数学必修五学习.pptx
看书，翻页的一瞬间，发现左手的手指甲长了，整个手略显细长，迎着阳光一看，第一次发现自己的手也可以如此美妙！我欣喜的拿出存放了很久的指甲油，准备精心的涂上去，摊开两手，准备比对着挑选一种适合的颜色，才发现，两只手放在一起如此不协调。左手美丽、修长、甚至还有点俏皮；而右手粗短、皱巴、略带沧桑，我嫌恶的看了一眼右手，觉得是她拖累了左手的美丽，带走了我这美丽心情。指甲油到底是没有涂上，因为我鄙夷这右手的丑陋，甚至觉得他不配这美丽的色彩，可是只涂一只手显然有些另类，估计会更显得右手的粗笨，所以索性又把指甲油藏起来了，觉得如果右手不变的漂亮一点，我这辈子恐怕都没有信心再拿出这美丽的瓶瓶。爱美是女人的天性，追求完美是每个人的天性。我自然也不能免俗，我仅仅是期待自己的右手可以漂亮一点而已，却发现很难。洗衣服，用力揉搓的是右手，切菜切肉，拿刀用力的是右手，拎东西、扶栏杆等也都是右手在扮演着老大。突然间，我觉得自己很可恶，一度很不屑外貌协会的作风，如今自己却倾倒在里面不能直立，不可思议的是并非针对别人，而是对始终陪伴自己辛苦劳作的一只手。第一次心疼的拿出右手来观察，发第1页/共51页1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的_ 相等,即 =2R(R为三角形的外接圆半径).正弦的比第2页/共51页2.解三角形(1)定义:一般地,把三角形_ 和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求_ 的过程叫做解三角形.(2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题:已知任意两角与一边,求其他两边和一角.已知任意两边与其中一边的对角,求另一边的对角,进一步求出其他的边和角.三个角A,B,C其他元素第3页/共51页1.“判一判”(正确的打“”,错误的打“”)(1)正弦定理只适用于锐角三角形.()(2)在ABC中必有asinA=bsinB.()(3)在ABC中,若AB,则必有sinAsinB.()第4页/共51页【解析】(1)错误.正弦定理适用于任意三角形.(2)错误.结合正弦定理有asinB=bsinA.(3)正确.由AB,得ab,由正弦定理2RsinA2RsinB,从而有sinAsinB.答案:(1)(2)(3)第5页/共51页2.“做一做”(请把正确的答案写在横线上)(1)已知ABC外接圆半径是2,A=60,则BC边长为.(2)在ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=.(3)在ABC中,已知a=,sinC=2sinA,则c=.第6页/共51页【解析】(1)因为 =2R,所以BC=2RsinA=4sin 60=2 .答案:2(2)由 知 即sinB=答案:(3)c=a=2a=2 .答案:2第7页/共51页【要点探究】知识点 正弦定理1.对正弦定理的四点说明(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.第8页/共51页(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.(4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.第9页/共51页2.正弦定理的常见变形(1)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB.(2)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即abc=sinAsinBsinC.(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=,sinB=,sinC=(R为ABC外接圆的半径).(4)第10页/共51页【微思考】(1)由方程的思想,用正弦定理解三角形时需要哪些已知条件?提示:需要三个,任意两角及其一边或任意两边与其中一边的对角.(2)在ABC中,若已知三个角A,B,C,可以解其他元素吗?提示:不可以,在ABC中,必须有“边”的元素加入,否则无法确定三角形的大小.第11页/共51页【即时练】1.有关正弦定理的叙述:正弦定理只适用于锐角三角形;正弦定理不适用于钝角三角形;在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值;在ABC中,sinAsinBsinC=abc.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.42.已知b=6,c=9,B=45,求C,a,A.第12页/共51页【解析】1.选B.正弦定理适用于任意三角形,故均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故正确;由比例性质和正弦定理可推知正确.故选B.2.因为sinC=1,所以本题无解.第13页/共51页 【题型示范】类型一 已知两角和一边解三角形【典例1】(1)(2015郑州高二检测)在ABC中,AB=,A=45,C=75,则BC等于()A.3-B.C.2D.3+(2)在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,求A,b,c.第14页/共51页【解题探究】1.在题(1)的ABC中角A和C的对边各是什么?2.题(2)中如何求角A?【探究提示】1.角A的对边是BC,角C的对边是AB.2.由B+C+A=180,得A=180-(B+C).第15页/共51页【自主解答】(1)选A.由正弦定理有 得BC=3-.故选A.(2)A=180-(B+C)=180-(60+75)=45,由正弦定理 得b=由 得c=第16页/共51页【方法技巧】已知两角一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.第17页/共51页【变式训练】在ABC中,已知a=10,B=75,C=60,试求c及ABC的外接圆半径R.第18页/共51页【解析】因为A+B+C=180,所以A=180-75-60=45.由正弦定理,得 =2R,所以c=所以2R=所以R=5 .第19页/共51页【补偿训练】一个三角形的两个角分别等于120和45,若45角所对的边长是4 ,那么120角所对边长是()A.4 B.12 C.4 D.12【解析】选D.由正弦定理可得所求边长为 sin120=12.第20页/共51页类型二 已知两边和一角解三角形【典例2】(1)(2014湖北高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.(2)在ABC中,c=,C=,a=2,求A,B,b第21页/共51页【解题探究】1.题(1)欲求B的大小,需先知道什么条件?2.题(2)可按什么顺序求解此三角形?【探究提示】1.欲求B的大小,可根据条件并结合正弦定理求出sinB的大小,再根据B的范围求出角B.2.可根据条件先求出sinA,进而求出角A,再求角B,最后求b.第22页/共51页【自主解答】(1)由正弦定理 得sinB=又B 且ba,所以B=或 .答案:或第23页/共51页(2)因为 所以sinA=因为ca,所以CA.所以A=.所以B=第24页/共51页【方法技巧】已知两边一角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.第25页/共51页【知识拓展】已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数的方法(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数.(2)在ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数,解的个数见下表:第26页/共51页A A为钝角为钝角 A A为直角为直角A A为锐角为锐角abab一解一解一解一解一解一解a=ba=b无解无解无解无解一解一解ababsinAabsinA两解两解a=bsinAa=bsinA一解一解absinAab,所以AB,B为锐角,B=30.C=180-(A+B)=105.由正弦定理 得c=【误区警示】本题易出现忽略ab而导致角B有两解的错误.第31页/共51页【补偿训练】1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120,则a等于()A.B.2 C.D.【解析】选D.由正弦定理因为cb所以CAC,所以CB,所以C=60或120,故ABC有两个解.第33页/共51页类型三 三角形形状的判断【典例3】(1)在ABC中,sinA=sinB,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形(2)在ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状.第34页/共51页【解题探究】1.在题(1)ABC中,若sinA=sinB,则A与B一定相等吗?2.在题(2)ABC中,由sin2A=sin2B+sin2C能得出什么结论?【探究提示】1.一定相等.因为若A+B=180,与三角形内角和定理矛盾.2.结合正弦定理,由sin2A=sin2B+sin2C得出a2=b2+c2,从而有A=90.第35页/共51页【自主解答】(1)选B.由正弦定理 =1,可得a=b.所以ABC是等腰三角形.(2)在ABC中,根据正弦定理 =2R.因为sin2A=sin2B+sin2C,所以即a2=b2+c2.所以A=90,所以B+C=90.第36页/共51页由sinA=2sinBcosC,得sin90=2sinBcos(90-B),所以sin2B=.因为B是锐角,所以sinB=,所以B=45,C=45.所以ABC是等腰直角三角形.第37页/共51页【延伸探究】若本例(2)中的条件“sinA=2sinBcosC”改为“sin2A=2sinBsinC”,其他条件不变,试判断ABC的形状.【解析】由sin2A=sin2B+sin2C,得a2=b2+c2.所以A=90.因为sin2A=2sinBsinC,所以a2=2bc,所以b2+c2=2bc.所以b=c,所以ABC为等腰直角三角形.第38页/共51页【方法技巧】判断三角形形状的两种途径(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.第39页/共51页【变式训练】在ABC中,已知acosA=bcosB,试判断ABC的形状.【解析】设 =k,由acosA=bcosB,得ksinAcosA=ksinBcosB,所以sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=180,即A=B或A+B=90.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.【误区警示】在解三角形时,要注意分类讨论,否则会漏解.第40页/共51页【补偿训练】在ABC中,若 则ABC一定是三角形.【解析】由正弦定理及 可得 即又A,B,C为三角形内角,所以A=B=C,所以三角形为等边三角形.答案:等边第41页/共51页【易错误区】三角形解的个数判断中因考虑不全而致错【典例】在ABC中,已知c=,A=,a=2,则b=.第42页/共51页【解析】因为 sin 2 ,所以本题有两解.因为 所以sinC=所以C=或 .当C=时,B=,b=当C=时,B=,b=答案:+1或 -1第43页/共51页【常见误区】第44页/共51页【防范措施】有关三角形解的个数的判断 已知三角形的两边和其中一边的对角,用正弦定理时,可能有两解、一解或无解三种情况,要明确其条件,如本例中由 sin 21.所以A不存在.方法二:因为a=5,b=2,B=120,所以AB=120.所以A+B240,这与A+B+C=180矛盾.所以A不存在.第46页/共51页方法三:因为a=5,b=2,B=120,所以asinB=5sin120=,所以basinB,所以A不存在.答案:不存在第47页/共51页第48页/共51页第49页/共51页第50页/共51页感谢您的观看！第51页/共51页
