信号与系统教学课件第十章z-变换.ppt

本章主要内容本章主要内容1.双边双边Z变换及其收敛域变换及其收敛域ROC。2.ROC的特征，各类信号的的特征，各类信号的ROC，零极点图。，零极点图。3.Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。反变换，利用部分分式展开进行反变换。5.常用信号的常用信号的Z变换，变换，Z变换的性质。变换的性质。6.用用Z变换表征变换表征LTI系统，系统函数，系统，系统函数，LTI系统系统 的的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。变换分析法，系统的级联与并联型结构。4.由零极点图分析系统的特性。由零极点图分析系统的特性。7.单边单边Z变换，增量线性系统的分析。变换，增量线性系统的分析。Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换的推广。叶变换的推广。Z 变换的基本思想、许多性变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。差异。10.0 引言引言(Introduction)10.1 双边双边 Z 变换变换 当当 时，时，即为离散时间傅立叶变换。即为离散时间傅立叶变换。这表明：这表明：DTFT就是在单位圆上进行的就是在单位圆上进行的Z变换。变换。其中其中 是一个复数。是一个复数。一一.双边双边Z变换的定义变换的定义:The z-Transform可见：对可见：对 做做 Z 变换就等于对变换就等于对 做做DTFT。因此，因此，Z 变换是对变换是对DTFT的推广的推广。二二.Z变换的变换的收敛域（收敛域（ROC）：）：Z变换与变换与DTFT一样存在着收敛的问题。一样存在着收敛的问题。1.并非任何信号的并非任何信号的Z变换都存在。变换都存在。2.并非并非Z平面上的任何复数都能使平面上的任何复数都能使 收敛。收敛。Z平面上那些能使平面上那些能使 收敛的点的集合，就构收敛的点的集合，就构成了成了 的的收敛域收敛域（ROC）。）。例例1.时收敛时收敛当当 时，时，ROC包括了单位圆。包括了单位圆。单位圆单位圆1 1Z平面平面a a此时，此时，的的DTFT存在。存在。显然有显然有例例2.此时，此时，ROC不包括单位圆，所以不包括单位圆，所以不能不能简单地简单地从从 通过将通过将 得到得到 。Z平面平面1 1（例（例2的的ROC）例例3.a a 1 1Z平面平面单位圆单位圆ROC:例例4.一般情况下，一般情况下，的的ROC是是 Z 平面上一个平面上一个以以原点为中心的圆环。原点为中心的圆环。2 21/21/2Z平面平面单位圆单位圆结结 论：论：1）Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存变换存在着收敛问题，不是任何信号都存在在Z变换，也不是任何复数变换，也不是任何复数Z都能使都能使 收敛。收敛。2）仅仅由）仅仅由 的表达式不能唯一地确定一个信的表达式不能唯一地确定一个信号，只有号，只有 连同相应的连同相应的ROC一道，才能与信一道，才能与信号号 建立一一对应的关系。建立一一对应的关系。3）Z变换的变换的ROC，一般是，一般是Z平面上以原点为中平面上以原点为中心的环形区域。心的环形区域。4）如果）如果 ，则其，则其ROC是各个是各个 的的ROC的公共部分。若没有公共区域则表明的公共部分。若没有公共区域则表明 的的Z变变换不存在。换不存在。5）当）当 是有理函数时，其是有理函数时，其ROC的边界总是由的边界总是由 的极点所在的圆周界定的。的极点所在的圆周界定的。6）若）若 的的ROC包括单位圆，则有包括单位圆，则有三三.的几何表示的几何表示零极点图：零极点图：如果如果 是有理函数，将其分子多项式与分是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：母多项式分别因式分解可以得到：由其全部的零、极点即可确定出由其全部的零、极点即可确定出 ，最多，最多相差一个常数因子相差一个常数因子 。如果在零极点图上同时标出如果在零极点图上同时标出ROC，则由该，则由该零极点图可以唯一地确定一个信号。零极点图可以唯一地确定一个信号。因此，若在因此，若在 Z 平面上表示出平面上表示出 的的全部零、极全部零、极点，即构成点，即构成 的几何表示的几何表示零极点图。零极点图。零极点图对描述零极点图对描述LTI系统和分析系统和分析LTI系统的特系统的特性，具有重要的用途。性，具有重要的用途。1.的的ROC是是Z平面上以原点为中心的环形平面上以原点为中心的环形区域。区域。10.2 Z 变换的变换的ROCThe Region of Convergence for the z-TransformROC的特征：的特征：3.有限长序列的有限长序列的ROC是整个有限是整个有限Z平面（可平面（可能不包括能不包括 ，或，或 ）。）。2.在在ROC内，内，无极点。无极点。4.右边序列的右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能是某个圆的外部，但可能不包括不包括 。由由 ，有，有若若 ，则有，则有则则如果如果 ，设设 是右边序列，定义于是右边序列，定义于 ，当当 时时,由于由于 的展开式中有若干个的展开式中有若干个Z 的正幂项，此时的正幂项，此时 不能为不能为 。5.左边序列的左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不是某个圆的内部，但可能不包括包括 。若若 ，则有，则有 当当 时，由于时，由于 的展开式中包括有的展开式中包括有Z的负的负幂项，所以幂项，所以 Z 不能为零。若不能为零。若 是有理函数，是有理函数，则则ROC必是最内部极点的内部。必是最内部极点的内部。6.双边序列的双边序列的Z变换如果存在，则变换如果存在，则ROC必是一必是一个环形区域。个环形区域。例例1.其他其他极点：极点：（一阶）（一阶）（N1阶）阶）零点：零点：0 0 在在 处，零极点抵消，使有限处，零极点抵消，使有限 Z平面内平面内无极点。无极点。例例2.在在 时，两部分的收敛域无公共部分，时，两部分的收敛域无公共部分，表明此时表明此时 不存在。不存在。b b1/b1/bZ平面平面时，时，ROC为为例例3.0 0在有限在有限Z平面上极点平面上极点总数与零点总数相同总数与零点总数相同零点：零点：（二阶）（二阶）极点：极点：若其若其ROC为：为：1则则 为右边序列，且是因果的，为右边序列，且是因果的，但其傅立叶变换不存在。但其傅立叶变换不存在。时时 是左边序列，且是反因果的，是左边序列，且是反因果的，其傅立叶变换不存在。其傅立叶变换不存在。2 时时 是双边序列，其傅立叶变是双边序列，其傅立叶变换存在。换存在。3ROC是否包括是否包括 ，是，是 是否反因果的标志。是否反因果的标志。ROC是否包括是否包括 ，是，是 是否因果的标志。是否因果的标志。10.3 Z-反变换反变换令令 ，则，则一一.Z-反变换：反变换：The Inverse Z-Transform 当当 从从 时，时，Z沿着沿着ROC内半径为内半径为 r 的圆变的圆变化一周。化一周。1.部分分式展开法：部分分式展开法：其中其中 C 是是 ROC 中逆时针方向的中逆时针方向的圆周。圆周。二二.反变换的求取：反变换的求取：当当 是有理函数时，可将其展开为是有理函数时，可将其展开为部分分式部分分式步骤步骤：1.求出求出 的所有极点的所有极点 ；2.将将 展开为部分分式；展开为部分分式；3.根据总的根据总的ROC，确定每一项的，确定每一项的ROC；4.利用常用变换对和利用常用变换对和Z变换变换性质求出每一性质求出每一项的反变换。项的反变换。例：例：将将 展开为部分分式有：展开为部分分式有：2.幂级数展开法幂级数展开法:（长除法）（长除法）由由 的定义，将其展开为幂级数，有的定义，将其展开为幂级数，有 展开式中展开式中 项的系数即为项的系数即为 。当。当 是是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。幂级数。v 由于由于右边序列右边序列的展开式中应包含无数多个的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要的负幂项，所以要按降幂长除。按降幂长除。v 由于由于左边序列左边序列的展开式中应包含无数多个的展开式中应包含无数多个Z的的正幂项，所以要正幂项，所以要按升幂长除。按升幂长除。v 对对双边序列，先要将其分成对应信号的右边双边序列，先要将其分成对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。和左边的两部分，再分别按上述原则长除。例：例：幂级数展开法的缺点是当幂级数展开法的缺点是当 较复杂（含较复杂（含多个极点时）难以得出多个极点时）难以得出 的闭式。的闭式。所以所以前一项按降幂长除，后一项按升幂长除前一项按降幂长除，后一项按升幂长除。幂级数展开法适合用来求解非有理函数形幂级数展开法适合用来求解非有理函数形式式 的反变换。的反变换。3.留数法：留数法：是是C内的极点。内的极点。是是C外的极点。外的极点。时，时，是是C内的极点内的极点。时，时，对有理函数的对有理函数的 由留数定理有：由留数定理有：当当ROC包括包括 时，时，Z 变换在单位圆上的情况变换在单位圆上的情况就是就是 ，因此也可以利用零极点图对其进行，因此也可以利用零极点图对其进行几何求值。几何求值。10.4.由零极点图对离散时间傅立叶由零极点图对离散时间傅立叶变换几何求值变换几何求值Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot 其方法与拉氏变换时完全类似：其方法与拉氏变换时完全类似：考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性。反映系统的频率特性。例例1.一阶系统一阶系统当当 时，时，ROC包括单位圆。包括单位圆。显然，显然，取决于取决于 的变化。的变化。v当当 时，时，当当 时，时，有最小值。有最小值。随随 呈单调变化。呈单调变化。在在 处，处，有最大值。有最大值。a a1 1幅频特性幅频特性相频特性相频特性一阶系统的频率特性：一阶系统的频率特性：v当当 时，时，a a1 10 0幅频特性幅频特性相频特性相频特性 越小，极点靠原点越近，系统的频率响越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统的带宽越宽；此时应越平缓，系统的带宽越宽；此时 衰减衰减越快，越快，上升越快。上升越快。越大，极点靠单位圆越近，系统频响越越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。相位的非线性程度越厉害。可以看出：可以看出：例例2.二阶系统：二阶系统：（系统欠阻尼）（系统欠阻尼）极点：极点：零点：零点：（二阶）（二阶）考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，即可量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，即可得到二阶系统的频率特性。得到二阶系统的频率特性。1 1 当当 从从 时，在靠近时，在靠近 处频率响处频率响应会出现极大值。应会出现极大值。若若r越接近于越接近于1，的峰值越尖锐。由于的峰值越尖锐。由于极点远离原点，极点远离原点，和和 的变化速率越慢。的变化速率越慢。随着随着r减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋于平坦，而于平坦，而 和和 的变化速率会加快。的变化速率会加快。幅频特性幅频特性相频特性相频特性二阶系统的频率特性：二阶系统的频率特性：当极点很靠近单位圆当极点很靠近单位圆时，也可以从零极点图时，也可以从零极点图粗略确定系统的带宽。粗略确定系统的带宽。更一般的情况，二阶系统也可能更一般的情况，二阶系统也可能 有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。其特性相当于两个一阶系统级联的结果。其特性相当于两个一阶系统级联的结果。（二阶系统具有重阶实数极点的情况）（二阶系统具有重阶实数极点的情况）Z变换的许多性质与变换的许多性质与DTFT的性质相似，其推的性质相似，其推 论方法也相同。这里主要讨论其论方法也相同。这里主要讨论其ROC的变化。的变化。则则：包括：包括10.5 Z变换的性质变换的性质1.线性：线性：Properties of the Z-transformv 如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则则ROC可能会扩大。可能会扩大。2.时移：时移：但在但在 和和 可能会有增删。可能会有增删。v 由于信号时移可能会改变其因果性，故会由于信号时移可能会改变其因果性，故会使使ROC 在在 ，有可能改变。有可能改变。若若则则3.Z域尺度变换：域尺度变换：若若则则时时 收敛，故收敛，故 时，时，收敛。收敛。当当 时，即为时，即为移频特性移频特性。若若 是一般复数是一般复数 ，则，则 的零的零极点不仅要将极点不仅要将 的零极点逆时针旋转一个角的零极点逆时针旋转一个角度度 ，而且在径向有，而且在径向有 倍的尺度变化。倍的尺度变化。1/21/24.时域反转：时域反转：若若(收敛域边界倒置收敛域边界倒置)则则v 信号在时域反转，会引起信号在时域反转，会引起 的零、极点的零、极点分布按倒量对称发生改变。分布按倒量对称发生改变。即：即：与与 的的零极点呈共轭倒量对称零极点呈共轭倒量对称。v 如果如果 是是 的零的零/极点极点,则则 就是就是 的零的零/极点。由于极点。由于 也是也是 的零的零/极点，因此极点，因此也是也是 的零的零/极点。极点。则则 的的ROC为为0 0例：例：的的ROC为为若若5.时域内插时域内插:若若为为 的整数倍的整数倍其它其它则则证明：证明：6.共轭对称性：共轭对称性：v当当 是实信号时，是实信号时，于是有，于是有表明表明如果如果 有复数零极点，必共轭成对出现。有复数零极点，必共轭成对出现。若若则则7.卷积性质：卷积性质：若若包括包括 如果在相乘时出现零极点抵消的情况则如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能会扩大。可能会扩大。该性质是该性质是LTI系统系统Z变换分析法的理论基础。变换分析法的理论基础。则则8.Z域微分：域微分：例例1.利用该性质可以方便地求出某些非有理函利用该性质可以方便地求出某些非有理函数数 的反变换，或具有高阶极点的的反变换，或具有高阶极点的 的的反变换。反变换。若若则则例例2：9.初值定理：初值定理：则则若若 是因果信号，且是因果信号，且 时有时有显然当显然当证明：证明：将将 按定义式展开有：按定义式展开有：10.终值定理终值定理：若若 是因果信号，且是因果信号，且 ，除了在除了在 可以有一阶极点外，其它极点均可以有一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则在单位圆内，则 证明：证明：在单位圆上无极点在单位圆上无极点 除了在除了在 可以有可以有 单阶极点外，其它极点均在单位圆内，单阶极点外，其它极点均在单位圆内，这其实表明：如果这其实表明：如果 有终值存在，则其终有终值存在，则其终值等于值等于 在在 处的留数。处的留数。Z平面上极点位置与信号模式的关系示意图平面上极点位置与信号模式的关系示意图10.6 常用信号的常用信号的Z变换对变换对10.7 利用利用Z变换分析与表征变换分析与表征LTI系统系统 一一.系统特性与系统特性与 的关系的关系:（自学）（自学）Some Common Z-Transform PairsAnalysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms LTI系统的特性可以由系统的特性可以由 或或 描述，因而描述，因而也可以由也可以由 连同连同ROC来表征。来表征。1.因果性：因果性：如果如果LTI系统是因果的，则系统是因果的，则 时时 有有 所以所以,的的ROC是最外部极点是最外部极点的外部，的外部，并且包括并且包括 。称为称为系统函数。系统函数。系统的特性应该在系统系统的特性应该在系统函数中有所表现。函数中有所表现。2.稳定性：稳定性：若若LTI系统稳定，则系统稳定，则 ，即即 的的DTFT存在，表明单位圆在存在，表明单位圆在 的的ROC内。内。即即 的的ROC必包括单位圆。必包括单位圆。二二.LTI系统的系统的Z变换分析法：变换分析法：因此，因此，因果稳定的因果稳定的LTI系统其系统其 的全部极的全部极点必须位于单位圆内，反之亦然。点必须位于单位圆内，反之亦然。当当 是关于是关于 Z 的有理函数时，因果性要求的有理函数时，因果性要求 的分子阶数不的分子阶数不能高于分母阶数。能高于分母阶数。1）由由 求得求得 及其及其 。2）由系统的描述求得由系统的描述求得 及其及其 。分析步骤：分析步骤：三三.由由LCCDE描述的描述的LTI系统的系统的 :对方程两边做对方程两边做Z变换可得：变换可得：3）由由 得出得出 并确定它并确定它 的的ROC包括包括 。4）对对 做反变换得到做反变换得到 。由差分方程描述的由差分方程描述的LTI系统，其方程为系统，其方程为是一个有理函数。是一个有理函数。的的ROC需要通过其它条件确定，如：需要通过其它条件确定，如：1.系统的因果性或稳定性。系统的因果性或稳定性。2.系统是否具有零初始条件等。系统是否具有零初始条件等。例：例：由下列差分方程做出网络结构，并求其系由下列差分方程做出网络结构，并求其系统函数统函数 H(z)和单位脉冲响应和单位脉冲响应 h(n)。解：由方程可得解：由方程可得FIR解：由方程可得解：由方程可得利用利用Z变换的性质可得变换的性质可得IIR 一一.系统互联的系统函数系统互联的系统函数:ROC包括包括10.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示System Function Algebra and Block Diagram Representations1.级联：级联：ROC包括包括3.反馈联接：反馈联接：2.并联：并联：由系统框图可由系统框图可列出如下方程：列出如下方程：ROC：包括：包括 由由LCCDE描述的描述的LTI系统，其系统函数为有理系统，其系统函数为有理函数，可将其因式分解或展开为部分分式。函数，可将其因式分解或展开为部分分式。二二.LTI系统的级联与并联结构：系统的级联与并联结构：1.级联型：级联型：其中其中 是二阶（或一阶）系统函数。是二阶（或一阶）系统函数。由此即可得由此即可得系统的级联型结构系统的级联型结构：将将 因式分解，在无重阶零极点时可得因式分解，在无重阶零极点时可得N为偶数时为偶数时D DD DD DD DLTI系统的级联型结构系统的级联型结构2.并联型：并联型：将将 展开为部分分式，在无重阶极点时有展开为部分分式，在无重阶极点时有N为偶数时为偶数时DDDDLTI系统的并联型结构系统的并联型结构10.9 单边单边Z变换：变换：一一.单边单边Z变换：变换：单边单边Z变换是双边变换是双边Z变换的特例，也就是因果变换的特例，也就是因果信号的双边信号的双边Z变换。因此单边变换。因此单边Z变换变换 的的ROC一一定是最外部极点的外部，并且包括定是最外部极点的外部，并且包括 。The Unilateral Z-Transform所以在讨论单边所以在讨论单边Z变换时变换时,不再强调其不再强调其ROC。它的反变换也一定与双边它的反变换也一定与双边Z变换的反变换一致。变换的反变换一致。如果信号如果信号 不是因果序列，则其双边不是因果序列，则其双边Z变换变换 与单边与单边Z变换变换 不同。不同。例例1:对其做双边对其做双边Z变换有：变换有：显然显然对其做单边对其做单边Z变换有：变换有：例例2.对其做双边对其做双边Z变换有：变换有：对其做单边对其做单边Z变换有：变换有：这是因为这是因为 在在 的部分对双边的部分对双边Z变换起作变换起作用，而对单边用，而对单边Z变换不起作用所致。变换不起作用所致。只要所涉及的信号是因果信号，只要所涉及的信号是因果信号，单边单边Z变换变换除了时移特性与双边除了时移特性与双边Z变换略显不同外，其它变换略显不同外，其它性质与双边性质与双边Z变换的情况是一致的。变换的情况是一致的。显然显然二二.单边单边Z变换的性质：变换的性质：时移特性：时移特性：Proof:若若则则同理可得：同理可得：Proof：同理可得：同理可得：单边单边Z变换在将变换在将LCCDE变换为代数方程时，变换为代数方程时，可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。增量线性系统问题时特别有用。三三.利用单边利用单边Z变换分析增量线性系统：变换分析增量线性系统：则则强迫响应强迫响应自然响应自然响应1.讨论了对离散时间信号和系统进行讨论了对离散时间信号和系统进行Z变换分变换分析的方法，整个讨论方法及大部分结论与第九析的方法，整个讨论方法及大部分结论与第九章相对应。章相对应。10.10 小结：小结：Summary2.与拉氏变换的情况对照，可以发现与拉氏变换的情况对照，可以发现S平面与平面与Z平面之间存在着一种映射关系，平面之间存在着一种映射关系，就是这就是这种映射关系。种映射关系。将连续时间信号将连续时间信号 采样，可以得到：采样，可以得到：对其做拉氏变换有：对其做拉氏变换有：对采样所得到的样本序列对采样所得到的样本序列 做做Z变变换有：换有：比较两式，可以得出比较两式，可以得出S平面与平面与Z平面之间有：平面之间有：S平面与平面与Z平面之间的映射关系平面之间的映射关系映射过程：映射过程：S平面平面Z平面平面3.利用利用Z变换分析变换分析LTI系统，较之系统，较之DTFT具有更具有更方便、更广泛适用的优点。方便、更广泛适用的优点。这种映射关系在数字信号处理，特别是数这种映射关系在数字信号处理，特别是数字系统设计中是非常重要的。明确了这种关字系统设计中是非常重要的。明确了这种关系就很容易对系就很容易对Z 变换与拉氏变换的关系及差变换与拉氏变换的关系及差异之处有更清楚的认识。异之处有更清楚的认识。4.单边单边Z变换是分析增量线性系统的有力工具。变换是分析增量线性系统的有力工具。