数学数值分析三次样条插值.pptx
实实际际中中有有许许多多计计算算问问题题对对插插值值函函数数的的光光滑滑性性有有较较高高的的要要求求，例例如如飞飞机机机机翼翼外外形形、发发动动机机进、排气口都要求有连续的二阶导数。进、排气口都要求有连续的二阶导数。三次样条的产生和背景三次样条的产生和背景1.1.问题的产生问题的产生显显然然我我们们前前面面介介绍绍的的方方法法已已不不能解决这个问题。能解决这个问题。第1页/共40页2.2.样条的概念样条的概念(Spline)(Spline)样样条条是是工工程程设设计计中中使使用用的的一一种种绘绘图图工工具具，它它是是富富有有弹弹性性的的细细木木条条或或细细金金属属条条。绘绘图图员员利利用用它它把把一一些些已已知知的的点点连连接接成成一一条条光光滑滑曲曲线线称称为为样样条条曲曲线线，样样条条曲曲线线在在连连接接点点处处有有连连续续的的曲曲率率（即即连连续续的的二二阶阶导导数数），它它实实际际上上是是分分段段三三次次曲曲线线拼拼接接而而成成，在在连连接接点点上上要要求二阶导数连续。求二阶导数连续。第2页/共40页2.8.1 三次样条函数三次样条函数定义定义 给定区间给定区间a,b的一个划分的一个划分 a=x0 x1xn=b，yi=f(xi)(i=0,1,n),如果函数如果函数S(x)满足：满足：(1)S(xi)=yi(i=0,1,n);(2)在每个小区间在每个小区间xi,xi+1(i=0,1,.,n-1)上是次数不超上是次数不超过过3的多项式的多项式;(3)在每个内节点在每个内节点xi(i=1,2,.,n-1)上具有上具有二阶连续导数二阶连续导数,则称则称 S(x)为关于上述划分的一个为关于上述划分的一个三次多项式样条三次多项式样条 函数函数，简称，简称三次样条三次样条。第3页/共40页 S(x)在每个小区间在每个小区间xi,xi+1上是一个次数不超过上是一个次数不超过3的多项式的多项式,因此需确定因此需确定四个待定常数四个待定常数,一共有一共有n个小个小区间区间,故应故应确定确定4n个系数个系数,S(x)在在n-1个内节点上个内节点上具有具有二阶连续导数，应满足条件二阶连续导数，应满足条件即有即有3n-3个连续条件，再加上个连续条件，再加上S(x)满足的插值条件满足的插值条件n+1个，共计个，共计4n-2个，因此还需要个，因此还需要2个条件才能确定个条件才能确定S(x)，通常补充两个，通常补充两个边界条件边界条件()第4页/共40页常用的三种边界条件常用的三种边界条件11（转角条件转角条件）已知两端的一阶导数值，即：已知两端的一阶导数值，即：22（弯矩条件弯矩条件）已知两端的二阶导数值，即：已知两端的二阶导数值，即：33（周周期期条条件件）当当f(x)是是以以xn-x0为为周周期期的的周周期期函函数时，则要求数时，则要求S(x)也是周期函数，即也是周期函数，即周期样条周期样条称为自然边界条件称为自然边界条件第5页/共40页2.8.2 三转角方程三转角方程用分段用分段埃尔米特插值埃尔米特插值，得到，得到S(x)在在上上S(x)的表达式为的表达式为设设为参数，这种通过为参数，这种通过确确定定mi 来求来求S(x)的方法叫的方法叫三转角法三转角法。hj=xj+1-xjmi 在力学上解释为细梁在节点截面处的转角，在力学上解释为细梁在节点截面处的转角，且与相邻节点的两个转角有关，故称为三转角方程。且与相邻节点的两个转角有关，故称为三转角方程。第6页/共40页对对S(x)求二阶导数得：求二阶导数得：于是于是第7页/共40页同理可得同理可得S(x)在区间在区间xj-1,xj上的二阶导数：上的二阶导数：于是于是由条件由条件第8页/共40页可得可得进一步简化为进一步简化为其中：其中：第9页/共40页结合三种边界条件有如下三种情况结合三种边界条件有如下三种情况：1 1、已知已知则方程组化为：则方程组化为：结合结合第10页/共40页如果是自然边界条件：如果是自然边界条件：由由可得可得由由可得可得2、已知已知结合结合第11页/共40页得矩阵形式为：得矩阵形式为：第12页/共40页3、已知已知则有：则有：第13页/共40页进一步简化为进一步简化为其中：其中：结合结合可得：可得：第14页/共40页第15页/共40页第16页/共40页2.8.3 三弯矩方程三弯矩方程Mi来求来求S(x)的方法称为的方法称为三弯矩法三弯矩法。为参数为参数,这种通过这种通过确定确定设设1.1.条件条件2.2.求解求解S(x)的思路的思路1)1)首先确定首先确定S(x)与二阶导数值的关系与二阶导数值的关系2 2）求出中间节点上的一阶导数值）求出中间节点上的一阶导数值Mi 在力学上解释为细梁在节点截面处的弯矩，且与在力学上解释为细梁在节点截面处的弯矩，且与相邻节点的两个弯矩有关，故称为三弯矩方程。相邻节点的两个弯矩有关，故称为三弯矩方程。第17页/共40页1)1)首先确定首先确定S(x)与二阶导数值的关系与二阶导数值的关系由于由于S(x)在区间在区间xj,xj+1上是三次多项式，上是三次多项式，对对S(x)积积分分两两次次并并利利用用S(xj)=yj 及及S(xj+1)=yj+1 ,可定出积分常数，于是得可定出积分常数，于是得 在在xi,xi+1上是一次多项式上是一次多项式,且可表示为且可表示为 第18页/共40页下面我们的任务是求出内部节点上的二阶导数值下面我们的任务是求出内部节点上的二阶导数值第19页/共40页2)2)求出内部节点上的一阶导数值求出内部节点上的一阶导数值利用一阶导数连续的条件利用一阶导数连续的条件对对S(x)求导得求导得第20页/共40页由此可得由此可得类似地可求出类似地可求出S(x)在区间在区间xj-1,xj上的表达式，从而得上的表达式，从而得利用利用第21页/共40页其中其中而而第22页/共40页由公式由公式1.边界条件边界条件为为得得第23页/共40页即即第24页/共40页从中解出从中解出Mi(i=0,1,.,n)得三次样条得三次样条S(x).第25页/共40页从中解出从中解出Mi(i=1,2,.,n-1)得得 三次样条三次样条S(x)。2、边界条件、边界条件为为已知已知第26页/共40页3、周期函数、周期函数 M0=Mn第27页/共40页整理得整理得其中其中第28页/共40页从中解出从中解出Mi(i=1,2,.,n),得三次样条得三次样条S(x).第29页/共40页第30页/共40页第31页/共40页第32页/共40页第33页/共40页第34页/共40页第35页/共40页第36页/共40页第37页/共40页第38页/共40页第39页/共40页感谢您的观看。第40页/共40页
