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图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理，也能在频率域（简称图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理，也能在频率域（简称图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理，也能在频率域（简称图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理，也能在频率域（简称频域）处理。把图像信息从空域变换到频域，可以更好地分析、加工和处理。频域）处理。把图像信息从空域变换到频域，可以更好地分析、加工和处理。频域）处理。把图像信息从空域变换到频域，可以更好地分析、加工和处理。频域）处理。把图像信息从空域变换到频域，可以更好地分析、加工和处理。图像信息的频域处理具有如下特点图像信息的频域处理具有如下特点图像信息的频域处理具有如下特点图像信息的频域处理具有如下特点 :能量守恒，但能量重新分配；能量守恒，但能量重新分配；能量守恒，但能量重新分配；能量守恒，但能量重新分配；有利于提取图像的某些特征；有利于提取图像的某些特征；有利于提取图像的某些特征；有利于提取图像的某些特征；正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编码；正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编码；正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编码；正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编码；频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变换，包括离散傅立叶变本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变换，包括离散傅立叶变本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变换，包括离散傅立叶变本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变换，包括离散傅立叶变换、离散余弦变换、离散哈达玛换、离散余弦变换、离散哈达玛换、离散余弦变换、离散哈达玛换、离散余弦变换、离散哈达玛-沃尔什变换等沃尔什变换等沃尔什变换等沃尔什变换等 。概概 述述第1页/共51页 图像的几何变换包括图像的几何变换包括图像的几何变换包括图像的几何变换包括:图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。图像几何变换的实质图像几何变换的实质图像几何变换的实质图像几何变换的实质:改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换第2页/共51页 图像几何变换的一般表达式图像几何变换的一般表达式图像几何变换的一般表达式图像几何变换的一般表达式:其其其其中中中中，为为为为变变变变换换换换后后后后图图图图像像像像像像像像素素素素的的的的笛笛笛笛卡卡卡卡尔尔尔尔坐坐坐坐标标标标，为为为为原原原原始始始始图图图图像像像像中中中中像像像像素素素素的的的的笛笛笛笛卡卡卡卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。如如如如果果果果 ，则则则则有有有有 ，即即即即变变变变换换换换后后后后图图图图像像像像仅仅仅仅仅仅仅仅是是是是原图像的简单拷贝。原图像的简单拷贝。原图像的简单拷贝。原图像的简单拷贝。3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换第3页/共51页 平移变换平移变换平移变换平移变换:若图像像素点若图像像素点若图像像素点若图像像素点 平移到平移到平移到平移到 ，则变换函数为，则变换函数为，则变换函数为，则变换函数为 ，写成矩阵表达式为：写成矩阵表达式为：写成矩阵表达式为：写成矩阵表达式为：其中，其中，和和 分别为分别为 和和 的坐标平移量。的坐标平移量。3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换第4页/共51页3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换 比例缩放比例缩放比例缩放比例缩放 :若图像坐标若图像坐标若图像坐标若图像坐标 缩放到（缩放到（缩放到（缩放到（)倍，则变换函数为：倍，则变换函数为：倍，则变换函数为：倍，则变换函数为：其中其中其中其中,分别为分别为分别为分别为 和和和和 坐标的缩放因子，其大于坐标的缩放因子，其大于坐标的缩放因子，其大于坐标的缩放因子，其大于1 1 1 1表示放大，小于表示放大，小于表示放大，小于表示放大，小于1 1 1 1表示表示表示表示缩小。缩小。缩小。缩小。第5页/共51页3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换 旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换:将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转 角度，则变换后图像坐标为：角度，则变换后图像坐标为：角度，则变换后图像坐标为：角度，则变换后图像坐标为：图像旋图像旋图像旋图像旋转变换转变换转变换转变换的示例的示例的示例的示例:(a)(a)原始图像原始图像 (b)(b)逆时针旋转逆时针旋转3030度后的图像度后的图像第6页/共51页3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换 仿射变换仿射变换仿射变换仿射变换 :仿射变换的一般表达式为仿射变换的一般表达式为仿射变换的一般表达式为仿射变换的一般表达式为:平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。仿射变换具有如下性质仿射变换具有如下性质仿射变换具有如下性质仿射变换具有如下性质：（1 1 1 1）仿射变换只有）仿射变换只有）仿射变换只有）仿射变换只有6 6 6 6个自由度（对应变换中的个自由度（对应变换中的个自由度（对应变换中的个自由度（对应变换中的6 6 6 6个系数），因此，仿射变换后互相平个系数），因此，仿射变换后互相平个系数），因此，仿射变换后互相平个系数），因此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能保证将四边形以上的多行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能保证将四边形以上的多行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能保证将四边形以上的多行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能保证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。边形映射为等边数的多边形。边形映射为等边数的多边形。边形映射为等边数的多边形。（2 2 2 2）仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。）仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。）仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。）仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。（3 3 3 3）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。第7页/共51页3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换上式可以表示成如下的线性表达式上式可以表示成如下的线性表达式上式可以表示成如下的线性表达式上式可以表示成如下的线性表达式:设定加权因子设定加权因子设定加权因子设定加权因子 和和和和 的值，可以得到不同的变换。例如，当选定的值，可以得到不同的变换。例如，当选定的值，可以得到不同的变换。例如，当选定的值，可以得到不同的变换。例如，当选定 ，该情况是图像剪切的一种列剪，该情况是图像剪切的一种列剪，该情况是图像剪切的一种列剪，该情况是图像剪切的一种列剪切。切。切。切。（a a a a）原始图像）原始图像）原始图像）原始图像 （b b b b）仿射变换后图像）仿射变换后图像）仿射变换后图像）仿射变换后图像 第8页/共51页3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换 透视变换透视变换透视变换透视变换:把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换，也称为投影映射，把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换，也称为投影映射，把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换，也称为投影映射，把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换，也称为投影映射，其表达式为其表达式为其表达式为其表达式为:透视变换也是一种平面映射透视变换也是一种平面映射透视变换也是一种平面映射透视变换也是一种平面映射 ，并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍，并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍，并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍，并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍然保持是直线。然保持是直线。然保持是直线。然保持是直线。透视变换具有透视变换具有透视变换具有透视变换具有9 9 9 9个自由度（其变换系数为个自由度（其变换系数为个自由度（其变换系数为个自由度（其变换系数为9 9 9 9个），故可以实现平面四边形到四边形个），故可以实现平面四边形到四边形个），故可以实现平面四边形到四边形个），故可以实现平面四边形到四边形的映射。的映射。的映射。的映射。第9页/共51页3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换 灰度插值灰度插值灰度插值灰度插值:(1)(1)(1)(1)最近邻插值法：最近邻插值法：最近邻插值法：最近邻插值法：也称作零阶插值，也就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的也称作零阶插值，也就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的也称作零阶插值，也就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的也称作零阶插值，也就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的输入像素的灰度值。输入像素的灰度值。输入像素的灰度值。输入像素的灰度值。特点：造成的空间偏移误差为特点：造成的空间偏移误差为 像素单位，计算简单。但当图像中的像素单位，计算简单。但当图像中的像素灰度级有细微变化时，该方法会在图像中产生人工的痕迹。像素灰度级有细微变化时，该方法会在图像中产生人工的痕迹。(2)(2)(2)(2)双线性插值也称作一阶插值。双线性插值也称作一阶插值。双线性插值也称作一阶插值。双线性插值也称作一阶插值。该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。特点特点:当对相邻四个像素点采用双线性插值时，所得表面在邻域处是吻当对相邻四个像素点采用双线性插值时，所得表面在邻域处是吻合的，但斜率不吻合。并且双线性灰度插值的平滑作用可能使得图像的细节合的，但斜率不吻合。并且双线性灰度插值的平滑作用可能使得图像的细节产生退化，这种现象在进行图像放大时尤其明显。产生退化，这种现象在进行图像放大时尤其明显。第10页/共51页3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换 灰度插值灰度插值灰度插值灰度插值:(3)(3)(3)(3)卷积插值法卷积插值法卷积插值法卷积插值法 :当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现，即将输当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现，即将输当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现，即将输当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现，即将输入图像两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波。入图像两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波。入图像两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波。入图像两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波。输入图像邻域输入图像邻域 插零的邻域插零的邻域 一般低通模板有：一般低通模板有：一般低通模板有：一般低通模板有：柱形柱形 棱锥形棱锥形 钟形钟形 三次三次B B B B样条样条第11页/共51页3.1 3.1 图像的几何变换图像的几何变换(a)(a)原始图像原始图像（b b）最近邻插值放大图像）最近邻插值放大图像（c c）双线性插值放大图像）双线性插值放大图像（d d）三次）三次B B样条插值放大样条插值放大 图像插值放大示例：图像插值放大示例：第12页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换 一维离散傅立叶变换（一维离散傅立叶变换（一维离散傅立叶变换（一维离散傅立叶变换（1D-DFT1D-DFT1D-DFT1D-DFT）:1D-DFT1D-DFT1D-DFT1D-DFT的定义的定义的定义的定义：对于有限长序列对于有限长序列 ,其其DFTDFT定义为：定义为：，1D-DFT1D-DFT1D-DFT1D-DFT的矩阵表示的矩阵表示的矩阵表示的矩阵表示 ：第13页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换其中：其中：，其中的其中的 称为变换矩阵。从称为变换矩阵。从 的构成形式可知，的构成形式可知，是对称的，即是对称的，即又由又由 ，则，则 称为酉矩阵，且称为酉矩阵，且 ，而而1D-DFT1D-DFT就称为正交变换。就称为正交变换。同理可得到反变换的矩阵表示：同理可得到反变换的矩阵表示：第14页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换 二维离散傅立叶变换（二维离散傅立叶变换（二维离散傅立叶变换（二维离散傅立叶变换（2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT）1 1 1 1、2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT的定义的定义的定义的定义:其中，其中，其中，其中，都是整数，都是整数，都是整数，都是整数，它们的取值范围它们的取值范围它们的取值范围它们的取值范围:2 2 2 2、几个相关参数、几个相关参数、几个相关参数、几个相关参数:傅立叶变换表示为复数形式傅立叶变换表示为复数形式:上式也可表示成指数形式：上式也可表示成指数形式：通常称通常称 为为 的频谱或幅度谱，的频谱或幅度谱，为相位。为相位。，频谱的平方称为功率谱，即频谱的平方称为功率谱，即:第15页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换3 3 3 3、2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT的性质的性质的性质的性质:（1 1 1 1）变换核的可分离性）变换核的可分离性）变换核的可分离性）变换核的可分离性 ：在离散傅立叶变换中，在离散傅立叶变换中，在离散傅立叶变换中，在离散傅立叶变换中，称为变换核，称为变换核，称为变换核，称为变换核，将将将将 代入代入代入代入2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT定义式的正变换中，得定义式的正变换中，得定义式的正变换中，得定义式的正变换中，得 该性质说明该性质说明该性质说明该性质说明2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT可通过可通过可通过可通过两次两次两次两次1D-DFT1D-DFT1D-DFT1D-DFT完成，即按如下两完成，即按如下两完成，即按如下两完成，即按如下两种方法来实现种方法来实现种方法来实现种方法来实现2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT：或或第16页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换（2 2 2 2）移位特性：）移位特性：）移位特性：）移位特性：若若 ，则：，则：a.a.a.a.空间移位空间移位空间移位空间移位:b.b.b.b.频域移位频域移位频域移位频域移位:c.c.c.c.移位时幅度不变移位时幅度不变移位时幅度不变移位时幅度不变:，d.d.d.d.频谱中心化频谱中心化频谱中心化频谱中心化:令令 ，则，则即使即使 的频谱从原点的频谱从原点 移到中心移到中心 。（a）原图像 （b）|F(u,v)|的示意图 （c）|F(u-N/2,v-N/2)|的示意图第17页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换（3 3 3 3）周期性和共轭对称性：）周期性和共轭对称性：）周期性和共轭对称性：）周期性和共轭对称性：a.a.a.a.周期性周期性周期性周期性 :其中其中其中其中 和和和和 为整数为整数为整数为整数 。b.b.b.b.共轭对称性共轭对称性共轭对称性共轭对称性:图像图像图像图像 为实函数，则为实函数，则为实函数，则为实函数，则 具有共轭对称性，即具有共轭对称性，即具有共轭对称性，即具有共轭对称性，即:（4 4 4 4）旋转不变性）旋转不变性）旋转不变性）旋转不变性:若用极坐标若用极坐标若用极坐标若用极坐标 ,则则则则 以及其傅立叶变换以及其傅立叶变换以及其傅立叶变换以及其傅立叶变换 就可以转化为就可以转化为就可以转化为就可以转化为 和和和和 ，这样这样这样这样 ，则则则则 第18页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换 从上式可见，空域中函数从上式可见，空域中函数 旋转旋转 角度，角度，它的傅立叶变换它的傅立叶变换 也旋转同样大小的角度，反之亦然。也旋转同样大小的角度，反之亦然。（a）原始图像）原始图像 （b）频谱）频谱 （c）图像旋转）图像旋转45o （d）图）图c的频谱的频谱（5 5 5 5）实偶函数的）实偶函数的）实偶函数的）实偶函数的DFT:DFT:DFT:DFT:若若若若 ,则则则则，仅有余弦项的实部。第19页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换（6 6 6 6）实奇函数的）实奇函数的）实奇函数的）实奇函数的DFT:DFT:DFT:DFT:若若若若 ,则则则则 ，仅有正弦项的虚部。（7 7 7 7）线性性）线性性）线性性）线性性:若若若若 和和和和 是常数，傅立叶的正反变换都是线性变换，即是常数，傅立叶的正反变换都是线性变换，即是常数，傅立叶的正反变换都是线性变换，即是常数，傅立叶的正反变换都是线性变换，即（8 8 8 8）比例性（尺度变换）比例性（尺度变换）比例性（尺度变换）比例性（尺度变换）:若若若若 和和和和 是标量，是标量，是标量，是标量，则，则，则，则 第20页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换（9 9 9 9）平均值）平均值）平均值）平均值:数字图像的平均值可以定义为数字图像的平均值可以定义为数字图像的平均值可以定义为数字图像的平均值可以定义为:将将将将 代入代入代入代入 公式，有公式，有公式，有公式，有:故故故故 。（10101010）卷积定理）卷积定理）卷积定理）卷积定理:第21页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换其中：其中：其中：其中：第22页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换 （11111111）相关定理：）相关定理：）相关定理：）相关定理：其中：其中：其中：其中：第23页/共51页3.2 3.2 图像的离散傅立叶变换图像的离散傅立叶变换 4.4.4.4.2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT的计算的计算的计算的计算 根据傅立叶变换核的可分离性，根据傅立叶变换核的可分离性，根据傅立叶变换核的可分离性，根据傅立叶变换核的可分离性，2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT可用两步可用两步可用两步可用两步1D-DFT1D-DFT1D-DFT1D-DFT来实现，而来实现，而来实现，而来实现，而1D-DFT1D-DFT1D-DFT1D-DFT有快速算法有快速算法有快速算法有快速算法FFTFFTFFTFFT，这也就说明，这也就说明，这也就说明，这也就说明2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT就可用就可用就可用就可用FFTFFTFFTFFT来完成，即来完成，即来完成，即来完成，即第24页/共51页3.3 3.3 图像变换的一般表示形式图像变换的一般表示形式 前面介绍的前面介绍的前面介绍的前面介绍的2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT只是可用于图像变换的一种可分离的、正交变换，根只是可用于图像变换的一种可分离的、正交变换，根只是可用于图像变换的一种可分离的、正交变换，根只是可用于图像变换的一种可分离的、正交变换，根据它的计算方法及特性，我们总结出图像变换的一般表达形式。据它的计算方法及特性，我们总结出图像变换的一般表达形式。据它的计算方法及特性，我们总结出图像变换的一般表达形式。据它的计算方法及特性，我们总结出图像变换的一般表达形式。1 1 1 1.图像变换的一般表达式图像变换的一般表达式图像变换的一般表达式图像变换的一般表达式 其中其中其中其中 和和和和 分别称为正反变换核。分别称为正反变换核。分别称为正反变换核。分别称为正反变换核。2.2.2.2.正交变换正交变换正交变换正交变换 将图像变换公式中的正变换写成矩阵表达式，为将图像变换公式中的正变换写成矩阵表达式，为将图像变换公式中的正变换写成矩阵表达式，为将图像变换公式中的正变换写成矩阵表达式，为其中的其中的其中的其中的 称为变换矩阵称为变换矩阵称为变换矩阵称为变换矩阵。第25页/共51页3.3 3.3 图像变换的一般表示形式图像变换的一般表示形式(1)(1)正交变换矩阵及其主要性质正交变换矩阵及其主要性质正交变换矩阵及其主要性质正交变换矩阵及其主要性质 a.a.定义定义定义定义:定义定义定义定义1111若若若若 阶实数矩阵阶实数矩阵阶实数矩阵阶实数矩阵 满足满足满足满足 ,则则则则 称为正交矩阵；称为正交矩阵；称为正交矩阵；称为正交矩阵；定义定义定义定义2222若若若若 阶复数矩阵阶复数矩阵阶复数矩阵阶复数矩阵 满足满足满足满足 ,则则则则 称为酉矩阵。称为酉矩阵。称为酉矩阵。称为酉矩阵。其中，其中，其中，其中，表示表示表示表示 的转置，的转置，的转置，的转置，表示表示表示表示 的共轭，的共轭，的共轭，的共轭，表示单位矩阵。表示单位矩阵。表示单位矩阵。表示单位矩阵。b.b.b.b.几个性质几个性质几个性质几个性质:性质性质性质性质1 1 1 1 若若若若 为正交矩阵，则为正交矩阵，则为正交矩阵，则为正交矩阵，则 若若若若 为酉矩阵，则为酉矩阵，则为酉矩阵，则为酉矩阵，则 性质性质性质性质2222（正交归一）若（正交归一）若（正交归一）若（正交归一）若 为正交（或酉）矩阵，则在为正交（或酉）矩阵，则在为正交（或酉）矩阵，则在为正交（或酉）矩阵，则在 中各行中各行中各行中各行（或列）向量的模为（或列）向量的模为（或列）向量的模为（或列）向量的模为1 1 1 1，任意不同行（或不同列）向量之间正交，任意不同行（或不同列）向量之间正交，任意不同行（或不同列）向量之间正交，任意不同行（或不同列）向量之间正交。第26页/共51页3.3 3.3 图像变换的一般表示形式图像变换的一般表示形式 性质性质性质性质3 3 3 3 若若若若 是正交（或酉）矩阵，则其行列式的模是正交（或酉）矩阵，则其行列式的模是正交（或酉）矩阵，则其行列式的模是正交（或酉）矩阵，则其行列式的模 。性质性质性质性质4 4 4 4 若若若若 是正交（或酉）矩阵，则是正交（或酉）矩阵，则是正交（或酉）矩阵，则是正交（或酉）矩阵，则 和和和和 也是正交（或酉）矩阵。也是正交（或酉）矩阵。也是正交（或酉）矩阵。也是正交（或酉）矩阵。性质性质性质性质5 5 5 5 若若若若 和和和和 是正交（或酉）矩阵，则是正交（或酉）矩阵，则是正交（或酉）矩阵，则是正交（或酉）矩阵，则 也是正交（或酉）矩阵。也是正交（或酉）矩阵。也是正交（或酉）矩阵。也是正交（或酉）矩阵。(2)(2)(2)(2)正交变换正交变换正交变换正交变换:变换矩阵是正交（或酉）矩阵的变换称为正交变换。如前面介绍的变换矩阵是正交（或酉）矩阵的变换称为正交变换。如前面介绍的变换矩阵是正交（或酉）矩阵的变换称为正交变换。如前面介绍的变换矩阵是正交（或酉）矩阵的变换称为正交变换。如前面介绍的2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT就是正交变就是正交变就是正交变就是正交变换。换。换。换。(3)(3)(3)(3)二维正交变换下的能量守恒二维正交变换下的能量守恒二维正交变换下的能量守恒二维正交变换下的能量守恒:即即即即第27页/共51页3.3 3.3 图像变换的一般表示形式图像变换的一般表示形式3.3.可分离变换可分离变换可分离变换可分离变换（1 1 1 1）可分离变换核可分离变换核可分离变换核可分离变换核:若若若若 ，则称正变换核是可分离的。，则称正变换核是可分离的。，则称正变换核是可分离的。，则称正变换核是可分离的。若若若若 ，则称反变换核是可分离的。，则称反变换核是可分离的。，则称反变换核是可分离的。，则称反变换核是可分离的。（2 2 2 2）可分离变换可分离变换可分离变换可分离变换:变换核可分离的变换称为可分离变换。二维可分离变换可由两变换核可分离的变换称为可分离变换。二维可分离变换可由两变换核可分离的变换称为可分离变换。二维可分离变换可由两变换核可分离的变换称为可分离变换。二维可分离变换可由两步一维变换来完成，即步一维变换来完成，即步一维变换来完成，即步一维变换来完成，即 或或或或第28页/共51页3.3 3.3 图像变换的一般表示形式图像变换的一般表示形式4.4.可分离正交变换可分离正交变换可分离正交变换可分离正交变换其中其中其中其中 是数字图像矩阵，是数字图像矩阵，是数字图像矩阵，是数字图像矩阵，是经正变换后得到的变换域的结果：是经正变换后得到的变换域的结果：是经正变换后得到的变换域的结果：是经正变换后得到的变换域的结果：和和和和 是正变换核是正变换核是正变换核是正变换核 分离后所得的变换矩阵分离后所得的变换矩阵分离后所得的变换矩阵分离后所得的变换矩阵：如果如果如果如果 和和和和 都有逆矩阵存在，则可得到反变换核为都有逆矩阵存在，则可得到反变换核为都有逆矩阵存在，则可得到反变换核为都有逆矩阵存在，则可得到反变换核为:第29页/共51页3.3 3.3 图像变换的一般表示形式图像变换的一般表示形式 变换核可分离的正交变换，称为可分离正交变换。分离后的变换矩阵变换核可分离的正交变换，称为可分离正交变换。分离后的变换矩阵变换核可分离的正交变换，称为可分离正交变换。分离后的变换矩阵变换核可分离的正交变换，称为可分离正交变换。分离后的变换矩阵 和和和和 都都都都是正交矩阵（或酉矩阵）。是正交矩阵（或酉矩阵）。是正交矩阵（或酉矩阵）。是正交矩阵（或酉矩阵）。根据正交变换矩阵的性质根据正交变换矩阵的性质根据正交变换矩阵的性质根据正交变换矩阵的性质,得到可分离正交变换的反变换为得到可分离正交变换的反变换为得到可分离正交变换的反变换为得到可分离正交变换的反变换为:,和和和和 为酉矩阵。为酉矩阵。为酉矩阵。为酉矩阵。或或或或 ，和和和和 为正交矩阵。为正交矩阵。为正交矩阵。为正交矩阵。因此，可分离正交变换的矩阵表示式为因此，可分离正交变换的矩阵表示式为因此，可分离正交变换的矩阵表示式为因此，可分离正交变换的矩阵表示式为上节介绍的上节介绍的上节介绍的上节介绍的2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT就是可分离的正交变换，其变换核也是对称的。就是可分离的正交变换，其变换核也是对称的。就是可分离的正交变换，其变换核也是对称的。就是可分离的正交变换，其变换核也是对称的。第30页/共51页3.4 3.4 图像的离散余弦变换图像的离散余弦变换 由于由于DFTDFT是复数运算，运算量大，不便于实时处理。所以通过对函数的构是复数运算，运算量大，不便于实时处理。所以通过对函数的构造使之变成偶函数，实偶函数的造使之变成偶函数，实偶函数的2D-DFT2D-DFT就仅含实部（余弦项），形成的变换就仅含实部（余弦项），形成的变换就称为离散余弦变换。就称为离散余弦变换。偶函数的构造偶函数的构造偶函数的构造偶函数的构造（1 1 1 1）奇对称的偶函数）奇对称的偶函数）奇对称的偶函数）奇对称的偶函数 （a a）原图像）原图像 （b b）奇对称的偶函数）奇对称的偶函数 （c c）偶对称）偶对称的偶函数的偶函数（2 2 2 2）偶对称的偶函数）偶对称的偶函数）偶对称的偶函数）偶对称的偶函数 第31页/共51页3.4 3.4 图像的离散余弦变换图像的离散余弦变换 二维离散余弦变换（二维离散余弦变换（二维离散余弦变换（二维离散余弦变换（2D-DCT2D-DCT2D-DCT2D-DCT）公式）公式）公式）公式将构造的偶函数代入将构造的偶函数代入将构造的偶函数代入将构造的偶函数代入2D-DFT2D-DFT2D-DFT2D-DFT公式，进行整理后就得到公式，进行整理后就得到公式，进行整理后就得到公式，进行整理后就得到2D-DCT2D-DCT2D-DCT2D-DCT公式：公式：公式：公式：2D-DCT2D-DCT2D-DCT2D-DCT的反变换定义为：的反变换定义为：的反变换定义为：的反变换定义为：式中：式中：式中：式中：，2D-DCT2D-DCT2D-DCT2D-DCT的矩阵表示的矩阵表示的矩阵表示的矩阵表示第32页/共51页3.5 3.5 图像的离散沃尔什哈达玛变换图像的离散沃尔什哈达玛变换 沃尔什沃尔什沃尔什沃尔什-哈达玛变换的变换矩阵仅由哈达玛变换的变换矩阵仅由哈达玛变换的变换矩阵仅由哈达玛变换的变换矩阵仅由1 1 1 1和和和和1 1 1 1组成，与数值逻辑的两个状组成，与数值逻辑的两个状组成，与数值逻辑的两个状组成，与数值逻辑的两个状态相对应，故更适用于计算机实现，同时占用空间少，且计算简单，在图像态相对应，故更适用于计算机实现，同时占用空间少，且计算简单，在图像态相对应，故更适用于计算机实现，同时占用空间少，且计算简单，在图像态相对应，故更适用于计算机实现，同时占用空间少，且计算简单，在图像的正交变换中得到了应用。的正交变换中得到了应用。的正交变换中得到了应用。的正交变换中得到了应用。离散哈达玛变换（离散哈达玛变换（离散哈达玛变换（离散哈达玛变换（DHTDHTDHTDHT）1.1.1.1.HadamardHadamardHadamardHadamard变换核变换核变换核变换核 当当当当 时，函数的时，函数的时，函数的时，函数的DHTDHTDHTDHT记作记作记作记作 ，其变换核为：，其变换核为：，其变换核为：，其变换核为：其中其中其中其中 是非负整数是非负整数是非负整数是非负整数 的二进制表示的第的二进制表示的第的二进制表示的第的二进制表示的第 位位位位 因此，因此，因此，因此，1-D1-D1-D1-D离散哈达玛变换为离散哈达玛变换为离散哈达玛变换为离散哈达玛变换为:将变换核写成矩阵形式，则哈达玛变换矩阵为：将变换核写成矩阵形式，则哈达玛变换矩阵为：将变换核写成矩阵形式，则哈达玛变换矩阵为：将变换核写成矩阵形式，则哈达玛变换矩阵为：最低阶：最低阶：最低阶：最低阶：第33页/共51页3.5 3.5 图像的离散沃尔什哈达玛变换图像的离散沃尔什哈达玛变换 递推阶：递推阶：递推阶：递推阶：,(N=,=1,2，)变号次数变号次数变号次数变号次数 如：如：如：如：2.2.2.2.HadamardHadamardHadamardHadamard变换核特点变换核特点变换核特点变换核特点:（1 1 1 1）递推性：）递推性：）递推性：）递推性：可以由可以由可以由可以由 递推得到。递推得到。递推得到。递推得到。（2 2 2 2）HadamardHadamardHadamardHadamard变换矩阵变换矩阵变换矩阵变换矩阵 为实的正交对称矩阵：为实的正交对称矩阵：为实的正交对称矩阵：为实的正交对称矩阵：（3 3 3 3）行（或列）变号次数乱序。）行（或列）变号次数乱序。）行（或列）变号次数乱序。）行（或列）变号次数乱序。第34页/共51页3.5 3.5 图像的离散沃尔什哈达玛变换图像的离散沃尔什哈达玛变换 3.3.3.3.2D-DHT2D-DHT2D-DHT2D-DHT 2-D2-D2-D2-D哈达玛正变换核由下式给出哈达玛正变换核由下式给出哈达玛正变换核由下式给出哈达玛正变换核由下式给出 上式也可写为：上式也可写为：上式也可写为：上式也可写为：写成矩阵形式，即为写成矩阵形式，即为写成矩阵形式，即为写成矩阵形式，即为:反变换与正变换形式相同反变换与正变换形式相同反变换与正变换形式相同反变换与正变换形式相同:第35页/共51页3.5 3.5 图像的离散沃尔什哈达玛变换图像的离散沃尔什哈达玛变换 离散沃尔什变换（离散沃尔什变换（离散沃尔什变换（离散沃尔什变换（DWTDWTDWTDWT）1.1.变换核变换核变换核变换核 当当当当 时，函数时，函数时，函数时，函数 的的的的DWTDWTDWTDWT记为记为记为记为 ，其变换核为：，其变换核为：，其变换核为：，其变换核为：其中其中其中其中 是非负整数是非负整数是非负整数是非负整数 的二进制表示的第的二进制表示的第的二进制表示的第的二进制表示的第 位位位位,因此，因此，因此，因此，1-D1-D1-D1-D离散离散离散离散沃尔什变换为：沃尔什变换为：沃尔什变换为：沃尔什变换为：例如，当例如，当例如，当例如，当N N N N4 4 4 4时时时时:变号次数变号次数 第36页/共51页3.5 3.5 图像的离散沃尔什哈达玛变换图像的离散沃尔什哈达玛变换 2.2.2.2.WalshWalshWalshWalsh变换核特点变换核特点变换核特点变换核特点:（1 1 1 1）变换核可由哈达玛变换核间接得到（间接递推）；）变换核可由哈达玛变换核间接得到（间接递推）；）变换核可由哈达玛变换核间接得到（间接递推）；）变换核可由哈达玛变换核间接得到（间接递推）；（2 2 2 2）WalshWalshWalshWalsh变换矩阵为实的正交对称矩阵；变换矩阵为实的正交对称矩阵；变换矩阵为实的正交对称矩阵；变换矩阵为实的正交对称矩阵；（3 3 3 3）行（或列）变号次数按自然定序）行（或列）变号次数按自然定序）行（或列）变号次数按自然定序）行（或列）变号次数按自然定序（由小到大）（由小到大）（由小到大）（由小到大）排列。排列。排列。排列。3.3.3.3.2D-DWT:2D-DWT:2D-DWT:2D-DWT:2D-DWT 2D-DWT 2D-DWT 2D-DWT的矩阵形式为：的矩阵形式为：的矩阵形式为：的矩阵形式为：反变换为：反变换为：反变换为：反变换为：第37页/共51页3.5 3.5 图像的离散沃尔什哈达玛变换图像的离散沃尔什哈达玛变换 2D-DHT2D-DHT2D-DHT2D-DHT和和和和2D-DWT2D-DWT2D-DWT2D-DWT的特点及举例的特点及举例的特点及举例的特点及举例 1.1.1.1.2D-DHT-DWT2D-DHT-DWT2D-DHT-DWT2D-DHT-DWT特点特点特点特点:（1 1 1 1）都是可分离的正交变换。）都是可分离的正交变换。）都是可分离的正交变换。）都是可分离的正交变换。（2 2 2 2）都是实函数变换）都是实函数变换）都是实函数变换）都是实函数变换 （3 3 3 3）正反变换形式完全相同。）正反变换形式完全相同。）正反变换形式完全相同。）正反变换形式完全相同。（4 4 4 4）变换核中不存在正、余弦函数，所以用计算机计算时，不）变换核中不存在正、余弦函数，所以用计算机计算时，不）变换核中不存在正、余弦函数，所以用计算机计算时，不）变换核中不存在正、余弦函数，所以用计算机计算时，不 会因字长有限而产生附加噪声。会因字长有限而产生附加噪声。会因字长有限而产生附加噪声。会因字长有限而产生附加噪声。（5 5 5 5）由于是正交变换，具有很好的能量集中作用。）由于是正交变换，具有很好的能量集中作用。）由于是正交变换，具有很好的能量集中作用。）由于是正交变换，具有很好的能量集中作用。第38页/共51页3.5 3.5