数学规划模型节水洗衣机模型.pptx

1 问题的提出我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水（称“加水-漂水-脱水”为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加多少水等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。第1页/共17页2 假设和定义2.1 基本假设1)仅考虑离散的加水方案，即每次脱水完后全换成清水进行下一次漂洗。2)每次洗漂加水量不能低于 ，否则洗衣机无法转动；加水量不能高于 ，否则会溢出。设3)每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分溶入水中从而使每次所加的水充分利用4)脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣服所含的脏水量达到一个极限，设这个极限为一个大于0的常数 ，并由于脱水时不另加水故第2页/共17页2.2 变量定义1)设共进行 n 轮“洗漂 脱水”的过程，依次为第0轮，第1轮，第 轮2)第 轮用水量为3)衣服上的初始脏物为 ，在第 轮脱水之后的脏物量为第3页/共17页3 建立模型3.1 溶解特性和动态方程 在第 轮洗漂之后和脱水之前，第 轮脱水之后脏物量 已变成了两部分：其中 表示已溶入水中的脏物量，表示尚未溶入中的脏物量。与第 轮的加水量 有关，总的规律应是，越大 越大，且当 时，最小（0，因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法转动），当 时 最大（这里假设 ，其中 称为溶解率）因此简单地选择线性关系表示这种溶解特性则有：（3.1.1）（3.1.2）第4页/共17页在第 轮脱水之后，衣服上尚有脏物 。有脏水 ，其中脏水 中含有脏物量为 ，于是第 轮完成之后衣服上尚存的脏物总量为：将（3.1.2）代入上式整理后得系统动态方程：（3.1.3）（3.1.4）第5页/共17页3.2 优化模型 由于 是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物量，而 是初始脏物量，故 反映了洗净效果。由系统动态方程（3.1.4）可得：又总用水量为：于是可得优化模型如下：（3.2.1）（3.2.3）（3.2.2）第6页/共17页若令：则优化模型变成为更简洁的形式：第7页/共17页4 分析与求解4.1 最少洗衣轮数定义函数 （4.1.1）易知 （4.1.2）可见r(t)是区间0,1上的单调减函数，所以 （4.1.3）第k轮的洗衣效果为 （4.1.4）第8页/共17页由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到 （4.1.5）给定洗净效果的要求则应有 （4.1.6）于是 （4.1.7）若考虑的值不大于0.99。而代表脱水后衣服上的尚存水量与最高水量之比，其数量级是很小的，所以 （4.1.8）比如 小于万分之一，则有*式。这样最少洗衣轮数的估计值为：(4.1.9)第9页/共17页设满足（4.1.9）的最小整数，表-4.1.1给出了洗净效果要求为千分之一和万分之一时的关系。4.2 算法选用一种非线性规划算法，对于（凭常识洗衣的轮数不应太多，比如可取）分别求解，然后选出最好的结果。其中 是满足（4.1.7）或（4.1.9）的最小整数，注意不必使用混合整数非线性规划算法，那将使问题复杂化。第10页/共17页5 仿真5.1 数据这里基于常识给出了一组用于仿真的数据，实际数据应通过实验获取（见6.2）。1）洗衣效果要求为千分之一，即。2）每 轮 用 水 量 下 限 为 上 限 的 百 分 之 二 十 五，即。3）脱水后衣服上的脏水量为用水量上限的十万分之一，即。由2），3）易得5.2 结果表5.2.1是溶解率时不同洗衣轮数n下的最少总用水量和每一轮的最优用水量（各轮的最有用水量恰好相等）。5.2.2是不同溶解率之下的最优洗衣轮数，最少总用水量和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）。第11页/共17页备注1无解21.95630.978232.72730.909143.32190.830553.78190.756464.14410.690774.43510.633684.67320.584294.87140.5413105.03860.5386表 5.2.1：第12页/共17页表5.2.2备注0.99 21.95630.97820.95 32.84210.94740.90 43.65400.9135由计算误差引起0.85 43.86900.96730.80 54.68010.93600.7065.86100.97680.60 87.71080.96380.50 109.97640.9976第13页/共17页6 结论和讨论 6.1 若干结论基于前述分析和初步的仿真试验结果，可得出一些有用的结论：1）最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数。2）每轮用水量应相同，没有必要一轮多用水，而另一轮少用水（除非考虑“洗涤”与“漂洗”的不同，见以下6.2）。3）设法增加溶解率可以成倍地节约用水。如适当延长洗漂时间，选用好的洗涤剂等。6.2 讨论 1）乘积约束可化为：（6.2.1）在计算中要注意采取适当措施防止溢出，如可用代替，其中是机器的最小正浮点数。第14页/共17页2)可考虑“洗涤”和漂洗的不同（两者统称“洗漂”），前者加洗涤剂。一般仅第0轮是洗涤。可用特殊的溶解特性（关系）加以区别，例如考虑到多加水会降低洗涤剂的浓度，其溶解特性用具有最大值的单峰函数表示应当更合理。3）在实际中，无论是参数以及洗净效果要求，还是溶解特性，均应在各种不同条件（比如针对衣服量的“少”，“中”，“多”）通过试验确定。4）受仿真结果的启示，提出猜想：“最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数且每轮洗漂的最优用水量相等”，即有若真如此，则易知每轮的最优用水量就是下列二次方程的解：（6.2.2）是满足（4.1.7）或（4.1.9）的最小整数，这样问题大为化简。尚未找到一种简明的方法来证明（或否定）此猜测。第15页/共17页附注：这是1996年全国大学生数模 竞赛B题的参考答案，从假设、建模、到结果分析都给参赛者 留下较大的创新余地！第16页/共17页感谢您的观看。第17页/共17页