配方分配方法法若 p1/n1 p2/n2，定义第2页/共66页1）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给 A2）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给 B第3页/共66页当 rB(n1+1,n2)车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数第21页/共66页假假 设设 与与 建建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离 d1与车速 v成正比3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;F d2=m v2/2F mt1为反应时间且F与车的质量m成正比第22页/共66页 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k模模 型型最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3第23页/共66页“2秒准则”应修正为“t 秒准则”模模 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）（秒）1234第24页/共66页2.5 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇 2000米成绩 t(分)种类 1 2 3 4 平均单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长l 艇宽b(米)(米)l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重w0(kg)浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n 基本不变第25页/共66页问题分析问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率 赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量 艇重浸没面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型第26页/共66页模型假设模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比符号：艇速 v,浸没面积 s,浸没体积 A,空艇重 w0,阻力 f,浆手数 n,浆手功率 p,浆手体重 w,艇重 W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw)n s n2/3v n1/9比赛成绩 t n 1/9np fv第27页/共66页模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/9 进行检验tn12487.216.886.325.84与模型巧合！第28页/共66页问问题题甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图：若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0 xo2.6 实物交换实物交换第29页/共66页xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1,p2对甲是无差别的，MN将将所有与所有与p1,p2无差无差别的点的点连接起来，得到接起来，得到一条一条无差无差别曲曲线MN,线上各点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。第30页/共66页p1.p2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：单调减(x增加,y减小)下凸(凸向原点)互不相交在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;在p2点占有y少、x多，就要以较多的 x换取较少的 y。甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度（f 等满意度曲线）第31页/共66页xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）双方的交换路径双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族 g=c2(坐标系xOy,且反向）甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交换路径）上因为在AB外的任一点p,(双方)满意度低于AB上的点p两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB第32页/共66页ABp 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案 交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩形内任一点交换路径AB双方的无差别曲线族等价交换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线CDAB与CD的交点p设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0 xo.x第33页/共66页2.7 核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。背背景景第34页/共66页以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的核威慑战略：认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。模模型型假假设设第35页/共66页图图的的模模型型y=f(x)甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值xyy00y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区甲安全区双方安全区P平衡点(双方最少导弹数)乙安全线第36页/共66页精细精细模型模型乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。sx个基地未摧毁，yx个基地未攻击。xy甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的xy个被攻击2次，s2(xy)个未摧毁；y(xy)=2y x个被攻击1次，s(2y x)个未摧毁y0=s2(xy)+s(2y x)x=2yy0=s2yyx2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2第37页/共66页 a交换比(甲乙导弹数量比)x=a y,精细精细模型模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0威慑值s残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡s变大，y减小，曲线变平a变大，y增加，曲线变陡xy0y0 xy,y=y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,第38页/共66页 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值 y0变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。（其它因素不变）乙安全线 y=f(x)上移模型解释模型解释 平衡点PP第39页/共66页 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线y=f(x)不变甲方残存率变大威慑值x 0和交换比不变x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少PP第40页/共66页 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标(x,y仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加y0减小 y下移且变平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)a 变大 y增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析模型解释模型解释 乙安全线 y=f(x)第41页/共66页帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向简化问题简化问题AB 风向北航向帆船海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，帆 以及帆的朝向 2.8 启帆远航启帆远航第42页/共66页模型分析模型分析 风(通过帆)对船的推力w 风对船体部分的阻力p推力w的分解 wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假设假设 w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2，f1航行方向的推力p1 航行方向的阻力第43页/共66页w1=wsin(-)f1=w1sin=wsin sin(-)p1=pcos 模型模型假设假设 wpw1w2f1f2p2p1 w2与帆面平行，可忽略 f2,p2垂直于船身，可由舵抵消模型模型建立建立w=ks1,p=ks2船在正东方向速度分量v1=vcos 航向速度v与力f=f1-p1成正比v=k1(f1-p1)v1v第44页/共66页2)令 =/2,v1=k1 w(1-cos)/2-pcos cos 求 使v1最大（w=ks1,p=ks2）1)当 固定时求 使f1最大f1=wcos(-2)-cos/2 =/2 时 f1=w(1-cos)/2最大=k1(f1-p1)cos f1=w1sin=wsin sin(-)p1=pcos 求,使 v1最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解第45页/共66页60 75 1 t 2v1最大备注 只讨论起航时的航向，是静态模型 航行过程中终点B将不在正东方 记 t=1+2s2/s1,k2=k1w/2=(k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1,p=ks21/4cos s2第46页/共66页2.9 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化物物理理量量的的量量纲纲长度 l 的量纲记 L=l质量 m的量纲记 M=m时间 t 的量纲记 T=t动力学中基本量纲 L,M,T速度 v 的量纲 v=LT-1导出量纲加速度 a 的量纲 a=LT-2力 f 的量纲 f=LMT-2引力常数 k 的量纲 k对无量纲量，=1(=L0M0T0)量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2第47页/共66页量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动lmgm求摆动周期 t 的表达式设物理量 t,m,l,g 之间有关系式 1,2,3 为待定系数，为无量纲量(1)的量纲表达式对比第48页/共66页对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式为什么假设这种形式设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为第49页/共66页单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式y1y4 为待定常数,为无量纲量第50页/共66页设 f(q1,q2,qm)=0 ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-rF(1,2,m-r)=0 与 f(q1,q2,qm)=0 等价,F未定Pi定理定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是基本量纲,n m,q1,q2,qm 的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有 m-r 个基本解，记作为m-r 个相互独立的无量纲量,且则第51页/共66页g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1,s=L2,f=LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力 f航船速度v,船体尺寸l,浸没面积 s,海水密度,重力加速度g。m=6,n=3第52页/共66页Ay=0 有m-r=3个基本解rank A=3rank A=rAy=0 有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,ysm)T s=1,2,m-rm-r 个无量纲量第53页/共66页 F(1,2,3)=0与(g,l,v,s,f)=0 等价为得到阻力 f 的显式表达式F=0 未定F(1,2,m-r)=0 与 f(q1,q2,qm)=0 等价第54页/共66页量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 ()=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造 Ay=0 的基本解 方法的普适性方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识第55页/共66页量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例:航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数(均已知)可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力 原型船的参数(f1未知，其他已知)注意：二者的 相同第56页/共66页 按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 物理模拟第57页/共66页无量纲化无量纲化例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射。初速v,星球半径r,表面重力加速度g研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律t=0 时 x=0,火箭质量m1,星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律3个独立参数第58页/共66页用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L,t=T,r=L,v=LT-1,g=LT-2变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲用用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量量纲的纲的xc,tc（特征尺度）（特征尺度）无量纲变量如利用新变量将被简化令第59页/共66页 xc,tc的不同构造1）令的不同简化结果 为无量纲量第60页/共66页3）令 为无量纲量2）令 为无量纲量第61页/共66页1）2）3）的共同点只含1个参数无量纲量 解重要差别考察无量纲量在1）2）3）中能否忽略以 为因子的项？1)忽略 项无解不能忽略 项第62页/共66页2)3)忽略 项不能忽略 项忽略 项第63页/共66页火箭发射过程中引力m1g不变 即 x+r r原问题可以忽略 项是原问题的近似解第64页/共66页为什么3)能忽略 项，得到原问题近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭到达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,大体上具有单位尺度项可以忽略项不能忽略林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学第65页/共66页感谢您的观看！第66页/共66页